Вертикальноразрешающие модели генерации цунами (1102458), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Сопоставляя данные о величине остаточного смещения ивертикальной скорости движения дна, получаем оценку продолжительностиτ PG1 ∼Δ H PG1 /U ≈4 cсмещения дна в точках расположения датчиковиτ PG2∼Δ H PG2 /U ≈1,5 c . Данная оценка соответствует времени нарастания подвижки,полученному по сейсмическим данным (2 с [Yagi, 2004]).Рис.
3. Вариации придонного давления на датчике PG1 и вертикальная компонентаускорения дна по данным сейсмометра OBS1 при землетрясении Токачи-оки 2003 г.9На рис. 4 приведены спектры мощности вариаций придонного давления надатчике PG1 и ускорения дна по данным сейсмометра OBS1, пересчитанного вединицы давления по формуле p=ρ H a UD . Гидроакустический резонанс долженприводить к появлению спектральных максимумов на частотах, соответствующихнормальным колебаниям сжимаемого водного слоя νn =c (1+2 n)/4 H , где n=0,1,2..., с– скорость звука в воде, H – глубина океана.Рис. 4. Спектры мощности вариаций придонного давления на датчике PG1 и ускорения днапо данным сейсмометра OBS1, пересчитанного в единицы давления ( p=ρ H a UD ).f g = √ g /H – характерная частота гравитационных волн.
Показаны диапазонынахождения первых трех нормальных мод сжимаемого водного слоя с учетом слоя осадковтолщиной 1000 м. Частота дискретизации данных: 10 Гц для PG1 ,100 Гц для OBS1.Спектры мощности вариаций придонного давления показывают, что энергияупругих колебаний сосредоточена преимущественно в диапазоне 0,05-0,4 Гц. Болеетого, спектры обладает выраженными главными максимумами, положения которыхнеплохо соответствуют теоретическим значениям, рассчитанным по формулеν0 =c /4 H . Незначительное смещение максимумов в сторону низких частотобъясняется тем, что в рассматриваемом районе акустический фундамент расположенпод мощным слоем осадков (см.
рис. 2), упругие свойства которых близки параметрамморской воды. Поэтому для точного расчета положения максимумов спектра следуетрассматривать связанные колебания двух слоев: водного со свободной поверхностьюи подлежащего осадочного с жесткой нижней границей. Для такой двухслойнойсистемы существует другой набор нормальных частот γn ( γn <νn ). Из рис. 4 видно,что не только максимумы спектров вариаций придонного давления, но и максимумыспектров ускорения дна попадают в теоретически предсказанный диапазон γ0 −ν0 .Положение максимумов для PG и OBS незначительно различается, что объясняетсятем, что точки постановки датчиков разнесены на несколько километров.В разделе 3.3 описана методика и результаты численного моделированиядинамики сжимаемого водного слоя в очаге цунами Токачи-оки 2003 г.
Сутьприменяемой методики такова. На первом этапе проводится моделированиединамической деформации дна при землетрясении без учета водного слоя. На второмэтапе осуществляется моделирование колебаний слоя сжимаемой жидкости в бассейнес абсолютно жестким дном, а динамическая деформация дна, рассчитанная на первомэтапе, используется в качестве входных данных.
Динамическая деформация днарассчитывалась сотрудниками Токийского Института Технологий с использованиемметода граничных элементов [Kataoka, 1996, Ohmachi et al., 2001].10В качестве примера расчетов на рис. 5 приведено развитие во временивозмущения на поверхности воды. Сопоставление синтетических и натурныхвариаций придонного давления показало хорошее согласование амплитуд сигналов иудовлетворительное согласование характерных частот. Различие в частотныххарактеристиках сигналов объясняется такими ограничениями используемой моделикак абсолютно жесткое дно и отсутствие осадочного слоя.Рис.
5. Развитие во времени возмущения на свободной поверхности сжимаемого водногослоя в очаге цунами Токачи-оки 2003 г.Четвертая глава посвящена анализу возможности генерации цунами за счетнелинейной передачи энергии от «высокочастотных» упругих колебаний водногослоя, вызванных землетрясением, к «низкочастотным» гравитационным волнам. Вотличие от гравитационных волн, упругие колебания не проникают на мелководье и,поэтому, не могут прямо отразиться на амплитуде волны цунами на побережье. Нотакие упругие колебания могут все же обеспечить дополнительный вклад в амплитудуи энергию цунами за счет нелинейных эффектов. Такой механизм впервые былпредложен в работе [Новикова, Островский, 1982].В разделе 4.1 описана математическая модель.
В ее основе лежит11предположение о том, что водный слой участвует в двух движениях: медленном(среднем) и быстром (колебательном), т.е. скорость течения, давление и плотностьпредставимы в виде сумм:(4)v =〈⃗⃗v 〉+⃗v , p=〈 p〉+ p' , ρ=〈ρ〉+ρ' .Под быстрым движением подразумеваются упругие колебания водного слоя,вызванные динамической деформацией дна при подводном землетрясении, подмедленным — гравитационные волны.Подстановка формул (4) в систему уравнений Эйлера с последующимосреднением по периоду «быстрых» колебаний приводит к следующей системеуравнений для среднего движения:∂〈 ⃗v 〉∇ 〈 p〉⃗,=−+g +Φ∂t〈 ρ〉div ( 〈 ⃗v 〉 )=s ,⃗( v⃗' ∇⃗ ) v⃗' 〉+0.5〈 ∇⃗ p ' 2 〉 c−2 〈 ρ〉−2 ,Φ=−〈−2−1s=−c 〈ρ〉 div 〈 p ' ⃗v ' 〉 ,(5)(6)(7)(8)От обычных линеаризованных уравнений Эйлера для несжимаемой жидкости⃗ и s , которые могутвыражения (5) и (6) отличаются наличием двух новых членов Φбыть интерпретированы как силовое поле и распределенный источник массы(нелинейный источник цунами).Далее рассматривается плоская задача на ровном горизонтальном дне.
В рамкахстандартных предположений линейной теории длинных волн система (5), (6) сводитсяк неоднородному волновому уравнению относительно смещения свободнойповерхности ξ :22∂ ξ1 ∂ ξ 1Q (x , t) ,2 2−2 =gH∂ x gH ∂t0Q( x , t )= ∫−H[0(9)]2∂Φ x∂ Φz∂s,dz+∫z−2 d ̃∂x z ∂ x∂t(10)где Φ x и Φ z – горизонтальная и вертикальная компоненты силового поля.⃗ и s требуется знание полей скорости ⃗v ' иДля вычисления величин Φдинамического давления p ' в упругих колебаниях водного слоя. Поля находятся изрешения задачи о линейном отклике идеальной сжимаемой жидкости на малыедеформации дна.
Скорость деформации дна при поршневой подвижке задаваласьследующим модельным законом:(11)U pist x , t=v max x / L t / ,где η( α)=0.5 (th[20 (α−0.15)]−th[20(α−0.85)]) , v max – максимальное значениескорости деформации, θ(t ) – функция Хевисайда, L – горизонтальная протяженностьобласти деформации, τ – продолжительность процесса деформации. Методикарешения задачи о линейном отклике сжимаемой жидкости подробно описана в Главе2.Если жидкость рассматривается как несжимаемая, то достаточно скоротечнаяпоршневая подвижка ( τ<8 H /c≪ L/ √ gH ) формирует волны с амплитудой примерноравной амплитуде остаточных деформаций дна.
Эту амплитуду мы и будемрассматривать, как амплитуду, сформированную линейным механизмом.12Волны,возникающиеподдействиемнелинейногомеханизма,определялись из численного решенияуравнения (9). Применялась явнаяконечно-разностная схема. На границахрасчетной области ставились условиясвободного прохода для гравитационныхволн.Вразделе 4.2проведенсравнительный анализ эффективности Рис 6.
Отношение амплитуд волн цунами,поршневого и нелинейного механизмов сформированных нелинейным ( A N ) игенерации цунами. На рис. 6 и рис. 7 линейным ( A L ) механизмами, в зависимостипредставлены зависимости отношения от продолжительности подвижки. КривыеA N / ALмаксимальных амплитуди 1-3построеныдляразличныхгоризонтальныхразмеровисточника:энергий W N / W L волн, сформированныхнелинейным и линейным механизмами, L/H=20, 10 и 5.отпродолжительностипоршневойподвижки.
Немонотонность кривых приτ>H /c связана с модовой структуройупругихколебанийводногослоя(минимальнаянормальнаячастотаτ=4H/ссоответствует). Увеличениегоризонтальныхразмеровисточникаприводит к незначительному увеличениюроли нелинейного механизма.Воспользовавшисьданными,представленными на рис. 6 и рис. 7, легкоРис 7. Отношение энергий волн цунами,сделать следующие оценки. При глубине сформированных нелинейным ( W ) иNокеана 1,5 км, продолжительности и линейным ( W ) механизмами, в зависимостиLамплитудеподвижки1си1мотпродолжительностиподвижки.соответственно,вкладнелинейного Обозначения аналогичны рис.
6.механизма в амплитуду цунами будет науровне 10%, а в энергию – на уровне 1%. Доля нелинейного механизма может ивозрасти при увеличении амплитуды смещения дна или уменьшениипродолжительности подвижки, но, скорее всего, при поршневой подвижке линейныймеханизм останется преобладающим.В пятой главе разрабатывается практический метод постановки начальныхусловий в задаче цунами, который позволяет пересчитать векторное полекосейсмических деформаций дна и распределение глубин в районе источника вначальное возвышение на поверхности воды.В разделе 5.1 аргументируется несовершенство традиционного методапостановки начальных условий в задаче распространения цунами, согласно которомуначальное возвышение водной поверхности полагается равным вертикальнойдеформации дна. Такой подход не только пренебрегает горизонтальнымидеформациями дна, но и не учитывает сглаживающего влияния водного слоя, насыщаяспектр цунами коротковолновыми компонентами, которые не существуют в13действительности.Раздел 5.2 посвящен описанию математической модели, положенной в основупредлагаемой методики.
Исходная модель сформулирована в рамках линейнойпотенциальной теории. Интегрирование уравнений по времени от момента началадеформации дна до момента ее завершения, при условии скоротечности деформациидна ( τ≪ √ H / g ), позволяет свести исходную динамическую задачу к статической:̂Δ F=0,(12)̂F =0, z=0 ,(13)∂ F̂=( ⃗η , ⃗n ) , z=−H (x , y ) ,∂ n⃗– потенциал смещения, ⃗n – нормаль к поверхности дна,(14)где F̂η – вектор⃗остаточной деформации дна в очаге цунами. Начальное возвышение рассчитываетсяпо следующей формуле:ξ 0 ( x , y )= F̂ z (x , y ,0) .(15)Далее описана численная модель распространения цунами, построенная врамках линейной теории длинных волн [Левин, Носов, 2005].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
