Геометрия особенностей интегрируемых систем на алгебрах Ли (1102768), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Эти пространства совпадают:dFag |Og (x0 ) = dFal |Ol (x0 ) ,(2.5)и, в частности, совпадают их размерности.Эта теорема также является простым следствием теоремы 2, таккак в редуктивном случае условия 1) - 3) выполняются автоматически, а условие 4) следует из условия 1). Таким образом, редуктивныеподалгебры максимального индекса содержащие вектор сдвига a, состоят целиком из критических точек коммутативного набора на g.Ранг отображения момента падает в этих точках до ранга коммутативного набора сдвигов инвариантов полупростой части подалгебрыl.23Нетрудно построить пример описываемой ситуации.

Для этогорассмотрим g = su(n) в стандартном матричном представлении. Регулярный элемент a возьмем диагональным. Теперь любая блочнодиагональная подалгебраl = u(n1 ) × u(n2 ) × . . . × u(nk ) ∩ su(n),удовлетворяет условиям теоремы 3.24n1 + .

. . + nk = n2.2Вершины и ребра бифуркационной диаграммыТеорема 3 позволяет найти большое количество критических точекотображения момента Fa . Не все критические точки могут быть описаны подобным образом, однако для точек максимального вырождения мы получаем полную классификацию.Замечание 1. До конца этого параграфа будем рассматриватькоммутативный набор сдвигов инвариантов в ограничении нанекоторую регулярную орбиту присоединенного представлениякомпактной полупростой алгебры Ли g.Будем называть рангом критической точки x ранг дифференциала отображения момента dFa , вычисленный в этой точке.

Для точекранга 0 и 1 утверждение теоремы 3 может быть доказано в обратнуюсторону.Теоремa 4. Пусть ha ⊂ g – подалгебра Картана, содержащая вектор сдвига a. Тогда точкам ранга 0 на регулярной орбите O являются точки ее пересечения с подалгеброй ha :rank dF(x0 ) = 0 ⇔ x0 ∈ O ∩ ha .Доказательство.Применим теорему 3 к подалгебре l = ha ⊂ g. Так как ha коммутативна, то орбиты присоединенного представления являются точками, и ранг набора сдвигов инвариантов падает до 0. Следовательно,ранг сдвигов инвариантов на g также равен нулю в любой точкеx0 ∈ (ha ∩ O).Обратно: предположим, что x0 ∈/ ha .

Так как x0 и a — регулярные элементы, то существует такое λ 6= 0, что z0 = x0 + λa такжерегулярный элемент. Рассмотрим подалгебру Картана hz0 , содержащую z0 . Известно (см. лемму 3), что векторы grad Ik (z)|z=z0 образуют базис этой подалгебры,P и, поэтому можно выбрать такие константы c1 , . . . , cr , что h = k ck (grad Ik (z)|z=z0 ) регулярен. Положим25Pf (x) = k ck Ik (x + λa).

По условию теоремы градиент этой функции ортогонален любому вектору v = [x0 , g], касающемуся орбиты вточке x0 .∀g ∈ g, 0 = hgrad f |x0 , [x0 , g]i = h[h, x0 ], gi ⇒ [h, x0 ] = 0.(2.6)Так как элемент h регулярен по построению, то x0 ∈ hz0 . Окончательно, a = λ1 (z0 − x0 ) ∈ hz0 , что означает hz0 = ha and x0 ∈ ha .Рассмотрим систему корней ∆ на подалгебре ha . Обозначим соответствующие двумерные вещественные подпространства как Vα , гдеα ∈ ∆.Лемма 2. Пусть a и g — регулярные элементы компактной полупростой алгебры g, и ha , hg — содержащие их картановские подалгебры. Если hg ⊂ ha + hgi, то существует корень α ∈ ∆(ha ),такой, что g ∈ ha + Vα , где Vα — двумерное вещественное adha инвариантное подпространство, соответствующее этому корнюα.Доказательство.

Коразмерность hg в ha + hgi равна 1, и централизатор любого элемента из hg ∩ ha содержит по крайней мере пространство hg + ha , размерность которого превосходит ранг алгебрыg. Следовательно, гиперплоскость hg ∩ ha состоит из сингулярныхэлементов, и существует корень α ∈ ∆, такой, что hg ∩ ha = ker α|ha .Соответственно, существует такой вектор hα , что ∀h ∈ ha , [h, g] =α(h)[hα , g]. Это означает, что образ элемента g под действием adhaимеет размерность 1.Предположим, что g ∈/ ha + Vα . Рассмотрим корневое разложениеg = ha + Vα + Vβ + . . . + Vγ .(2.7)Соответствующее разложение элемента g имеет вид:g = h0 + vα1 + vα2 + vβ1 + vβ2 + . .

. ,(2.8)h0 ∈ ha , vα1 , vα2 ∈ Vα , vβ1 , vβ2 ∈ Vβ . . . .(2.9)гдеВозьмем такие h1 , h2 ∈ ha , что выполняются следующие условия:h1 ∈ ker α, h1 ∈/ ker β, h2 ∈ ker β, h1 ∈/ ker α.26(2.10)Таким образом, [h1 , g]|Vα +Vβ ∈ Vβ \ 0 и [h2 , g]|Vα +Vβ ∈ Vα \ 0, чтопротиворечит тому факту, что размерность образа элемента g поддействием adha равна 1.Лемма 3. Рассмотрим инвариант I(x) полупростой компактной алгебры Ли g и некоторый регулярный элемент x0 . Тогдаgrad I(x)|x=x0 ∈ hx0 . Более того, градиенты инвариантов порождают всю картановскую подалгебру hx0 .Теоремa 5. Точки ранга 1 являются пересечениями орбиты и подалгебр вида ha + Vα :rank dF(x0 ) ≤ 1 ⇔ ∃α ∈ ∆(ha ), x0 ∈ O ∩ (ha + Vα ).Доказательство. Предположим, что x0 принадлежит подпространству l = ha + Vα .

Подпространство l является подалгеброй вg и изоморфно Rr−1 ⊕ su(2), r = rank g. Очевидно, что ind l = r, итеорема 3 может быть применена к этой подалгебре. Так как ha —коммутативная алгебра, то максимальная размерность орбит присоединенного представления в l равняется 2, и ранг коммутативногонабора на этих орбитах равен 0 или 1. Следовательно, ранг исходного коммутативного набора на g также равен 0 или 1.Обратно. Случай точек нулевого ранга уже рассмотрен в теореме 4.

Теперь предположим, что rank dF|x0 = 1. Это означает, чтосуществует такой вектор v, что hsgrad f |x0 i ⊂ hvi, и x0 ∈/ ha + Vαдля некоторых α ∈ ∆. Также рассмотрим такое λ, что g1 = x0 + λa— регулярный элемент. Обозначим его централизатор как hg1 . Полемме 2 имеем:hg1 ∈/ ha + hg1 i ⇒ ∃g2 ∈ hg1 , g2 ∈/ ha + hg1 i.(2.11)Заметим, что для ∀gi ∈ hg1 , i = 1, 2 существуют (см.

лемму 3) соответствующие функции fi вида I(x + λa), что [x0 , gi ] = sgrad fi |x0 ,i = 1, 2. Следовательно,∃k, [x0 , g1 + kg2 ] = 0,g1 + kg2 ∈/ ha .(2.12)Получаем противоречие, так как с одной стороны g1 + kg2 ∈/ ha , а сдругой стороны[a, g1 + kg2 ] =1λ([λa, g1 + kg2 ] + [x0 , g1 + kg2 ]) == λ1 [x0 + λa, g1 + kg2 ] = [g1 , g1 + kg2 ] = 0.27(2.13)Замечание 2.

Из теоремы 4 следует, что точки полного вырождения коммутативного набора на орбите инвариантны относительно действия группы Вейля W (g). Так как это действие свободно и транзитивно, то число точек ранга 0 равно порядку группы W (g).28Глава 3Классическое n-мерное твердоетело3.1Точки максимального падения ранга отображения моментаЗадачей о движении n-мерного твердого тела [17], закрепленногов центре масс, называется следующая система дифференциальныхуравнений:∂(x + λa) = [x + λa, φ(x) + λb],∂tгде, как и раньше, ϕ = (ada )−1 ◦ adb . При этом предполагается, чтоso(n) стандартно вложено в su(n) с помощью стандартной матричной реализации.

x ∈ so(n), a ∈ su(n) — фиксированный диагональный регулярный вектор. Обозначим, для краткости, алгебру su(n)как g и алгебру so(n) как s. Пусть x0 — регулярный элемент алгебры s, Os (x0 ) — проходящая через него орбита присоединенного представления. В качестве коммутативного набора на Os (x0 ) рассмотримсдвиги инвариантов g на вектор a, ограниченные на подалгебру s.Коммутативность и полнота этого набора также доказаны в работе[20].Предположим, что вектор сдвига a регулярен и представлен диагональной матрицей.

Пусть (f1 , . . . , fN ) — функциональный базискоммутативного набора сдвига инвариантов. Обозначим отображение момента как F (x) = (f1 (x), . . . , fN (x)).29Теоремa 6.rk dF (x0 ) = 0 ⇐⇒ x0 ∼ 0−x10...00x100...00... 0... 0. . . ...... 0. . . −xk000...xk00,где ∼ oбозначает равенство матриц с точностью до одновременной перестановки строк и столбцов. Если n четно, то k = n/2.Если n нечетно, то k = (n − 1)/2, а x0 содержит одну нулевуюстроку и один нулевой столбец.Доказательство. Пусть элемент x0 выражается матрицей указанного вида. Тогда, не ограничивая общности, можно считать, что этаматрица блочно-диагональна и состоит из указанных блоков 2 × 2.Рассмотрим матричную алгебру l = u(2)×u(2)×· · ·×u(2) ∩ su(n), состоящую из таких же блоков. Нетрудно видеть, что индекс алгебрыl равен индексу алгебры g.

Так как x0 , a ∈ l, то (см. доказательствотеоремы 2), grad I|g (x0 + λa) ∈ l. Градиент ограничения I|s (x0 + λa)является проекцией grad I|g (x0 + λa) на s и поэтому принадлежитпроекции всей подалгебры L на подалгебру s. Эта проекция состоитиз матриц того же вида, что и x0 , но со всеми возможными значениями x10 , x20 , · · · xk0 , то есть является централизатором элемента x0 .Централизатор x0 ортогонален проходящей через него орбите O(x0 ),следовательно, градиенты всех рассматриваемых функций, ограниченных на O(x0 ), вырождаются в точке x0 .Пусть ранг коммутативного набора в точке x0 упал до нуля, т.е.∀λ ∈ R, ∀I ∈ I(g),PrTx0 0(x0 ) dI(x0 + λa) = 0.Тогда условие∀λ ∈ R, ∀I ∈ I(g), Prs dI(x0 + λa) ⊂ Anns (x0 )равносильно условию∀λ ∈ R, Prs Anng (x0 + λa) ⊂ Anns (x0 ).30При λ → ∞ пространство Anng (x0 + λa) переходит в Anng (a). Следовательно, существует такое λ 6= 0, что Anng (x0 + λa) сюрьективнопроектируется на Anng (a).

Зафиксируем это значение λ.Заметим, что алгебра g имеет Z2 -градуировку g = s + V , где Vобозначает пространство мнимых симметрических матриц. Важно,что Anng (a) состоит из диагональных матриц и лежит в V . Рассмотрим произвольный элемент y = y0 + y1 , y0 ∈ s, y1 ∈ V , коммутирующий с x0 + λa. Так как, по предположению,Prs Anng (x0 + λa) ⊂ Anns (x0 ),то [y0 , x0 ] = 0. Расписывая по градуировке условие того, что коммутатор [y0 + y1 , x0 + λa] равен нулю, получаем:[y1 , a] = 0,(∗).[y0 , λa] + [y1 , x0 ] = 0 (∗∗)Из (∗) следует то, что y1 — любой диагональный элемент. Выполнение (∗∗) дает следующее уравнение:∀y1 ,[(ada )−1 ◦ ady1 x0 , x0 ] = 0.Для решения этого уравнения достаточно рассмотреть базисные элементы y1 , имеющие единственный ненулевой матричный элемент наместе (i, i), 1 ≤ i ≤ n. Для простоты рассмотрим i = 1. Обозначимматричные элементы x0 как xmk , 1 ≤ m, k ≤ n, и положим a =diag(ia1 , ia2 , ..., ian ).

Непосредственным вычислением убеждаемся втом, что матричные элементы уравнения [(ada )−1 ◦ ady1 x0 , x0 ] = 0при имеют m, k ≥ 2 вид:111m 1k−= 0.x xa1 − ak a1 − amТак как элемент a регулярен, то числа a1 , a2 , ..., an различны. Следовательно для любого m существует не более одного такого значенияk, что xmk 6= 0, что и завершает доказательство.31Замечание 3. Группа Вейля алгебры g = su(n) свободно и транзитивно действует на критических точках ранга 0, однако ее действие на образе этих точек, т.е.

Характеристики

Список файлов диссертации