Механическая прочность древесины (1100342), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Поскольку дуб и топольнаходятся в противоположных концах на шкале плотности древесины, товозможно предположить, что весь диапазон значений R^aпределах отнаходится в2,4 до 3,00, а среднее значение, которое можно было быпринимать для любой породы древесины, равно 2,7.Выводы:В главе представлены новые результаты, полученные при обработкеэкспериментов [23], проведенных на древесине по стандартам механикиразрушения, и сопоставлении с исследованиями автора:1. Экспериментальные подходы механики разрушения, основанныенасозданиинаправленногоразрушенияпутемизготовленияискусственной трещины, для древесины имеют крайне ограниченнуюобласть применения.Направленное разрушение может быть задано только при условииразвития трещины между слоями поздней древесины (подробнее- вглавах 6 и 7 представленной работы), что достигается при испытаниях наизгиб в направлении вдоль волокон.
Это направление является одним изнаиболее структурно слабых в древесине и не применяется на практике.2. В качестве образцов для испытаний на трещиностойкость могутбыть рекомендованы образцы, работающие только на изгиб. Растяжениеобразцов с трещиной не удается осуществить практически.3. Сопоставление вязкости разрушения и поверхностной энергииразрушения показывает, что последний параметр менее волатнлен для126различных пород древесины и может быть рекомендован в качествехарактеристики трещиностойкости древесины.4.
ЗначениеR^/aдля тополя равно 2,49, для дуба - 3,00.Предлагается принимать среднее значение данного параметра для любойпороды древесины 2,7.1275.5.1.Синтетическая теория прочностиНекоторые необходимые утверждения теории упругости.Экспериментальные данные для большинства твердыхтел, заисключением металлов, приводят к обобщенной форме закона Гука опропорциональности между напряжениями и деформациями, если, какуказывает Сен-Венан, напряжения и деформации далеки от критических.В общем случае однородного анизотропного тела, когда отсутствуюткакие-либо элементы внутренней симметрии, закон Гука имеет вид:S~S= а 21°"* + <hPy+ a 23°"z + a24Tyz=an<?x+ flxy£za4ax +а\Т?у+aГуг=а41(тх+Y~ = oixax32<*y+ а13°"233°"zаА2сту + a^az+aHTyz+a34Tyz+а\5ГхХ+СГ+ <*25Txz ++ai5Txz+16Глу026^xyai(?xy+ а^т^ + aA5x„ + a^r^(5.1)+a52cxy +a53cxz + a 54 ?-^ + я 5 5 г ^ +flr 5 6 r^УХУ = а<л<*х +а(,г<ту + « 6 3 ^ + « 6 4 ^ + e 6 S r „ + а66тхугде а-д - упругие постоянные деформации.Если тело не находится в равновесии под действием системыприложенных сил, то его частицы будут находиться в постоянномдвижении.
Внешние силы совершают некоторую работу. Если скорости ихдействия достаточно велики, то приходится решать динамические задачи.Мы же будем предполагать, что приложение сил ведется поступательно иза достаточный промежуток времени, так, что кинетической энергиейсистемыможно пренебречь. Кроме того, условимся, чтоформоизменения происходитпроцессадиабатически, т.е. не сопровождаетсяпоглощением или потерей тепла элементами тела.
Тогда некоторая128функция W, существование которой доказано многими исследователями1,представляетсобойпотенциальнуюэнергиюнаединицуобъема,накопленную в теле при деформации, и ее изменение при адиабатическомили изотермическом процессе совпадают с изменениями внутреннейэнергии. Причем функция W удовлетворяет следующим соотношениям:8Wo x=-r—дехr•••dW*"«=-=—* дуyz(. _С5-2)Функция W, удовлетворяющая условиям (5.2) называется упругимпотенциалом2.Если упругий потенциал существует, то, зная форму этой функции,мы можем получить соотношения между компонентами напряжения икомпонентами деформаций, и наоборот, если мы можем получить такиесоотношения из экспериментальных данных, то на основании них мыможем определить упругий потенциал практически вплоть до разрушенияматериала.Если решить систему (5.1) относительно напряжений ах...т^, тополучим уравнения обобщенного закона Гука в другой, эквивалентнойформе:°"х =сп*х +с12*у +Ъз£: +c1A/yz +c 15 r„ +clbyv<*у = C2XSxТ22£у+ С+ C23Sz + C2*Yyz +C25Y*: + С^/щу*У = с61ея +с62£у+с63е2 +смГух+сауя(5.3)+0^/^Доказательство можно найти, например, у Лява.
[59]Однако следует помнить, что упругие потенциалы при адиабатическом и изотермическом процессахявляются разными функциями. Это легко доказывается изпреобразовании первого законатермодинамики AU=Q+A или dU=dA+TdS.Если процесс адиабатический, то 0=0, соответственно dU=A.В случае изотермического процесса достаточно представить TdS=d(TS)-SdT (т.к. d(TS)=SdT+TdS), гдепоопределениюпроцессаT=const,следовательно,dU=dA+d(TS).ИdW(iDOTepMH4ecKoe)*dW(afliia6aTH4ecKoe).2129По Бехтереву П. [13] постоянные ау называются коэффициентамидеформации, а Су — модулями упругости или упругими постоянными.Модули упругости должны однозначно вьфажаться через коэффициентыдеформации и наоборот, для чего необходимо, чтобы определителишестого порядка, составленные из постоянных ау и су, должны бытьотличны от нуля.Если существуетупругийпотенциал W, что происходитприизменении тела при деформации изотермически или адиабатически, тособлюдается условие, чтоСу=с^ .
В самом общем случае анизотропиичисло упругих постоянных сокращается до 21.Тогда упругий потенциал вычисляется в следующем виде:W = - {<тхех + ауеу + агег + гЛ+ т„у„ + г ^ )(5.4)или в развернутом виде:1,ИГ = -аиах1+al2axay+al3crxaz+сг 1 4 <г,г^ +al5trxT„2+ -^22°", +*2Э°УГ* + * 2 4 < V > + «25<V=11+a45TyzTxz1Л-a^aj^(5.5)++а46Ту2Тху+2-«55Гхг+«56^^ +121Де26<*уТх, +2+ ~a^yzГ+ а2+ -аз1<7* +<*гА(Т2ту2+аг5(тгтХ2++ а 1 6 о",г^ +2°"***1,=2(а,,СГ*+а12°'у+Л13°'г+ai4r>z+fl(15^« + ^ 1 б ^ ) ° " хИТ-Д-130Можно также выражение для упругогопотенциала переписатьполностью в составляющих деформаций.
Для этого в выражение (5.4)подставим (5.3) и получим формулу, аналогичную (5.5).2Wи£х£у= cusl+2с+2саехех +2cl4exryt +2с15ех/я + Ъ;,(>ехуху ++Cris2y +2c23syez +'2£2Aeyryz + 7£15€yyxz +2£26£yrxy ++ сгге] +2cuezr„ +?£35£zr*2 + 2c36s r ++СЛлУуг+CAsYyzYxz+ c55rzx+c56rar„+C46?yzYxy(5.6)+++c<*r. *УПофизическомусмыслууравнение(5.6) представляетсобойизвестную формулу Клайперона о потенциальной энергии элементарногообъема.
Исходя из физического смысла упругого потенциала, эта величинадолжна быть всегда положительной, т.е. учитывая (5.5), получим:Д,=ап>0;А2 =«иаапа,Inапа In > 0*21...°пХусловие>0;апиПриведенноехг21аЛ„ =аможет(5.7)...<*„гд_послужитьхорошейэкспериментального определения упругих постоянных.проверкой131В заключение добавим, что формы записи закона Гука черезконстанты ац и су эквиваленты, и ау легко определяются через упругиепостоянные су по обычным формулам:гдеА- определитель,составленныйиз упругихпостоянных,коэффициентов правой части (5.3), а ту — соответствующие миноры этогоопределителя.5.2.Упругая симметрия древесины.Если тело обладает упругой симметрией, о чем мы говорили ранеепро древесину, то уравнения обобщенного закона Гука для негоупрощаются.Отнесем тело к системе координат х, у, zи затем выберем вторуюсистему х\ у\ z'.
Причем вторая система координат будет симметрична спервой согласно тому виду симметрии, которая присуща материалу. Таккакнаправленияодноименныхосейобеихсистемявляютсяэквивалентными в отношении упругих свойств, то уравнения обобщенногозакона Гука и выражение упругого потенциала для второй системы будутиметь такой же вид, как и для первой, и соответствующие упругиепостоянные, входящие в их состав, будут одинаковы.Для первой системы координат х, у, z имеем (см.
5.4)W = -an<T2x+anaxcryа для второй х', у', z'+...+-0^(5.9)132wna= 2° *+a <JxCT yu+ + a'r5Л~ 2 <* l( °)Так как величина упругого потенциала для данного тела в данномсостоянии постоянная, можно полученные выражения приравнять, т.е.+ап°*°У +•••+ 2 а"т1> = 2ап(Т*2°"°'По известным формулам+ачаг'я<т'у+~+2С'6бТ*у(5Л^можно выразить напряжения второйсистемы координат через напряжения в первой, если учесть все девятьнаправляющихкосинусов, которыехарактеризуютпереход междусистемами координат, затем подставить полученные напряжения в (5.11).В результате мы увидим, что некоторые коэффициенты при с^ сту...
т^равны нулю, и число упругих постоянных уменьшается.Однако приведенный ход рассуждений имеет один существенныйнедостаток, заключающийся в большой трудоемкостивычислений.Наиболее простой и, на наш взгляд, понятный способ анализа упругойсимметрии предлагался еще Сен-Венаном в середине ХГХ века [91].Предположим, что в теле имеется одна плоскость симметрии РМР, поотношениюккоторойхарактеристикиупругостираспределенысимметрично (рис.5.1). Если Мх, My, Mz, Мх', My', Mz' являются двумясистемами взаимно-перпендикулярных осей, расположенных симметричнок этой плоскости, то шесть составляющих напряжения из формулы (5.3),соответствующие первым осям, выражаются через коэффициенты сц...см,причем напряжения во второй системе координат также выражаются черезтакие же коэффициенты с'ц...
с'м.Если же ось Mz взять перпендикулярно к плоскости РМР, (рис.5.2) тоось My совпадет с осью My', и ось Мх с Мх'.Тогда133хРис. 5.1. Симметричные координатные системы.рмр/ х. х'У. у'Рис. 5.2. Вид двух систем координат при Mz _L РМР134Сх—СУ х ,CJy CJ у, Тух Т ух(5.12)£х £ хиSy 8 уУух~~У ух*При этом ось Mz' будет продолжением оси Mz с другой стороны отплоскости РМР. Причем, согласно смыслу определения напряжения иравенства величины линейной деформации по разные стороны от оси,будем иметь такие же очевидные соотношения, так как<т2 и <J'Zявляются суммами равных действий и противодействий, взятых в обоихслучаях с одинаковыми знаками.YyzI угзYxz "У xz»CJzИтак,согласно2зСУсимметрииt y z '^yzjt x z " t xz«z <* j>.свойствотносительноплоскости,уравнения (5.3) должны удовлетворять следующим соотношениям:сг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
