И.Н. Сергеев - Варианты экзаменов по ОДУ (1097623)
Текст из файла
Варианты экзаменов по ОДУЛектор И. Н. СергеевIII–IV семестры, 2003–2012 г.Данное издание подготовлено в рамках Программы по Борьбе с Обыкновенными Дифференциальными Уравнениями. Еслиу читателя есть вариант экзамена, которого здесь нет, пришлите его нам. Только такие методы позволят собрать полную коллекциювариантов.Убедительная просьба собрать ещё немного вариантов 2005, 2007 и последующих лет, если таковые вообще в природе имеются!Хотя общая тематика и типы задач уже становится примерно понятными, чёткой программы сопротивления до сих пор не выработано, и дифференциальные уравнения остаются сложным и непонятным предметом (главным образом, с нашей точки зрения,по причине отсутствия сколь-нибудь вменяемой литературы по курсу, написанной современным языком — две брошюрки, изданныелектором, конечно, можно считать литературой по курсу, но адекватной её назвать всё-таки сложно).Нумерация вариантов и задач внутри вариантов может не совпадать с исходной. Мы не можем гарантировать абсолютнуюправильность решений и условий, но стараемся сделать всё для того, чтобы количество ошибок в данном издании было строгоубывающей функцией.Набор, вёрстка: DMVN, П.
В. Бибиков.Решения: DMVN, Д. С. Котенко, В. Осокин, П. В. Бибиков.Коллекцию пополняли: Д. С. Котенко, В. Осокин, Baron, К. С. Коршунов, П. В. Бибиков, А. Богданова, С. АнтоновПоследняя компиляция: 6 июня 2012 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.1. Экзамен 02.06.2004 (Основной экзамен)Правила проведения экзаменаНа решение задач отводилось 1 час 15 минут. Пусть x — количество баллов, набранное на экзамене. Пустьy — количество баллов, полученное за контрольную работу. Имеем 0 6 x 6 10 и 0 6 y 6 5.
Пусть z = x + y.Если x 6= 0, тоБаллыz>3z>6z>9Оценка«3»«4»«5»В течение первых 20 минут экзамена можно попросить поставить оценку исходя только из баллов за контрольную работу. В этом случае z := y, и смотрим в табличку. Очевидно, что при этом оценка не превысит трёхбаллов.1.1. Вариант 1Задача 1 (3 балла). Известно, что y1 = 9 sin t и y2 = 3t2 — решения уравненияy ′′ + p(t)y ′ + q(t)y = f (t),p, q, f ∈ C1 (R).(1)Найти хотя бы одно решение y3 уравнения (1), удовлетворяющее условию y3 (π) = − 21 .
Сколько существуеттаких решений?Задача 2 (2 балла). Может ли уравнение (1) иметь ещё и решение y4 = t2 − 1?Задача 3 (2 балла). Нарисовать характеристики уравненияxu′x − (2y − 3x)u′y = 0(2)на плоскости с координатами (x, y) и определить тип особой точки (0, 0).Задача 4 (3 балла). При каких a ∈ R для любой функции ϕ ∈ C1 (R) в достаточно малой окрестноститочки (2, 1) уравнение (2) имеет решение, удовлетворяющее условию u(x + 2, ax + 1) = ϕ(x)?11.2. Вариант 2Задача 1 (3 балла).
Известно, что y1 = 4 cos t и y2 = 2t2 — решения уравненияy ′′ + p(t)y ′ + q(t)y = f (t),p, q, f ∈ C1 (R).(3)πНайти хотя бы одно решение y3 уравнения (3), удовлетворяющее условию y3 − 2 = 1. Сколько существуеттаких решений?Задача 2 (2 балла). Может ли уравнение (3) иметь ещё и решение y4 = t2 − 1?Задача 3 (2 балла). Нарисовать характеристики уравнения4xu′x + (y − 3x)u′y = 0(4)на плоскости с координатами (x, y) и определить тип особой точки (0, 0).Задача 4 (3 балла). При каких a ∈ R для любой функции ϕ ∈ C1 (R) в достаточно малой окрестноститочки (1, 2) уравнение (4) имеет решение, удовлетворяющее условию u(x + 1, ax + 2) = ϕ(x)?1.3. Вариант 3Задача 1 (3 балла).
Известно, что y1 = t2 − 3 и y2 = 6 cos t — решения уравненияy ′′ + p(t)y ′ + q(t)y = f (t),p, q, f ∈ C1 (R).Найти хотя бы одно решение y3 уравнения (5), удовлетворяющее условию y3таких решений?(5)√ − 3 = 1. Сколько существуетРешение. Функция v := y2 − y1 является решением соответствующего однородного уравненияy ′′ + p(t)y ′ + q(t)y = 0.(6)Поскольку решения однородного уравнения образуют линейное пространство, λv также является решением (6)при всяком λ ∈ R.
Отсюда следует, что функция y3 = y1 + λv будет решением исходного уравнения. Найдёмзначение λ, при котором будет выполнено условие задачи:√ √ y1 − 3 + λ · v − 3 = 1,√3 − 3 + λ · (6 cos 3 − 3 + 3) = 1,откуда λ = 6 cos1 √3 . Итак, искомым решением будет функция y3 = t2 − 3 + 6 cos1 √3 6 cos t − t2 + 3 .Теперь покажем, что такихрешений существует бесконечно много.
Действительно, мы зафиксировали зна√чение функции в точке − 3, но значение первой производной можно брать любым. Таким образом, существуетбесконечно много разных задач Коши, удовлетворяющих условию, а каждая такая задача Коши имеет (единственное) решение по теореме существования и единственности. Задача 2 (2 балла). Может ли уравнение (5) иметь ещё и решение y4 = 3t2 ?Решение. Допустим, что y4 является решением этого уравнения.
Тогда функции u := y4 − y1 и v := y1 − y2будут решениями соответствующего однородного уравнения (6). Имеем(u(t) = 2t2 + 3,(7)v(t) = t2 − 6 cos t − 3.Покажем, что u и v линейно независимы. Действительно, пусть нашлась их нетривиальная линейная комбинацияλu(t) + µv(t), равная тождественно нулевой функции, т. е. t2 (2λ + µ) + 3(λ − µ) − 6µ cos t ≡ 0. В выражениислева второе и третье слагаемые ограничены, а первое можно сделать сколь угодно большим за счёт выбораподходящего t. Отсюда следует, что коэффициент при нём должен быть нулевым: 2λ + µ = 0.
Выражая µ,приходим к следующему выражению: 9λ + 12λ cos t ≡ 0. Ясно, что такое равенство возможно только если λ = 0,но тогда и µ = −2λ = 0, что противоречит нетривиальности линейной комбинации.Поскольку исходное уравнение имеет вторую степень, его пространство решений двумерно. Отсюда следует,что u и v образуют базис в пространстве решений однородного уравнения, т. е.
составляют его фундаментальнуюсистему решений. Из теории линейных систем следует, что определитель Вронского Wu,v (t) не обращается в нульна R. Вычислим его: 22t + 3 t2 − 6 cos t − 3 = 6(3t + 2t2 sin t + 3 sin t + 4t cos t).Wu,v (t) = (8)4t2t + 6 sin t 2Однако при t = 0 он равен нулю. Противоречие. Замечание. В других вариантах этой задачи решение может оказаться несколько сложнее. Дело в том, чтотам невозможно явно указать значения t, при которых Wu,v (t) = 0. Выход из положения — найти две точки, вкоторых определитель имеет значения разных знаков, и сослаться на непрерывность.Замечание. Авторское решение этой задачи предполагало использование оценки колеблемости для этогоуравнения, что не очень естественно.
Кроме того, додуматься до этого на экзамене можно только при идеальномзнании теории.Задача 3 (2 балла). Нарисовать характеристики уравнения3xu′x − (x − 2y)u′y = 0(9)на плоскости с координатами (x, y) и определить тип особой точки (0, 0).Решение. Запишем систему для характеристик этого уравнения:(ẋ = 3x;(10)ẏ = 2y − x.3 0Матрица этой системы есть A =. Вычислим характеристический многочлен: det(A−λE) = (λ−2)(λ−3).−1 2Корни различныи одногобазис:при λ = 2 знака, следовательно, особая точка — узел.
Найдём собственный1 0000имеем A − 2E =, собственный вектор h1 =. При λ = 3 имеем A − 3E =, собственный1−1 −1 −1 01вектор h2 =. В базисе {h1 , h2 } матрица системы имеет вид diag(2, 3). Как мы знаем, кривые прижимаются−1к тому собственному вектору, чьё собственное значение меньше по модулю,yh1xh2что и подтверждает построенный компьютером рисунок. Задача 4 (3 балла). При каких a ∈ R для любой функции ϕ ∈ C1 (R) в достаточно малой окрестноститочки (1, 2) уравнение (9) имеет решение, удовлетворяющее условию u(x + 1, ax + 2) = ϕ(x)?1.4. Вариант 4Задача 1 (3 балла). Известно, что y1 = 8 sin t и y2 = 2t2 — решения уравненияy ′′ + p(t)y ′ + q(t)y = f (t),p, q, f ∈ C1 (R).Найти хотя бы одно решение y3 уравнения (11), удовлетворяющее условию y3 (π) =таких решений?(11)− 12 .Сколько существуетЗадача 2 (2 балла).
Может ли уравнение (11) иметь ещё и решение y4 = t2 − 1?Задача 3 (2 балла). Нарисовать характеристики уравнения2xu′x − (y − 3x)u′y = 0(12)на плоскости с координатами (x, y) и определить тип особой точки (0, 0).Задача 4 (3 балла). При каких a ∈ R для любой функции ϕ ∈ C1 (R) в достаточно малой окрестноститочки (2, 1) уравнение (12) имеет решение, удовлетворяющее условию u(x + 2, ax + 1) = ϕ(x)?32. Экзамен 28.06.2004 (Пересдача №1)2.1. Вариант 1Задача 1 (2 балла).
При каждом µ ∈ R найти все решения уравненияy ′ = (x2 + y 5 ) cos ln y,удовлетворяющие условиямπ(1)y ′ (2) = µ.y(2) = e 2 ,(2)Задача 2 (2). Выбрав при µ = 0 любое решение y1 из найденных, записать уравнение в вариациях и найтипроизводную решения по начальным условиям вдоль y1 .Задача 3 (3 балла). Исследовать решение y1 из предыдущей задачи на устойчивость.Задача 4 (2 балла).
Существует ли определенное на R решение y2 уравнения из первой задачи, удовлетворяющее условию y2 (2) = 30?2.2. Вариант 2Задача 1 (2 балла). При каждом µ ∈ R найти все решения уравненияy ′ = (x3 + y 4 ) sin ey ,(3)удовлетворяющие условиямy(3) = ln π,y ′ (3) = µ.(4)Задача 2 (2). Выбрав при µ = 0 любое решение y1 из найденных, записать уравнение в вариациях и найтипроизводную решения по начальным условиям вдоль y1 .Задача 3 (3 балла).
Исследовать решение y1 из предыдущей задачи на устойчивость.Задача 4 (2 балла). Существует ли определенное на R решение y2 уравнения из первой задачи, удовлетворяющее условию y2 (3) = 5?3. Экзамен 30.08.2004 (Пересдача №2)3.1. Вариант 1Дано уравнениеy ′′′ + a(x)y ′′ + b(x)y ′ + c(x)y = 0,a, b, c ∈ C(R).(1)Известно, что x + 3 и tg 2x − 1 — решения.Задача 1 (2 балла). Найти какое-нибудь решение y3 , для которого y3 (0) = 0, а y3′ (0) = −7.Решение. Используя соображения, аналогичные первой задаче основного варианта этого года, ищем подходящие c1 и c2 для решения c1 (x + 3) + c2 (tg 2x − 1). Получаем −x − 3 tg 2x. Задача 2 (2 балла).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
