Механическая прочность древесины (1100342), страница 18
Текст из файла (страница 18)
=<т.у= °V°z= <*:а-TvXV=*z*= -*"=т= r xv*уилиe sn x + c i 2 ^ + c I 3 * z + с 1 4 /^ + cl5rB + с16/ц, == си£х+ спеу + cnez + с,4 {-Гуг ) + с15 (-/^ ) + с ^*41*, + С42£у + C*£z + С«7уг + С^уас+ C^Yxy == ~( 41*, + с 4 2 ^ + сАге2 + си (-/„ ) + с 45 (-^ я ) + С4бГху )(5.13)135Чтобы данные тождества соблюдались, необходимо приравнять нулюКОЭффиЦИеНТЫ С14, Сц, С24, С25, С34, С35, С41, С42, С43, C46t С51, С52, С53, С56, С^,С65.Тогда закон Гука приобретет вид:°"* = C\\S* + спеу + cl3ez + с16у^°У = c2lsx + c^Sy + c2isz + СяГ*°z= сгхех+сггБу+ сгъег+ сгьУ'*у ITxz ~ С$А?'yz "*" C55YxzТху ~ C6\Sx+62£уС"*" C63£z+С6бУ хуУчитывая свойства взаимности постоянных, получим, что их числосокращается до 13.Теперь представим, что существует еще одна плоскость симметрии,которая проходит перпендикулярно оси My. Тогда, согласно таким жерассуждениям,которыеприведенывыше,должнывыполнятьсяследующие соотношения:Tyz"""-"^ у »Тух "Т ух>YyzУ yz>Уух "У ух,только подставляться они должны не в общее выражение закона Гука, а вформулу (5.14), которая уже учитывает наличие плоскости симметрии,перпендикулярной оси Mz.Тогда, выполнив подстановку, получим:136^C2l£X+C22^y+C73£z<Tу<?z =C3lS*+CnSyTTC3^z(5.15)Сyz ~ иУ**+yz= С55Г»Сxy ~ 6бУхуИз полученного выражения видно, что плоскость, перпендикулярнаяк Мх, будет также плоскостью симметрии материала.Таким образом, для нахождения упругого потенциала нужно знатьвсего 9 упругих постоянных древесины, если следовать предположению оее ортотрошюсти.W = Сп£2х +2сп£х£у+2C13£X£Z +Сп£2у + 2 Э Д * „ +(5.16)На основе нахождения упругого потенциала для случая трехоснойсимметрии свойств, нам будет легко определить его выражение длятрансверсально-изотропного тела из соответствующей формы закона Гука.+cl2sy+cnsz'+Cu , U z= cusx +cl3ey+c33ez<*х=°у=<?zХуг~*«~т*уC\\GXС\1БхS +CС4\УyzC<MYXZ= 2 ^ ' -Сп)Г*уG(5.17)137Таким образом, для нахождения соотношений между напряжениями идеформациями, а также для определения упругого потенциала, намдостаточно знать пять упругих постоянных.2W = cn€2x +2сп£х£у +2с 1 3 ад +C72s2y + 2 ^ 5 , +c^s] + С 4 4 /^ +с55/1 +0^/1 == сп(е2х +£2)+2cn€xs +2сп£г(£х +s)+c33s2 +cu(yl +г1)+-{сп -сп)у~ХУ(5.18)Константы «а», входящие в зависимости (5.1), могут быть выраженычерез так называемые технические постоянные, а именно, через модульупругости Е,модуль сдвига G и через коэффициенты поперечнойдеформации Vy (коэффициенты Пуассона).53,Технические постоянные.В общем случае анизотропного тела в технике часто применяютсяфизическиепостоянные,которыемогутбытьопределеныэкспериментально путем измерения деформаций в простейших случаяхнагружения.Предположим,чтонормальным напряжениемнапряженноесостояниезадаетсяоднимстх, а все остальные отсутствуют.
Тогдавыражение закона Гука (5.1) перепишется в следующем виде:Sx=ап<г**а2\<Тх>£=*z= ам<г*>УYy* =Y~ =аА\°х>аЯ°х>Уху = о61сгх(5.19)138Аналогичноизотропномутелуудлинениевнаправлениидействующего нормального напряжения характеризуется модулем Юнга:Я , = ^ =—(5.20)а сокращение поперечных размеров — коэффициентами Пуассона:*v =*В'*=sy_aix .(5.21)•отличие от изотропного тела,в анизотропном материаленормальные напряжения вызывают не только удлинения, но и деформациисдвига, так как коэффициенты a4i, a5l, a^i отличны от нуля.Условимсяобозначать отношение сдвигав плоскости хукудлинению вдоль оси JC — направления действия нормального напряжения —через Tixy,x. Тогда7 ^ = ^ - =^-(5.22)<hiВышеприведенныевлияния первого рода.соотношенияназываютсякоэффициентами139Полагая последовательно отличными от нуля напряжения <jy,crz,получим выражения модулей упругости, коэффициентов Пуассона ивзаимного влияния для двух других направлений растяжения.Аналогично можно принять равным нулю все напряжения, кромекасательного т^,.
Тогда получим:Ех=а1бТху»ey = a 26txy»£z =a 36txy>Yyz=a46'txy>Yzx=a56^xy» Yxy==a66'cxyПод коэффициентами влияния второго рода r\^ ^отношение удлинения вдоль оси х(5.23)подразумеваютк сдвигу в плоскости ху подвоздействием касательного напряжения тху. Тогда= — ;«66'£у4™ = у = «—6 6; '(5.24)Г ху=Гху«36«66"В силу симметрии постоянных упругой деформациимеждукоэффициентами взаимного влияния первого и второго рода имеетсяпростая связь:Лху, х ап=Чх, х/*бб,(5.25)Касательное напряжение т^ приводит к деформациям сдвига нетолько в плоскостиху, но и в двух других плоскостях.
Если в телесуществуют три плоскости упругой симметрии, то существует еще однагруппа коэффициентов, введенная Ченцовым, аналогичная коэффициенту140Пуассона, определяющаяотношение углов сдвига в двух взаимноперпендикулярных плоскостях. Так отношение сдвига в плоскости yz ксдвигу в плоскости ху от напряжения Тхучерез постоянные упругойдеформации выражается следующим образом:аа— 'У* _ *ь ./ху№(5.26)В заключении коротко упомянем общеизвестную постоянную — модульсдвига, которая определяется обычным образом:^ = ^ = —•(5.27)Повторяя вышеприведенные рассуждения для т^^О и Т^РЮ, получиманалогичные выражения постоянных для других направлений сдвига.Резюмируя сказанное, в общем случае анизотропного тела егоупругие свойства характеризуем пятью видами технических постоянных:тремя моделями Юнга, тремя модулями сдвига, тремя коэффициентамиПуассона, тремя коэффициентами Ченцова, девятью коэффициентамивлияния первого рода.
Коэффициенты второго рода не являютсянезависимыми и определяются через коэффициенты первого рода.Классификация всех видов технических постоянных, выраженныхчерез постоянные упругой деформации, принадлежит Бехтереву П.(буквами обозначены группы).141•«22J**УгуУ*«12 = •«и "~E:i=B:«23 =Ey«33=1«13 =~E~a56«44 =9 xy^xG„<Vxy.y*^л-.<**с,'.K*(355D:G'S*463z*jy«66 =9 zxjcy«45 =^ J^ ^ cGЛ*J*,* _'.y,J» .«24 =*xGy,7^4**.«35 =Я.?*..w«14 =У«16 =t,y _ Vy^ac7wЯ,<«25 =«34 =' W«15 =^ .<V'/J*,*^J*£2VVzxjtv~.ExG.'V^y^«36 =*yV(5.28)«26 =VБолее подробную информацию о технических постоянных можнонайти в трудах Бехтерева П., Рабиновича А.Л., Лехницкого С.Г.
[13, 58,82].142Рассматриваядревесину,каканизотропныйматериалссимметричными направлениями, количество технических постоянных,такжекакикоэффициентов упругойдеформации,существенноуменьшается.Если мы принимаем предположение об ортотропии древесины, тоостаются только выражения трех модулей Юнга, трех модулей сдвига, итрех коэффициентов Пуассона (группы А, В и С).Если мы рассматриваем древесину, как материал с осью симметрии,то количество технических постоянных становится еще меньше.ai,=1"22==1T V«зз=-VVВ:VVv(5.29)«23 = «13«44 = «55С:К=°у*GЛ*1*УРезюмируя приведенные высказывания, запишем закон Гука черезтехнические постоянные. В случае упругой ортотропии у древесины, еслисовместить координатные оси с главными направлениями симметрии,обобщенный закон Гука может быть представлен в таком виде:1431~x£EV <J*У УVxz°zE2Exу1»V,'-E°'-E.Vyz^zEzV*yayE,VzyE,Ey(5.30)= ——•4>r==Г*у=-xy"УДвойные индексы у G соответствуют направлениям, по которымпроисходит изменение прямого угла.Первый индексv определяетнаправление поперечной деформации, второй — направление вызвавшегоее осевого усилия.Учитывая свойства взаимности упругих постоянных, и сравнивая(5.30) и (5.1), получаем следующие тождества:*УXZVZXVУ*ЕгЕ._*У(5.31)Для трансверсально-изотропного тела закон Гука через техническиепостоянные записывается в следующем виде:1хре—<Т/,z-aаЕхЕхV*9'УщVxzV-xSLaEzx—<X +m'E*«e»V1еа = — — a z + — с г — — «г ,;*Ех * Ех • Егs,-,Ег'E1 <TT''xz>4*1I19(5.32)144В заключение данного раздела заметим, что можно использовать какпервоначально указанные упругие постоянные, обозначенные нами черезa,j и Cij, так и технические Е, G, v.
Причем последние, на наш взгляд, болееудобныи понятны в практическом применении. Выбор в каждомконкретном случае должен зависеть от удобства описания поведенияанизотропного материала под нагрузкой.Если экспериментально удается получить упругие постоянные, то повышеприведенным формулам легко определить значения техническихпостоянных модуля упругости, коэффициентов Пуассона и модулейсдвига.5.4.Дифференциальные уравнения равновесия.В общем случае целью исследования поведения тела при действиинагрузки является определениеегонапряженного состояния, т.е.нахождение всех составляющих напряжений, отнесенных к какой-либосистеме координат, в любой его точке и в любой момент времени, еслиречь идет о задачах динамики. Напряжения, в свою очередь, приводят кизменению межмолекулярныхрасстояний — к деформациям. Чтобыполностью представлять, как тот или иной материал воспринимаетдействующиенагрузки,необходимознатьшестьсоставляющихнапряжения и три проекции смещения на выбранные оси координат (илиперейти от выбранной системы координат к любой другой).Как мы уже неоднократно говорили, для изучения древесины можновыбрать две системы координат, отличные друг от друга: декартову, вкоторой неизвестными являются три координатные функции х, уиz,145плюс шесть составляющих напряжений а х ...т х у , и цилиндрическую, гдевместо координаты унеизвестной является угол поворота д>, и шестьсоставляющих напряжений а х ..л^.Для того, чтобы определить напряженное состояние в теле, ккоторому приложена данная система сил, представляющие собой какмассовые силы, так и силы, действующие на поверхность, мыдолжныразрешить уравнения равновесия Коши (5.33), а также шесть уравненийсовместности (5.34)[59]: >д<тг дтхудхдтУдхду•+Х =0dzдст„ дтду(5.33)dzдетEls.дхдтдуд2еуд2е.д2Г У*dz2ду2dydzд2е.д\дх2dz2д Гаdxdzачд2е.д2Г.
ху-+Z = 0dz2ду2дудх2дхЭГ* , дУ:ху+dzдхдуд/уdydz~ дхdidYytdxdz-д2е.дудхдуу дхдуадГхудуdzд ГдГу* , дГгхdz дхдуду хуdz(5.34)146Чтобы получить уравнения, применимые для всех точек тела (илиего части), нужно заменить составляющие напряжений а^ а у ... т ху вуравнениях (5.33) их выражениями через удлинения и сдвиги ех, sy...yxy,подставляя вместо последних их выражения через перемещения точек внаправлении осей координат.ех£уez(dv_ dw^_ди*~ дх_dvl&dyJ(dwдиУ(5.35)zx~дуJfdw^=dudiОбычно, массовыми силами пренебрегают X, Y, Z =0.Не будем выписывать поучившуюся систему уравнений для общегослучая, так как они довольно громоздки и уводят нас в сторону отосновной цели исследования, перейдем сразу к уравнениям для древесины,в предположении о ней, как об ортотропном материале, вспомнив ранееполученное выражение закона Гука через упругие постоянные (5.3).Вначале запишем, как выразятся составляющие напряжения дляорторопного тела:147dudv<Tr = C , tdwhC„hC.,п,31" дхдуdv_duау Сгх+С2г+С- дх dxду » dydu<T, =c31dvqydwdz+ c,„ •a*dzdwdz(5.36)(Xyzdv_• dvM+dz dy )2C~ 44dw du*r„ = c,55 dx dz 2du dv\ J_— + — 2T*y=C<*dydXjПодставляем (5.36) в уравнения Копш (5.33), получим:d2ud2u+ с.66dy£иdx2d2vd2v'"dx2d2vdxdyd2vd2wdxdz^d2w ,..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
