Разработка усилителей (1095878), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Поскольку Γвх и Γвых зависят от согласующих цепей генератора инагрузки, то устойчивость усилителя зависит от коэффициентов отражения Γги Γн . Таким образом, определим два типа устойчивости:– безусловная устойчивость. Усилитель называется безусловноустойчивым, если |Γвх | < 1 или |Γвых | < 1 при любых значениях импедансовгенератора и нагрузки, то есть |Γг | < 1 или |Γн | < 1.– потенциальная устойчивость. Усилитель называется потенциальноустойчивым если |Γвх | < 1 или |Γвых | < 1 для определённых значенийимпедансов генератора и нагрузки. В зарубежной литературе данный режимтакже называется условной устойчивостью.18Заметим, что устойчивость усилителя зависит от частоты, так какхарактеристики входной и выходной согласующих цепей зависят от частоты.Таким образом, усилитель может быть устойчивым на рабочей частоте, но неустойчивым на других частотах.
При проектировании усилителей необходимоучитывать данный факт. Также надо обратить внимание, приводимоерассмотрение относится к четырёхполюсникам, схема которых приведена нарисунке 2, и параметры матрицы рассеяния которых могут быть измерены безавтогенерации во всём интересующем диапазоне частот. Строгий обобщённыйподход к выводам условий устойчивости требует, чтобы параметры матрицырассеяния (или другие параметры цепи) не имели полюсов в правойкомплексной частотной полуплоскости в дополнение к приведённым вышеусловиям |Γвх | < 1 или |Γвых | < 1. Данный факт трудно оценить на практике,но для рассматриваемого случая, когда известно, что параметры матрицырассеяния не имеют полюсов (что подтверждено их измеримостью)приведённые условия устойчивости являются достаточными.Применяя требования безусловной устойчивости для схемы усилителя,изображённой на рисунке 2, получим следующие критерии, которымудовлетворяют любые Γг и Γн :|Γвх | = |11 +12 21 Γн| < 1,1 − 22 Γн(25а)12 21 Γг| < 1.1 − 22 Γг(25б)|Γвых | = |22 +Если усилитель однонаправленный, то требования преобразуются квиду |11 | < 1 и |22 | < 1.В противном случае требования (25) определяют диапазон значений Γг иΓн , при которых усилитель является устойчивым.
Задачу нахождения Γг и Γнможно облегчить, используя диаграмму Смита, на которой изображаютсявходной и выходной круги устойчивости. Границы этих кругов определяюткоординаты в плоскости Γн (или Γг ), где |Γвх | = 1 или |Γвых | = 1, то есть с одной19стороны окружности усилитель устойчив, с другой – потенциально неустойчив. Γг и Γн должны лежать внутри диаграммы Смита, так как дляпассивных согласующих цепей |Γг | < 1 и |Γн | < 1.Выведем уравнение для окружности, определяющей устойчивость длявыходной цепи.
Из выражения (25а)|11 +12 21 Γн| = 1,1 − 22 Γн(26)или|11 (1 − 22 Γн ) + 12 21 Γн | = |1 − 22 Γн |.(27)Обозначим Δ детерминант матрицы рассеянияΔ = 11 22 − 12 21 .(28)Тогда выражение (27) можно представить в виде|11 − ΔΓн | = |1 − 22 Γн |.(29)Возведём в квадрат обе части и получим∗|11 |2 + |Δ|2 |Γн |2 − (ΔΓн 11+ Δ∗ Γн∗ 11 )∗ ∗= 1 + |22 |2 |Γн |2 − (22Γн + 22 Γн )∗∗(|22 |2 − |Δ|2 )Γн Γн∗ − (22 − Δ11)Γн − (22− Δ∗ 11 )Γн∗ = |11 |2 − 1Γн Γн∗∗ )Γ∗∗∗(22 − Δ11|11 |2 − 1н + (22 − Δ 11 )Γн−=.|22 |2 − |Δ|2|22 |2 − |Δ|2(30)Далее дополним левую часть до полного квадрата, прибавив к обеим∗ |2частям |22 − Δ11/(|22 |2 − |Δ|2 )2 , и получим∗ ∗ 2∗ |2|11 |2 − 1|22 − Δ11(22 − Δ11)+,|Γн −| =|22 |2 − |Δ|2|22 |2 − |Δ|2 (|22 |2 − |Δ|2 )2или∗ ∗(22 − Δ11)12 21=|Γн −|||.|22 |2 − |Δ|2|22 |2 − |Δ|2(31)В комплексной Γ-плоскости уравнение вида |Γ − | = определяетокружность с центром в точке (комплексное число) и радиусом (действительное число). Таким образом, уравнение (31) определяетокружность выходной устойчивости с центром н и радиусом н , где20∗ ∗(22 − Δ11)н =,|22 |2 − |Δ|2(32а)12 21|.|22 |2 − |Δ|2(32б)н = |Такие же выражения можно получить для окружности входнойустойчивости, взаимно заменяя 11 и 22 .∗ ∗(11 − Δ22)г =,|11 |2 − |Δ|2(33а)12 21|.|11 |2 − |Δ|2(33б)г = |Зная параметры матрицы рассеяния транзистора можно построитьокружности устойчивости, для которых |Γвх | = 1 и |Γвых | = 1.
С однойстороны окружности входной устойчивости |Γвых | < 1, с другой – |Γвых | > 1.Также и для окружности выходной устойчивости с одной стороны |Γвх | < 1, сдругой – |Γвх | > 1. Требуется определить в какой части диаграммы Смитапредставлена область устойчивой работы транзистора.Рассмотрим окружность выходной устойчивости, построенную наплоскости Γн , для |11 | < 1 и |11 | > 1, как показано на рисунке 3. Если задатьн = 0 , то |Γн | = 0, и, как следует из выражения (25а), |Γвх | = |11 |.Следовательно если |11 | < 1, |Γвх | < 1, то есть значение Γн = 0 должнолежать в области устойчивости.
Это означает, что центр диаграммы Смита(Γн = 0) находится в области устойчивости, и часть диаграммы Смита |Γн | <1, лежащая вне окружности располагается в области устойчивости. Этаобласть заштрихована на рисунке 3а. Если же при н = 0 |11 | > 1, |Γвх | > 1при Γн = 0, и следовательно центр диаграммы Смита (Γн = 0) находится вобласти неустойчивости. В данном случае область устойчивости лежит напересечении круга устойчивости и диаграммы Смита, как показано нарисунке 3б. Аналогично ведутся рассуждения для окружности входнойустойчивости.21(а)(б)Рисунок 3 – Выходные круги устойчивости для потенциально устойчивогоустройства. (а) |11 | < 1, (а) |11 | > 1Если устройство является безусловно устойчивым, то окружностиустойчивости должны находиться вне диаграммы Смита (или полностьювключать её).
Математически это условие выражается следующим образом:||н | − н | > 1 для |11 | < 1(34а)||г | − г | > 1 для |22 | < 1(34б)Если |11 | > 1 или |22 | > 1, то устройство не может быть безусловноустойчивым, так как всегда можно сделать импеданс источника или нагрузкиравным 0 , получая Γг = 0 или Γн = 0 и |Γвх | > 1 или |Γвых | > 1. Еслиустройство является потенциально устойчивым, что координаты рабочихточек Γг или Γн должны выбираться в частях диаграммы Смита, определяющихустойчивость.
На практике следует проверять устойчивость на несколькихчастотах в рабочей полосе устройства. Также стоит отметить, что параметрыматрицы рассеяния зависят от условий питания транзистора, а следовательнои устойчивость зависит от условий питания. Если возможно пожертвоватькоэффициентом усиления, то при использовании резистивной нагрузкитранзистор будет безусловно устойчивым в большинстве случаев.22Критерии безусловной устойчивостиОкружности устойчивости, построение которых описано выше, могутиспользоваться для определения Γг или Γн , для которых транзистор будет вустойчивом состоянии.
Для определения безусловной устойчивости могутиспользоваться более простые критерии, например, − Δ-критерий, которыйгласит, что устройство будет безусловно устойчивым, если одновременновыполняются критерий возможности согласования (Rollet’s condition)1 − |11 |2 − |22 |2 + |Δ|2=>12|12 21 |(35)и дополнительное критерий|Δ| = |11 22 − 12 21 | < 1.(36)Данные критерии являются необходимыми и достаточными длябезусловной устойчивости, и могут быть легко вычислены. Если параметрыматрицы рассеяния не удовлетворяют − Δ-критерию, то устройство неявляется безусловно устойчивым, и по диаграмме Смита должны бытьопределены значения Γг или Γн , для которых устройство будет устойчивым.Также следует помнить, что для безусловной устойчивости коэффициенты|11 | < 1 и |22 | < 1.Хотя − Δ-критерий является математически строгим условием длябезусловной устойчивости, его нельзя использовать при сравнении двух илиболее устройств, так как он содержит два независимых параметра.
Помимоэтого, существует ещё один критерий, комбинирующий параметры матрицырассеяния таким образом, что приходится вычислять только один параметр 1 − |11 |2=>1∗ ||22 − Δ11+ |12 21 |(37)Таким образом, если > 1, то устройство является безусловноустойчивым, и чем больше , тем выше устойчивость.Выведем -критерий из выражения (6б) для Γвых23Γвых = 22 +12 21 Γг22 − ΔΓг=,1 − 11 Γг 1 − 11 Γг(38)где Δ – определитель матрицы рассеяния.
Безусловная устойчивость означает,|Γвых | < 1 для любой пассивной нагрузки. Коэффициент отражения пассивныхцепей генератора лежит внутри единичной окружности на диаграмме Смита,и описывается выражением Γг = − . Выражение (38) отображает этуокружность в другую на плоскости Γвых . Покажем это, сделав подстановкуΓг = − в выражение (38), и решив для − . − =22 − Γвых.Δ − 11 ΓвыхВычислим модуль обеих частей данного уравнения|22 − Γвых| = 1.Δ − 11 ΓвыхДалее возведём его в квадрат и упростим, что даст∗ )∗ (Δ ∗|Γвых |2 (1 − |11 |2 ) + Γвых (Δ∗ 11 − 22+ Γвых11 − 22 )= |Δ|2 − |22 |2 .Теперь разделим обе части на (1 − |11 |2 )|Γвых |2 +∗ )∗ (Δ ∗|Δ|2 − |22 |2Γвых (Δ∗ 11 − 22+ Γвых11 − 22 )=.1 − |11 |21 − |11 |2Дополним до полного квадрата, прибавив к обеим частям∗ |2|Δ∗ 11 −22(1−|11 |2 )2∗∗ |2|12 21 |2Δ11− 22 2 |Δ|2 − |22 |2 |Δ∗ 11 − 22+=|Γвых +| =(1 − |11 |2 )2(1 − |11 |2 )21 − |11 |21 − |11 |2(39)Это уравнение вида |Γвых − | = представляет собой уравнениеокружности с центром в точке и радиусом в плоскости Γвых .
То естькоординаты центра и радиус окружности |Γг | = 1 задаются выражениями∗22 − Δ11=1 − |11 |2(40а)|12 21 |1 − |11 |2(40б)=24Если точки внутри этой окружности должны удовлетворять условию|Γвых | < 1, то|| + < 1(41)Подставив (40) в (41) получим∗ ||22 − Δ11+ |12 21 | < 1 − |11 |2 ,что после перегруппировки даёт выражение для -критерия1 − |11 |2=> 1.∗ ||22 − Δ11+ |12 21 | − Δ-критерий (35), (36) можно вывести из того же выражения, что и критерий, но проще вывести из -критерия. Перестановка в выражении (37) ивозведение в квадрат даёт следующий результат∗ |2|22 − Δ11< (1 − |11 |2 − |12 21 |)2(42)Можно показать, что левая часть неравенства преобразуется к виду∗ |2|22 − Δ11= |12 21 |2 + (1 − |11 |2 )(|22 |2 − |∆|2 )Тогда выражение (42) преобразуется к виду|12 21 |2 + (1 − |11 |2 )(|22 |2 − |∆|2 )< (1 − |11 |2 )(1 − |11 |2 − 2|12 21 |) + |12 21 |2 .После упрощения получим(|22 |2 − |∆|2 ) < (1 − |11 |2 − 2|12 21 |),что можно преобразовать к условию возможности согласования1 − |11 |2 − |22 |2 + |Δ|2= > 1.2|12 21 |Вдополнениекусловию(35)дляобеспечениябезусловнойустойчивости транзистора должно выполняться условие (36).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
