И.Н. Сергеев - Варианты экзаменов по ОДУ (1097623), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Сколько существует таких решений?Решение. По теореме существования и единственности условия y3 (0) = 0, y3′ (0) = −7, y3′′ (0) = c даютединственное решение при каждом c, но c можно выбирать произвольно, поэтому получаем ответ: бесконечномного решений. Задача 3 (4 балла). В какой максимальной окрестности точки 0 может быть определено данное уравнение с данными решениями?Решение. По теореме продолжаемости для линейных уравнений при a, b, c ∈ C(I) для любой начальнойточки существует единственное решение задачи Коши, и оно определено на всем интервале I.
Отсюда из-занекоторых проблем с определённостью у функции tg 2x − 1 в точках ± π4 видим, что оно никак не может бытьрешением линейного уравнения на каком-нибудь интервале более − π4 , π4 . Это и есть ответ.Дополнение к решению от П. Бибикова:Уже доказано, что решение не может быть определено на интервале, большем, чем − π4 ; π4 . Не доказанолишь, что существуют такие функции a, b и c, что функции y1 = x+3 и y2 = tg 2x−1 — решения. Их необходимопредъявить непосредственно, подставив y1 и y2 в уравнение и решив полученную систему. Например, можно2взять b(x) = c(x) = 0, a(x) = −4 1+2sinsin4x 2x (проверьте!).P.S. Скорее всего, в условии этой задачи допущена ошибка: функции a, b и c должны быть непрерывныв окрестности точки 0, а не на всей числовой прямой.
43.2. Вариант 2Дано уравнениеa, b, c ∈ C U (0) .y ′′′ + a(x)y ′′ + b(x)y ′ + c(x)y = 0,(2)Известно, что x + 2 и 1 − tg 3x — решения.Задача 1 (2 балла). Найти какое-нибудь решение y3 , для которого y3 (0) = 7, а y3′ (0) = 0.Задача 2 (2 балла). Сколько существует таких решений?Задача 3 (4 балла). В какой максимальной окрестности точки 0 может быть определено данное уравнение с данными решениями?Замечание. Чтобы получить «5», надо набрать 9 баллов, откуда следует, что оценку «5» на этой пересдачеполучить нельзя.4.
Экзамен 20054.1. Вариант 1Задача 1 (4 балла). Какие из функцийy1 (t) = cos 8t − 1,y2 (t) = tg 4t,y3 (t) = cos(8t − 5)не могут быть решениями уравненияp, g ∈ C 1 (R),ÿ + p(t)ẏ + q(t)y = 0,одним из решений которого служит функция y(t) = cos 4t?Решение. Согласно следствию из теоремы Штурма, нули линейно независимых решений линейного однородного уравнения второго порядка должны перемежаться. Очевидно, что решения y(t) и yi (t) (i = 1, 2, 3) линейнонезависимы. Значит, их корни должны перемежаться. Однако, как легко проверить, это условие выполняетсятолько для функции y2 (t). Однако, согласно теореме о продолжаемости, решение должно быть определено навсей прямой (поскольку p, q ∈ C 1 (R)), что для функции y2 (t) неверно. По этой причине ни одна из предложенныхфункций не может быть решением.Ответ: никакие.
Задача 2 (2 балла). В зависимости от параметра a ∈ [0; 3) определить точный тип и устойчивостьособой точки системы(ẋ = 3x,(1)ẏ = ax + 3y.Решение. Для начала найдем собственные вектора матрицы A = ( a3 30 ):|A − λE| = (λ − 3)2 = 0 ⇔ λ1,2 = λ = 3 > 0.Отсюда сразу следует, что особая точка неустойчива. При a 6= 0 rk(A − λE) = 1 ⇒ это вырожденный узел; приa = 0 rk(A − λE) = 0 ⇒ это дикритический узел.Ответ: при a 6= 0 особая точка — неустойчивый вырожденный узел;при a = 0 особая точка — неустойчивый дикритический узел. Задача 3 (1 балл). Существует ли и единственен ли локально вблизи точки (1, 0) ∈ G ⊂ R2 первыйинтеграл ϕ этой системы, удовлетворяющий условиюϕ(x, y) = 1 + 2yпри x = 1.Задача 4 (3 балла). Существует ли и единственен ли целиком в области G = {(x, y) | x > 0, y > 0}первый интеграл ϕ этой системы, удовлетворяющий условиюϕ(x, y) = 1 + 2y5при x = 1.5.
Экзамен 20075.1. Вариант 1 2−2t−2tµtЗадача 1 (1 балл). Пусть eAt = e −2t cos 5t −e−2t sin 5t и xµ (t) — решение системы ẋ = Ax + shс наµesin 5t ecos 5tµ−1чальным условием xµ (0) = 1 . Найти нулевой решение x0 (t).Решение. Подставим µ = 0 и решим задачу Коши(ẋ= Axx(0) = −1.1Согласно теореме из теориилинейных систем, общее решение имеет вид x(t) = eAt C. Найдем C. При t = 0имеем: x(0) = C = −1.Отсюдаполучаем1−2t − cos 5t−sin 5tОтвет: x0 (t) = ecos 5t−sin 5t .
Задача 2 (2 балла). Исследовать решение x0 (t) задачи 1 на устойчивость.Решение. Согласно теореме из теории устойчивости линейных систем, достаточно исследовать на устойчивость нулевое решение. Для этого найдем собственные числа матрицы A (см. задачу 4):−2 − λ−5 |A − λE| = = (λ + 2)2 + 25 = 0 ⇔ λ1,2 = −2 ± 5i.5−2 − λПоскольку Re λ1,2 = −2 < 0, то по критерию устойчивости нулевое решение асимптотически устойчиво, а значит,и решение x0 (t) асимптотически (и просто) устойчиво.Ответ: решение x0 (t) устойчиво и асимптотически устойчиво. Задача 3 (3 балла). Найти все первые интегралы системы из задачи 1, определенные на всей плоскости.Решение.
Пока отсутствует.Ответ: ϕ ≡ const. Задача 4 (2 балла). Найти матрицу A из задачи 1.Решение. Согласно свойству экспоненты от матрицы,−5Ответ: A = −25 −2 . d Atdt e= AeAt , откуда находим A =Задача 5 (3 балла). Существует ли, и если существует то чему равенгде |x| = max{|x1 |, |x2 |}.lim sup |ẋµ (t) − ẋ0 (t)|,µ−→0dAtdt t=0 e .tРешение. Пока отсутствует.Ответ: предел существует и равен 0. 6. Экзамен 04.06.2011 (Основной экзамен)6.1. Вариант 5Задача 1 (3 балла). Про некоторую фиксированную линейную комбинацию функции y и её производныхẏ, ÿ, . . . известно, что она обнуляет ровно две из четырёх функцийy1 = cos 2t,y2 = cos2 t,y3 = t2 sin t,y4 = sin t2 .(1)Какие из них она заведомо обнуляет, а какие — заведомо не обнуляет?Задача 2 (2+5 баллов). Для системы(ẋ1 = sin ax1 − a tg x2 ,√ẋ2 = 2 1 + bx2 − 1(2)а) при a = b = 4 изобразите проекции графиков решений X(t) = (x1 (t), x2 (t)) на фазовую плоскость вблизиточки (0, 0).б) найдите все пары (a, b) ∈ R2 , при которых для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что если X(0) < ε,то X(t) < δ при всех t > 0.67.
Экзамен 28.06.2011 (Пересдача)7.1. Вариант 3Рассматривается уравнениеy′ = y2 −p8|y|.(1)Задача 1 (1+2 балла). Какие точки (x0 , y0 ) ∈ R2 являются:а) точками существования,б) точками единственности?Задача 2 (2 балла). Исследуйте на устойчивость (в том числе асимптотическую) решение y(t) = 1,t > 0.Задача 3 (1+1+2 балла).а) Сколько существует непродолжаемых решений, для которых y(7) = 0?б) Сколько среди них локально различных?в) Все ли такие решения определены на R?8. Экзамен 02.06.2012 (Основной экзамен)8.1. Вариант 1Функция y1 (t) = 6t5 · ch 3t · sin 4t — решение уравненияy (n) + a1 y (n−1) + . .
. + an y = 0(a1 , . . . , an ∈ R).Задача 1 (2+2 балла).а) При каком наименьшем n ∈ N это возможно?б) Обязательно ли это уравнение имеет решениеy2 (t) = (t − 2)5 · ch(3t − 6) · sin(4t − 8)?Задача 2 (2+1+3 балла). Рассматриваются непродолжаемые решения задачи((x(1) = 3,ẋ = 2x − 4y − e−t ,√4 −2ẋ(1) = −2.ẏ = 3x − 6y + 5 t ,а) Сколько их?б) На каких интервалах они определены?в) Устойчивы ли они: по Ляпунову, асимптотически?8.2. Вариант 27Функция y1 (t) = 4t · sh 2t · cos 5t — решение уравненияy (n) + a1 y (n−1) + . .
. + an y = 0(a1 , . . . , an ∈ R).Задача 3 (2+2 балла).а) При каком наименьшем n ∈ N это возможно?б) Обязательно ли это уравнение имеет решениеy2 (t) = (t + 3)6 · sh(2t + 6) · cos(5t + 15)?Задача 4 (2+1+3 балла). Рассматриваются непродолжаемые решения задачи((√7ẋ = 3x − 9y − 3 t−1 ,x(1) = −1,−4ẏ = 2x − 6y + t ,ẋ(1) = 4.а) Сколько их?б) На каких интервалах они определены?в) Устойчивы ли они: по Ляпунову, асимптотически?78.3. Вариант 36Функция y1 (t) = 5t · ch 2t · sin 3t — решение уравненияy (n) + a1 y (n−1) + . .
. + an y = 0(a1 , . . . , an ∈ R).Задача 5 (2+2 балла).а) При каком наименьшем n ∈ N это возможно?б) Обязательно ли это уравнение имеет решениеy2 (t) = (t − 4)7 · ch(2t − 8) · sin(3t − 12)?Задача 6 (2+1+3 балла). Рассматриваются непродолжаемые решения задачи((ẋ = 3x − 6y − e−t ,x(1) = 2,√3ẏ = 4x − 8y + 2/ t,ẋ(1) = −5.а) Сколько их?б) На каких интервалах они определены?в) Устойчивы ли они: по Ляпунову, асимптотически?8.4. Вариант 4Функция y1 (t) = 7t5 · sh 4t · cos 3t — решение уравненияy (n) + a1 y (n−1) + . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
