Механическая прочность древесины (1100342), страница 19
Текст из файла (страница 19)
d2vn(5.37)'"dy*d2wd2wTld2w,55^F '44^7 ; 2"^ '33~VTРассуждая+подобнымC( 31+ CSi) J..J_+dxdzобразом,C( 44+Cn)напишемdv2J..J_ ~~ ^dydzдифференциальныеуравнения для случая трансверсальной изотропии.-пас2I2 Jay2+C44&2^ - c , ^ v2 ;&'-44ax 2+a/,+ c^+ c^I2+ ( c l 3 + c j2'" a/ "~" dzd2W,•+'*&Jcbc^ + l C l 3 + C 4 4 J a J :&" 0^+( e _dydz/ d2u dv21^ftcozdydz)l i2^ ^= 0jd*a>(5.38)=0Об экспериментальном определении упругих постоянных будетсказано далее (главы 6 — 7).1485.5.
Синтетическая теория прочности.5.5.1. История вопросаБезусловно, большая группа материалов, называемая твердыми телами,имеет существенные различия в отклике на приложение нагрузки. Еслирассматривать большие деформации, то разнообразие в поведении, например,резины и металлов, существенно. Одни твердые тела испытывают конечныедеформации при совпадающих или близких путях нагружения и имеютпренебрежимо малые остаточные деформации, другие приобретают остаточныеизменения при конечных деформациях, не возвращаясь к первоначальнойформе.
Зависимости между напряжением и деформированием также носятсущественно различный характер.Долгое время, начиная с середины 17-ого века, при изучении свойствтвердыхтелзаосновубралисьвеличинымаксимальныхнагрузокидеформаций, которые выдерживал материал вплоть до разрушения. До 1840годаописаниеповеденияматериалаподнагрузкойявлялосьлишьвторостепенным замечанием относительно определения предела прочности.Тому подтверждением служат масса опытных данных, полученных известнымиисследователями; Кулоном, Навье, Кориолисом и др.В 40-е годы девятнадцатого века на конечные деформаций металловобратил внимание Вертгейм, который, помимо традиционного для своеговремени определения предела прочности, определил остаточные деформации.Также он первым (совместно с Шевандье) провел законченное исследованиеупругой анизотропии дерева (см.
раздел 1).своихзнаменитыхэкспериментовпоИ только Треска, начав сериюпластическомудеформированиюмножества твердых тел в 1863 году — от льда, парафина, керамической пасты досвинца и меди, навел относительный порядок в экспериментальных результатахпри больших необратимых деформациях.149Обширный анализ полученных данных был выполнен в терминахконстанты материала — фиксированного коэффициента К, определяемого, какпредельное значениемаксимального касательного напряжения.
Тресканастаивал на том, что течение твердых тел связано с достижением предельногозначения напряжения, а не с тем, что упругость перестает быть линейной.Основным новым моментом можно выделить заявление, которое сделалТреска перед Французской Академией наук в 1874 году:«Когда платиновый стержень в момент ковки охлаждался до температурыниже красного каления, несколько раз случалось, что удар парового молота,который в это время производил локальное углубление в стержне и удлинялего, также вновь нагревал его вдоль двух линий, наклоненных друг к другу,образуя на сторонах куска в углубленной части две диагонали, и стользначителен был этот разогрев, что в металле вдоль этих линий полностьювосстанавливалось красное каление, и ясно выделялась форма светящейся зоны.Эти вытянутые вдоль линии области повышешюй температуры даже сохранялисвечение в течение нескольких секунд и имели вид двух лимбов по формебуквы X.
При определенных условиях одновременно насчитывалось до шеститаких букв, возникавших последовательно одна за другой в соответствии с тем,как стержень подвигался под молот и под удары попадала новая часть егодлины.Относительно причины возникновения этих светящихся следов сомненийне было. Это были линии наибольшего скольжения и соответственно, зонынаибольшего выделения тепла — совершенно определенное проявление1принципов термодинамики» (Tresca, 1878 [7]).Сен-Венан сразу признал и затем развил экспериментальные положения,выдвинутые Треска, дав им математическую формулировку и решив плоскуюзадачу о течении пластичного материала.
Став основателем теории прочности,Сен-Венан сопоставил наблюдения за линями скольжения с теоретическими1Нельзя не отметить работы Людерса по обнаружению и исследованию линий скольжения, проведенные в1860 году. Людерс при испытаниях на протравленном железе обнаружил появление следов, подобных сетке нанапильнике. Штриховка сетки была наклонена к оси металлического стержня под утлом, близким к 45°.150выводами о линиях максимальных касательных напряжений и пришел квыводу, что экспериментальные данные Треска могут быть положены в основутеории.Однако надо помнить, что созданная теория получена в условиях плоскойдеформации и не дает повода для перехода к трехмерному случаю.Начало экспериментального исследования больших деформаций твердыхтел, при которых более чем один компонент напряжения был отличен от нуля,положено Гестом в 1900 году. Он испытывал тонкостенные трубы из стали,железа и меди либо на простое растяжение, либо на сочетание растяжения свнутренним гидростатическим давлением.
Гест заметил, что формула дляпостроения поверхности текучести согласовывалась с наблюдениями Треска,что «максимальный сдвиг является правильным критерием упругой прочностидля пластичного материала» [136].Первым экспериментатором, которому удалось подвергнуть тело большимдеформациям при трех, отличных от нуля напряжениях, был Карман. Онподвергал цилиндрический образец из мрамора и песчаника гидростатическомудавлению при одновременном независимом приложении дополнительногоосевого напряжения.В одном и том же твердом теле реализовывался каждый тип поведенияпри осевом напряженно-деформированном состоянии от хрупкого излома прималых деформациях до пластического течения. Особое внимание исследователяпривлекли два вопроса: поверхность текучести и критерий разрушения.В статье 1911 года Карман указал, что в мраморе и песчанике невозможноопределить предел упругости как максимальное напряжение, присоединившиськ основному мнению того времени, что с помощью точных приборов всегдаможно найти остаточную деформацию, которая сопровождает упругую (что впроведенных экспериментах будет показано для древесины при сжатии).На рис.
181 из [68] представлены кривые для мрамора, построенные дляразности напряжений G\ и стг (отложенной по оси ординат) и относительнойдеформации (по оси х). Когда кривая «напряжения — деформации» имела151резкий перегиб с последующим уменьшением напряжений, то в образцахвозникали ярко выраженные линии скольжения. Материал, который при осевомрастяжении вел себя хрупко, при добавлении гидростатического давления сталпроявлять признаки пластичности.5.5.2. Параметр Лоде-Надан и выбор инвариантов в синтетической теориипрочности.ПродолжениемопытовГестав1926годустали эксперименты,проведенные Лоде при одновременном действии одноосного растяжения игидростатического внутреннего давления на трубках из меди, стали и никеля.Варьируя отношение значений внутреннего давления и осевой нагрузки, он могполучать разные сочетания двух главных напряжений.
Необходимо заметить,что фактически в данном эксперименте третье главное напряжение не равнонулю, как это обычно предполагается.Влияние второго главного напряжения на отклик тела при воздействиинагрузок описывается коэффициентом, называемом в литературе параметромЛоде - Надаи.Остановимся на рассмотрении параметра Лоде-Надаи, как на одном изинвариантов синтетической теории прочности, подробнее.Всегда можно положить, что<х,>ег2>сгзТогда максимальное касательное напряжение(5.2.1)Ътазс={&\-<5з№ и егозначение. остается практически неизменным. Графически основное отличиетвердых тел от жидких представляется следующим образом:152Рис.
5.3.Сопротивление твердых тел сдвигу.Любое твердое тело имеет конечное сопротивление сдвигу, котороепоказано на графике как t s (рис.5.3). По оси X откладываются сдвиговыедеформации.Следовательно:*,=О-1-СГз(5.2.2)Гс=*1-*ЭНа упругом участке достаточно знать параметры, которые описываютсяобратной формой закона Гука в главных напряжениях:<7j = Де + 2/*£j<т2 = Ле + 2/iE2ст3=Ле + 2/j£z(5.2.3)153где величины ц и Я, называются постоянными Ляме. Они связаны с модулемупругости Е, модулем сдвига G и коэффициентом Пуассона v с помощьюформул:Е„-с2( 1 + ">(5.2.4)~ l - 2 v ~ ( l + v)(l-2v)а 0 - сумма всех относительных деформаций.в = ех+еу+ег(5.2.5)Для описания упруго-пластического тела введем три уравнения [129],которые легко вычисляются из зависимостей, приведенных выше.ai-a 3 =2T s ;a2=A,e+2u£2;CTi+a2+a3=(3^+2p.)e(5.2.6)При этом первое уравнение является законом пластичности, второепоказывает сохранение упругой связи, третье является законом Гука наупругом участке.Выполнив подстановку в уравнения (5.2.6), получим:<7i=(A-+|j.)e-|iE2+i;sст2=^е+2цЕ2(5.2.7)Учитывая (5.2.1), запишем следующее неравенство:^-^+^+^>ст2>-дг'-0Ч<т'+(Тз(5.2.8)154Нормальное напряжение на наклонных площадках, проходящих черезвторое главное направление и делящих пополам углы между первым и третьимглавными направлениями, определяется, как полусумма главных напряжений:0-,+о- 32-'•(5.2.9)Тогдаг + <т„ > сг2 > - г + гтп(5.2.10)илиг><х2 -егп >-г(5.2.11)1*£LZ£L*_IВыражениеНадаи.Заменив0-2-0-»а^обозначается ц^ и носит название параметра Лодеполучим общепринятую форму записи указанногопараметра:/*» =2<т2 — 0 " i—^з(5.2.12)ог.-о-зили для деформаций:v =2g2~g3V.
e i ~f3J(5.2.13)155Физический смысл параметра Лоде-Надаи заключается во влияниинормального напряжения Стг на площадки с максимальным действиемкасательныхнапряжений. Также параметр Лоде-Надаи определяетнапряженного состояния, указываявидна работу наклонных площадок сэкстремальными касательными напряжениями на этих площадках.Другойспособполучениянагляднойфизическойинтерпретациипараметра Лоде-Надаи заключается в построениях, которые принято называтькругами Мора для графического представления напряженного состояния [68].В общем смысле о параметре Лоде - Надаи можно говорить, как охарактеристике вида напряженного состояния материала.Для описания языка «площадок скольжения» в синтетической теориипрочности приняты три инварианта напряженного состояния, связанные сдействием максимального касательного напряжения:—ц2=_?2-Первый инвариант описывает действие максимального касательногонапряжения на наклонной площадке и, соответственно, скольжения по ней.Второй инвариант — действие нормального напряжения на наклоннойплощадке, которое оказываетсопротивление проскальзыванию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
