Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Ребро е будем называть реоро,и розреза, а точку А точкой разреза. '!'акже скажем, что ребро е прн разрезании по точке А расподоеп>ся но два ребра> е> и е>, параметризованные соответственно отрезками 1> и 1з, а точка А расподавтсл па две в»ршицы А> н А графа 6»>,А. Рассмотрим сщс одну конструкцию, аналогичную приведенной только что.
Пус гь С топологический граф, е произвольное его ребро. Выкинем из ребра е связную открьгтук> окресппюп Г произвольной внутренней точки, такую что замыкание окрестности П целиком лежит в с. Полученное топологическое пространство наделим структурой топологического графа, объявив вершинами все вершины из 6, а так>ко две граничные точки окрестности Г; ребрамп на;ювем все ребра нз Г», за иск,почением ребра е, а также две компоненты, на которые распамось ребро с после выбрасывания 1»>. Полученный топологический граф назовсм результатом разреза графа С по ребру е н будем обозначать через !' ! е.
Определим теперь операцию на топологическом графе С, обратную к разрсзаншо. Для этого в»ибером в С .чвс вершины о и и' степени 1, н пусть е и с' ребра, инцидснтные соответственно и и о'. Отождсггвим вершины о н о'. Полученное топологичсскос пространство обозначим через 6'. Па- Инниъсальпые сети раметризуем очевидным образом объединение е О е' некоторым отрезком, и после этого введем на С' структуру ! рафа, выбрав в качестве вершин все вершины из С, за исключением и и о', а в качестве ребер все ребра из С, за исключением е и е', а также е 0 с'. Так полученный граф обозначим через С!осэ', а описанную операцию назовем склейкой графи С по гермина.н о и о'.
Верппшы е н о' называются вершинами склейки. Пусть С топологический граф, и е произвольное его ребро. Выберем внутри ребра е произвольную точку Л, и разобьем это ребро точкой Л на два отрезка ез и ею Определим теперь новый топологпческий сраф С', множество вершин которого получается из ъшожества вершин графа С добавлением точки Л, а множество ребер заменой во множестве ребер графа С ребра е на ец и еэ. Описанная только что операция называется измельчениен топологического графа С. Определим теперь операцию, обратную к измсльчению, Пусть С топологичсский граф, и о произвольная его вершина степени 2, пе инцядснтная петле (в противном случт*, связная компонента графа С, содержащая и, состоит ровно из одной петли, и наша операция пе определена).
Пусть е1 и е ребра из С, инпидснтныс и (эти ребра различны в силу сделанного предположения). !засс. лотрпм теперь граф С', множество вершин которого получается из множества вершин графа С удалением вершины и, а множество ребер заменой во множестве ребер с рафа С ребер ез н ез на ребро е1 О е ь Эта операция называется укрупнением топологию.ского графа С. 3 Минимальные сети Пусть С связнгаи граф. Непрерывное отображение !' графа С в 1ыоскость чз называется обобщенной споиологической сстекз.
При этом граф С назьшается пораметриэувщим графа„и сети 1. Ограничение отображения Г на вершины и ребра с рафа С будем называть соответственно оерюиналт и ребрами сети !'. Ясно, что ребра сети это непрсрсивные кривые па плоскости. Отметим, что образы различных вершин графа С при отобракснии Г могут, вообще говоря, совпадать. Выше мы определили различные операции над топологическимп графами.
Во многих случаях они очевидным образом переносятся и на сстп. !!олучепныс в резутьтатс сети будем называть и обозначать так же, как и соответствующие топоюгические графы. Разберем теперь нетривиальные ситуации. К пнм относятся склейка отмеченных графов и склейка графа по паре его вершин степени 1. В первом случае надо дополнительно определить сеть на ребре склейки, в чем заключается некоторый произвол.
Ниже мы иногда будем накладьпзать дополнительные ограничения яа ребра склейки таких сетей, что будет обговариваться особо. Во втором случае сеть может быть корректно определена если и только если образы У1иниыальцые сети вершин склейки совпадают. Пусть Г: С вЂ” ь 2з обобщенная сеть, и дС гранина графа С. Ограничение отображения Г на дС называется границей сети Г и обозначается через д! . При этом, сели Р! произвольное конечное подмножество плоскости !еы, и Г сеть с границей дГ, образ которой совпадает с ЛХ, то будем говорить, что сеть Г .затягивает жиожестао М по граттножр отобраясеншо дГ.
Вершины сети Г, принадлежащие грашще дГ, называются грани ь иььии или яеподаилсны,яи, а все остальные вершины из Г ьнутреияи.ии или подеияеныяи. Ребра сети, пнцидентные ьраничным вершинам, будем также называть граничим„яи, а ребро, пе инпидептпое никакой грани шой вершине, назовем анртрснни,я. Пусть Г: С вЂ” > !Рз обобщенная сеть, и Г: С х [а, а] — ь йз непрсрывнос отображение. Обозначим через Г~ отображение Г)э!).
Тогда отображение 1' и семейство отобраьксний Г~ называ|отся деягор нацией сет и 1, если Г„= Г. Пусть т~ перь обобщенная сеть Г: С вЂ” > аз имеет некоторую границу, и Г~ деформация сети Г. з!ы товорим, что эта деформация неподвижна иа границе, если каждая граничная вершина сети Г неподвижна при дсформаппи Гь Оооошеццая топологическая сеть 1': С вЂ” ь Лз называется погрузкеяной сетьт, если для любой точки Р б С существует такая окрестность П, что ограничение отображения!' на окрестность !У является вложением. !1ными словами. погружение Г это локальное вложение.
Легко видстчь что в качестве окрестности П всегда можно выбрать допустимую окрестность. Ишями словами, сеть Г является по1 руженпой, если у любав точки Р из С имеется такая допустимая окрестность П, что ограничение отображения Г на локальный граф Сп вложенная сеть. Кроме того, ясно, что кгакдое ребро поь ружснной сстн является погруженной непрерывной кривой.
Так как в дальнейшем нас будут интересовать преимущественно погруженные сети, то такие сети для краткости будем называть просто сетя„ии, опуская слово "погруженный'. Обобщенная топологвческая се ее Г: С вЂ” ь 'мз называется елоявеиной сечи и, если отображение Г является топологическим влояьепием. Если обобщенная сеть Г погруженная, то, определяя се деформацию ! б будем предполагать (если пе оговорено противное), что все сети Г, также являются поь ружснными.
две (погруженных) сети 1: С вЂ” > зйз и Г': С вЂ” ь Лз называются экеиаалситныяи, сели существует деформация Гс . 'С вЂ” ь жз, ! Е 1О, 1], такая что 1'е = Г, Гь = Г' (и все сети Г~ погруженные). Р!ными словами, сети эквивалентны, если одну нз них можно пролсформировать в другую. Если сети Г и Г' вложенные, то мы, определяя их эквивалентность, дополнительно будем предполагатгь что все сети Г~ влоькенпыс. В случае, когда на потребуется, чтобы эквивалентность Гы переводящая вложенную сеть Г во влоькепную сеть Г', проходила через погруженные сстн, мы будем такую Минимальные сети эквггвэлеггтпость называть поердэюснной .эквггеалеггтггосгпью, а сети Г и Г' в этом случае называтг, аогруаиенно гзкьиаилеггтггьгми.
Замечание. Мы могли бы определить эквивалентность обобщенных сетей. однако такая эквигзалентцость тривиальна, так как каждая обобщенная сеть эквивалентна точечной сети (тзз. когда Г отображение в точку). Обоогценная сеть Г называется ггэмерилгогд если все ее ребра погруженные спрямляеъгые кривые, т.е. для каждого ребра определена длина как предел длин вписанных в это ребро ломаных. Длиной иэ.агримой ссгаи называется сумма,ллян входящих в пее ребер. Пусть опять Г: С вЂ” > лг произвольная обобщенная есть, Р любая точка графа С, и Сгг лака,п,вый граф с центром в Р. Сеть с границей, равная ограничению отобгзажсния Г на Сп, называется локальной остью с иенгпром ь точке Г и обозначается через Гс.
При этом, ограничение отобраягсния Г на каноническую границу дСг, локального графа Сп называется канонической грггниией лака.гьноб сипи Гг; и обозначается через дГп. Отметим, что любая локальная сеть произвольной измеримой сети также измерима. Также отметим, что у лгобой точки Р параметризуюшег о графа С погруженной сети имеется такой локсльныи граф Сп, что соответствующая локальная сеть является влолгепной. Измеримая сеть Г, затягивагощая конечное множество М С .Дгз точек з плоскости э,, называется абсолютно минимальноа, если ее длина наименьшая среди длин всех измеримых сетей, затягивающих ЛХ. Определим теперь локально минимальные сети.
Неформально говоря, это такие сети, каждый достаточно малый фрагьлент которых абсолютно минимален. Чтобы дать строгое определение, воспользуемся введенной выше локальной сетью. Определение. Измеримая есть Г, затягивающая множество ггэ О к~, называется локальна мини.аальной, если для лгобой ес точки Р некоторая локальная сеть с центром в Р является абсолютно минимальной сетью. Замечание.