Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 11
Текст из файла (страница 11)
4) Получено полное описание всех невырожденных локально минимальных сетей с выпуклыми границами. Описание дается на языке обобщенных паркетов, т.с. триангуляций (нс обязательно дим опальных). составленных из правильных треугольников.
Сначала для произвольной сети Штсйнера 1', т.с. для сети, стспслллл вершин которой не превосходят 11, определим фундаментальные циклы. А именно, пусть Г произвольпвл связная компонента множества 'йз лл Г, и Г замыкание множества Г. Тогда связная компонента С' л раницы дГ мнолсества Г, такая что область, ограниченная С, содержит все остальные связные компоненты множества дол, называется улл!ндамсллтальныя циклона соотьтпствующам Г.
Разобьем всрпшны фундаментального цллкла С на внешние, внутрсннил: и вырожденные. Пусть с произвольная вершина из С. Если вершина и имеет степень 2 в сети Г, то пазовеъл с вырожденной всрилиной. В противном случае, обозначим через е единственное ребро сети Г, инциделггпое и и нс содержащееся в С. Если е пересекает Г по вершине и, то назовем и внешней вершиной, иначе назовем и внутренней вершиной.
Обозначим через д!С), о!С) и л1лС) соответственно количества вырожденных, внешних и внутренних вершин фундаьлентального цикла С. Имеет место следуюппш 1лезультат. Предлслженио 19 Если сеть П!тейнера !' планарно эквивалентна ллекоторой локально мини нальнои' сети, яло для каждого флуллдллнеллтольлло; о тиьла С из 1' выполняется нявырождтлная сеть !Нтсйнсра, т.е. Г не содержит Пусть теперь Г р .- -' 2. Следствие 6 Если неоырож денная сеть Шплейнсра Г плинарно экьива„генлпна некоторой локально .тлнимальной сети, то для каэкдого у!!!ндамецтольного цикла С из! вьпамняется Основные результаты диссертации Предложение 20 Если певырожденная сеть Штеинсра!' планарно зквивалентна некоторои' локально минимальной сети с вьтуьлой границей, то для каждого фундаментального цикла С из Г сьшолняется о(С) = б.
1(С) = О. Иныии словами, в любом фунда,нептально.я цикле внутреннис вершины отсутствуют, и каэкдый фунда,нентальный цикл состоит из шести ребер. сйундзментальный цикл С, для которого д(С) = О, 1(С) = О и о(С) = б называется тривиальным, а невырожлснная сеть Штсйнера, все фундамснтальныс циклы которой тривиальны, таклсс называется тривиальной. Пусть Г тривиальная сеть Штейнера, и пусть а и Ь дна произвольных ребра из Г, инццдснтных вершинам степени 1 (танис ребра будем неюывать грани ьными). Рассмотрим произвольяый ориентированный путь з в Г, начинающийся на о и заканчивающийся на Ь. Так же, как и выше, определим число вращения Ьи, (а, Ь) упорядоченной пары ребер (а, Ь) вдоль пути ",:.
Предложение 21 Пусть Г триоиальноя сеть Шптйнсра, !а, Ь) упорядоченная пора гроничпыт ребер из Г, а ~ и 1' пара ориент,ированных путаЮ, начинающихся но а и заканчивающихся на Ь. Тогда рк (а, Ь) = ьи (а, Ь'). Инььни словалеи, в тривиальной сети Штсйнсра число вращения,нсжду грани шызьи ребро,ии не зависит от пути, их, соединяющего. 11ослслнсе предложение позволяет обобщить поннтис числа вращения па произвольную упорядоченную пару |рацичных ребер тривиальной сети Штсйнера Г.
Определение. Числом вращения тривиальной стаи Штеинеро Г называется максимум чисел вращения сщ(а, Ь) по всем упорядоченшим парам (а, Ь) граничных ребер из Г. Теорема 5 Нс.ш невырожденния сеть Путейнера Г имеет выпуклую минимальную реализацию, то Г тривиальная есть Штсйнсра, и ее число вращения нс превосходит о. Предложение 22 Троясдая тривиальная сеть Штсйнера с не преоосхоь)яицим Ь числом вра1цения пнзнарно зквоьилентна двоосцшенной сети неьопьорого обобщенного паркета.
Основные результаты диссертации 1~на последних результата позволяют использовать язык обобщенных паркетов длн описания невырожденпых сетей П!тейнера, имеющих правильную минимальную рсализапию. Так как полученные описания достаточно сложны, мы нс будем здесь приводить точного результата. Автор выражает глубокую признательность своему учителю академику Анатолию Тимофеевичу Фоменко, который сформировал научные интересы автора, научил автора работать, проявлял постоянныи интерес к работе автора, и поддерживал автора во многих его начинаниях. Автор также глубоко блае одарен своему другу и коллесс Александру Олеговичу Иванову за многолетнее сотрудничество как в нау нных, так и в житейских вопросах. Глава 1 Основные определения и общие предварительные результаты В настоящей главе мы напомним основные определения, нсобходимыс в дальнейшем, я приведем наиболее общие результаты, характеризующие обьскты, с которыми мы будем работать.
1 Топологические графы 11усть С произвольное топологическое пространство, склеенное пз консчного числа отрезков прямой [аб 6;] по некоторой эквивалентности, отождествляющей концевые точкц этих отрезков. Такое пространство С называется ~пополоеипсскиж графом. Если л: 0[а„6,] — л б естественная проекция, задаваемая этой склейкой, то образ каждого отрезка [а,, 6,] называется ребром плопологипсс кого графа С, а образы точек а; и 6; осршина пи из С.
Сами отрезки (аы 6] назовем оспрсзкалш, параиеплризлрощияи ребра топологи и ского графа С. Ясно, что мы получили топологяческое представление абстрактных графов саллол о общего вида, т.с. графов с петлями и кратными ребрами, поэтому на топологичсскис графы непосредственно переносится вся терминология как тсориц абстрактных графов, так и теории топологнческих пространств, чем мы и будем пользоваться в дальнейшем.
Кроме того. в силу отмеченного соответствия между топо.югичсскиъш и абстрактными графами, мы часто лля краткости бучем назьлвать топологи лесине гръфы просто арифа.ии, опл окая слово 'топологичсскии '. Предположим, что в графе С влядслено нскоторос подмножество М мно- '1б Операции над топологическими графами жества е~ о вершин. Пару (СХ, ЛХ) мы будем называть графом с границей М.
Иногда, неформалыю. мы будем говорить, что граф 6 и.ягет границу ЛХ и обозначать сс через д6. Всршины из дС' будем называть граничными или исподвилсиыми, а все остальные вершины внутренними или подвижиььяи. Рсбра графа, инцидснтныс граничным вершинам, также назовем граничными, а ребро, не инцндснтпос никакой грани шой всрппп~с, назовем внутренниж. Два топологических графа 6~ и 6з называются эквивалеиишыжп, если между ними сущес гвуст гомсоморфизм Зв, устанавливающий взаимно однозначное соответствие между множествами вершин этих графов. Каждый такой гоасоморфизм назтивастся зквивалсиппизстыо. Если, кроме того, у графов 6, их1еются границы ЛХ„состояшие нз одинакового числа вершин, и задано некоторое взаимно однозначное соответствие и: ЛХз — > Мз, то графы С, называются и-эквивалентными.
если существует эквивалентность р: 61 — г С'м ограничение которой на ЛХ1 совпадает с и. Пусть 6 произвольный граф с границей д6 (воззможно, пустой), и Р б 6 некоторая его точка. Допустимой окрешииосгиюа Г С 6 точки Р графа С' называется замыкание связной окрестности этой точки, нс содержащее вершин графа С', отличных от Р, если Р вершина, и не содержащее петель нз 6. Наделим окрестность Г структурой графа, объявив вершинами все точки из дГ, а также точку Р, если Р вершина из 6; ребрами назовем отрезки в Г, соединяющие эти точки. Полученное дерево обозначим через 6~ и буде л называть локальным графом с центро.,я в точке Р.
Определим каноническую границу дбп локального граФа 6п, включив в нес все вершины из дГ, а также вершину Р, если Р граничная вершина графа С . Ниже мы используем локальные графы для определения локально минимальных остей. Здесь же проиллюстрирусм, как работает зто понятие, напомнив определение степени вершины.
А именно, степаны дели) вершины и графа 6 называется количество ребер произвольного локально~ о графа с центром в и. 2 Операции над топологическими графами Пусть 6 топологический граф, и е произвольное его ребро. Рассмотрим надпространство С ' в 6, являющееся замыканием множества 6 ~, с. Наделим 6' структурой топологического с рафа, объявив вершинами все вершины графа 6, а ребрами все ребра графа 6, за исключсшлс л ребра с. Описанная только что перестройка графа 6 называется выкидыванием иг С' ребра е и обозначается С' ~ с. Пусть С топологичсский граф, и и произвольная его всрпппш. Пару (6, и) назовем опьясчсиным типологическим грасХзозс Пусть (6, п) и (6', и') два отмеченных топологичсских графа.
Пуст| Операции над топологическими графами 46 1 = [а, 6] отрезок. Оклеим С, 1 и С' [как топологические пространства) следующим образом. Точку а Е 1 отождествим с о, а точку Ь Е 1 с о'. Полученное топологичсское пространство С наделим структурой графа, выбрав в качестве вершин все вершины из 6 и 6', а в качестве рсбср— вес рсора из С и С', а также отрезок 1 [точнсс, сто образ при склейке). Эта операция называется склейкой оп>жечсниыт ."рафов [с', о) и [С'> о'), а ребро, полученное из отре:>ка 1 — ребром склейки. Пусть С> и Сз два топологических графа, и в, ребро графа С,, нццидснтнос вершине о; стспсни 1. Тогда склейку отмеченных графов [Сь о;) будем называть склвй>,ой графов С, по ребров> склейки е„и обозначать чер.. [С„е,)16[6„ез). Пусть С топологическнй граф, е произвольное его ребро, и 1 = [а, Ь] отрезок, параметрнзующий ребро с.
Пусть г и с' вершины графа 1», инцидснтныс ребру е [эти вершины могут совпадать, сели в петля). /)ля определенности, предположим, что точка а Е 1 отождествляется с о, а точка 6 Е 1 с»/. Выберем на с [фактически, на 1 = [о,6]) некоторую внутреншою точку А, и рассмот!в>м два отрезка; 1> = [а, А] и 1з = [А, 6].
Выб>росии из графа 1» ребро е, и к полученному графу 6 >> е приклеим отрезки 1> и 1з, отождествив вершину о с точкой а Е 1>, а вершину о' с точкои 6 Е 1 . Полученное топологи >еское пространство наделим структурой графа, объявив вершинами все вершины из С >> с, а также две разные точки 4> = А Е 1> и Лз = А Е 1з, в качестве ребер возьмем вес ребра из С >~ с, плюс отрезки 1> и 1 . Описанная операция называется разрезание,и графа С по топке А и обозначается С >, Л. Всгсствштъ>с вложения отрезко~> 1> и 1з в отрезок 1 порождакж очевидным ооразом погружение графа С >, А в граф С; прн этом точки 4> и Лз переходят в одну точку ! Е с.