Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 66

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 66)

В принципе, нам достаточно рассмотреть именно систему уравнений первого порядка, поскольку одно уравнение и-го порядка сводится к системе п уравнений первого порядка (и, следовательно, систему т уравнений л-го порядка можно свести к системе лт уравнений первого порядка).

Осуществить такое сведение' можно, например, следующим образом, Введем новые переменные у~(г) — = у<' '«(г), ю' = 1,...,л. (А.2.5) Очень важный частный случай системы (А.2.4) имеет место, когда вектор-функция ~ оказывается линейной по у. В этом случае (А.2.4) принимает вид у'(г) = А(т)у(г) + Ь(г), (А.2.8) где А — заданная матрица размера н Х н, элементы которой являются функциями от т, а Ь вЂ” заданная вектор+ункция от г.

Если здесь А не зависит от г и Ь = О, то мы приходим к линейной однородной системе с постоянными коэ4фициентами у' = Ау, (А.2.9) решение которой может быть, в принципе, получено явно в виде разложения 7+Ат + — Атгт + с (А.2.10) где с — произвольный постоянный вектор с и координатами. Разложение в скобках есть экспоненциальная функция от А т, так что' (А.2.10) можно записать в компактной форме как у(г) = е"'с.

(А.2.11) Из представления (А.2.11) видно, что общее решение системы (А.2.9) зависит от и произвольных постоянных — и координат вектора с. Таким образом, чтобы выделить единственное решение системы (А.2.9), необходимо задать и дополнительных условий. Эти условия обычно формулируются в виде начальных ипи граничных условий. Так, например, решение (А.2 9), удовлетворяющее начальному условию у (0) = уе, имеет вид у(г) = е.4 'уе. Если уравнение имеет более сложную форму„то начальные условия уже не удается использовать таким простым образом. Более того, в общем случае непосредственно даже не очевидно, при каких условиях задача Коши у (т) = У(т, у(г)) у(0) = у0, (А.2.12) имеет единственное решение. Основные теоремы, формулирующие эти условия, можно найти в любом учебнике по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Если и дополнительных условий на решение заданы не в одной точке отрезка, а в нескольких, то мы приходим к краевым задачам. Простейшим примером краевой задачи является следующая. Рассмотрим одно уравнение второго порядка у" = Х(г, у) (А.2.13) и предположим, что нам надо найти решение у, которое в точках а и Ь принимает заданные значения у(а) = а, у(Ь) = Д, (А.2.14) где а и Р— некоторые постоянные. В такой ситуации интерес обычно представляет решение на отрезке [а, Ь1.

Уравнение (А.2.13) с граничнь|ми условиями (А.2.14) называется двухточечной краевой задачей. Центральным здесь снова является вопрос о существовании и единственности решения, который в данном случае значительно сложнее, чем дпя задачи Коши. 279 В (А.2.14) мы могли бы наложить условие не на функцию, а на ее пер вую производную, например, у'(а) = а, у(Ь) = 1З. В более общем случае уравнения (А.2.2), которое имеет порядок и, мы должны задать и условий на функцию у и (или) ее производные до порядка и — 1. В терминах системы первого порядка (А.2.4) мы должны задать р условий на значения компонент у,, ..., у„в точке а и и- р условий в точке Ь.

3. Линейная алгебра и теория матриц В этом приложении мы приводим некоторые основные результаты, относящиеся к линейной алгебре и теории матриц. Эти разделы математики являются важнейшим инструментом для многих областей научного программирования. Пусть А = (ац ) — вещественная матрица размера и Х п. Обозначим транспонированную к А матрицу через Ат, обратную А ' и определитель бес А. Если матрица А ' существует, то говорят, что матрица А является невырожденной.

Приводимая ниже теорема дает ряд других способов установления невырожденности матрицы. Т е о р е м а А.3.1. Эквивалентны следующие утверждения. 1. Матрица А является невырожденной. 2. с$е1 А чь О. 3. Линейная система Ах = О имеет только тривиальное решение х = О. 4. При любом векторе Ь линейная система Ах = Ь имеет единственное решение. 5. Столбцы (строки) матрицы А линейно независимы, т, е. из а,а, + ... ... + а„ап = О, где а,, ...,а„— столбцы А, а а„..., а„— некоторые постоянные,следует, что все а~ равны нулю.

Последнее утверждение можно перефразировать следующим образом: ранг матрицы А равен и. В общем случае ранг определяется как число линейно независимых столбцов (или строк) матрицы. Вещественное или комплексное число Х и вектор х Ф О называются соответственно собственным значением и собственным вектором матрицы А, если Ах = Хх.

(А.З.1) Из теоремы А.З.! следует, что Х является собственным значением в том и только том случае, если де! (А — Л !') = О. (А.З. 2) Это соотношение называется характеристическим уравнением матрицы А, причем его левая часть является полиномом степени и по Л. (Здесь через 1, как обычно, обозначена единичная матрица.) Следовательно, матрица А имеет ровно п (не обязательно различных) собственных значений — кор.

ней (А.З,2). Совокупность этих и собственных значений Л~, ..., Х„пазы 280 вается спектром А, а величина (А.З 3) р(А) = ?пах ! Х; ! 1 < ?< и называется спектральным радиусом матрицы А. Вычисление собственных значений является, вообще говоря, сложной задачей, но имеется один важный класс матриц, где они определяются с первого взгляда. Мы имеем в виду верхние и нижние треугольные матрицы а ? ... а?и А = О али аи? аил собственными значениями которых являются просто элементы главной диагонали.

Важный частный случай треугольных частиц составляют диаго- нальные матрицы О ?~и которые мы обычно записываем как Р = йай(с~,, ..., И„). Даже если элементы матрицы А вещественны, ее собственные значения могут быть невещественными. Однако если матрица вещественна и симметрична, т.е. А = Ат, то все ее собственные значения вещественны. Если, кроме того, матрица А является положительно определенной, т.е. х~Ах) О при всех х чь О, то все ее собственные значения положительны. .Верно и обратное утверждение: если все собственные значения вещественной симметричной матрицы положительны, то эта матрица является положительно определенной.

Одной из наиболее важных операций в теории матриц является преобразование подобия. Две матрицы А и В размера п Х п называются подобны- -1 ми, если существует невырожденная матрица Р такая, что В = РАР Важным свойством преобразования подобия является то, что оно сохраняет собственные значения. Т е о р е м а А.3.2.

Если матрицы А и В подобны, то они имеют одинаковые собственные значения. Евклидова длина вектора х определяется как л 1/2 !1х!!? = ~ Х х; ? =1 (А.3.4) Это частный случай векторнои нормы, которая в общем случае определяется как вещественная функция, обладающая следующими свойствами. 1. !!х!1:~ О для любого вектора х; !!х!', = О только в том случае, если х=О. 2. !!ах!1; — !а ! 11х!! для любого скаляра а.

(А.3.5) 28? 3.-11х+у 11 и=!!х1! + !!у 11 длялюбых векторов х н у. Свойство 3 известно как неравенство треугольника. Обладающую перечисленными свойствами евклидову длину (А.3.4) обычно называют евклидовой нормой или нормой 1т. Другие широки используемые векторные нормы определяются выражениями (А.3,6).„ 1!х11, = 2' !ха!, !!х 11„= пах 1х; !. тч(~Л Первая из этих норм известна как норма (1, а вторая — как норма 1 Все три нормы (А.3.4) и (А;3.6) принадлежат классу норм 1р и 1/р !! х 11 р Х ! х г=1 (А.3.7) !! х 11 = (х т Вх) и где  — некоторая заданная симметричная положительно определенная мат.

рица; евклидова норма получается здесь как частный случай при В = 1. Наглядное геометрическое представление об этих разнообразных нормах дает множество векторов единичной нормы, т.е. множество 1х: 11х11 = 11, называемое единичной сферой. В случае векторов на плоскости эти множества для некоторых норм показаны на рис. А.3.1. Элли ческ Рис. А.З.1. Гонннчнан сфеоа в некоторых нормах Эллиптические нормы играют центральную роль в теории матриц. Это связано с тем„что их можно ввести посредством скалнрного произведения, с помощью которого, в свою очередь, определяется понятие ортогональности векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется скалярная функция от двух векторных переменных, которая обладает следующими свойствами (мы формулируем эти свойства только для вещественных векторов) . 1. (х, х) ) О для любого вектора х; (х, х) = О только в том случае, если х= О. 2.

Характеристики

Список файлов книги