Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 67
Текст из файла (страница 67)
(ах, у) = а (х, у) для любых векторов х и у и любого скаляра а, 3. (х У) = (У, х) для любых векторов х и у. (А.З.З) 4. (х+х,.у) = (х,у) + (а,у) длялюбыхвекторов х,у н а определенных при любом вещественном р Е [1,. ). Норма 1 является предельным случаем (А.3.7) при р + ° . Другой важный класс норм образуют эллиптические нормы, определяемые выражением Любое скалярное произведение позволяет определить норму как 11 х 11 = (х х)1/2 Эллиптические нормы возникают при этом, если скалярное произведение вводится выражением — тВ„ (А.3.9) Два отличных от нуля вектора х и у называются ортогональными (по отношению к заданному скалярному произведению), если (х,у) = О. В случае евклидова скалярного произведения, которое определяется (А.3.9) при В = Х, это соответствует обычному интуитивному представлению об ортогональности векторов.
Отличные от нуля ортогональные векторы являются линейно независимыми. О множестве из п ортогональных векторов говорят, что они образуют ортогональный базис. Если столбцы матрицы А ортогональны и имеют единичную евклидову длину, то матрица А является ортогональной. Ортогональные матрицы сохраняютдлинувектора,те.
11Ах11 а = 1!х11,. Говорят, что последовательность векторов 1х»~11 сходится к вектору х,если 11х" — х 11 -+ 0 Кажется вполне естественным предположить, что имеются последовательности векторов, которые сходятся в одной норме и расходятся в другой. Как это ни удивительно, оказывается, что это не так. Т е о р е м а А.З.З. Эквивалентны следующие утверждения. 1. Последовательность 1х1~1! сходится к х в некоторой норме. 2. Последовательность ! х1" 11 сходится к х в любой норме. 3. Все координаты векторов последовательности ! х1~1! сходятся к соот(а) ветствующим координатам вектора «,те. х~ — х при й-», =1, ..., и. Следствием этого результата, иногда называемого теоремой об эквивалентности норм, является тот факт, что когда мы говорим о сходимости последовательности векторо»».
то не обязательно указываем какую-либо конкретную норму. Любая векторная норма порождает соответствуюшую матричную норму !!Ах 11 !!А 11 = шах 1А.3.10) х~ о 11х 11 Так определенная матричная норма удовлетворяет условиям (А.3.5) и, кроме того, обладает тем свойством, что 11 А В 11 < 11 А 11 11 В 11 .
Как и в случае векторов, сходимость последовательности матриц можно определить как поэлементную или, что эквивалентно, с ломошью любой матричной нормы. Мы говорим, что А а -+А при й —; если !! А» — А 11 - 0 при к — . При этом из сходимости в некоторой норме следует сходимость в любой другой норме.
Особенно важным примером последовательности матриц является последовательность степеней заданной матрицы А: ! А"! (к = 1, 2, ... ). Основ- 263 ной результат о сходимости такой последовательности выражается через спектральный радиус матрицы А . Т е о р е м а А.3.4. Лоследовательность [А ] (к = !, 2, ... ) сходится к нулевой матрице в том и только том случае, если р(А ) ( 1. . Геометрически матричная норма интерпретируется как максимальная длина вектора, полученного в результате применения преобразования А к векторам единичной сферы; для случая нормы 1, это проиллюстрировано на рис.
А.3.2. Рис. А.3.2. Норма (, Матричные нормы, соответствующие векторным нормам 1, и имеют вид 1!А 1!, = щах Х 1а,~ 1, 11 А !1„= мах Х 1а~~ 1. (А.3.11) 1~/~ п г'=1 1~Г~ ь у'=1 Эти нормы очень легко вычисляются. Действительно, для их определения достаточно найти максимальную сумму абсолютных величин элементов столбцов или строк матрицы А. Евклидова норма матрицы выражается через спектральный радиус матрицы А тА: ~~А (~, = [р(А'А)] (А.3.12) и вь1числяется значительно сложнее. Если матрица А симметрична, то (А.3.12) сводится к 11А 1!а = ИА) (А.3.13) Вычисление нормы при этом не становится проще, но это выражение уже более непосредственно связано с самой матрицей А . Из (А.3,10) следует, что если Л вЂ” некоторое собственное значение матрицы А и х — соответствующий собственный вектор, то 1 Л Ц х 1! = !! Л х 11 = !1 А х 11 К 1~ А 11 1~ х ~1, так что ! Л 1< 11 А 11.
Таким образом, любая норма матрицы А дает оценку сверху для всех ее собственных значений. Отметим, однако, что в общем случае, в отличие от (А.3.13), знак равенства в этой оценке не достигается. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Аз и з (ред.) (АгЬ А.). Хнтепса1 во1н1юпв оГ Ъонпдагу ча1не ргоЫетв !и опйпагу дИТегепгЬ! еЧнаг!опв. — Х.Ч.: Асадепис Ргевв, 1975. 2, Б а н ч, Р о у з (ред.) (ВнпсЬ !., Козе Р.). 8рагве та1пх сотрнгагюпз. — Х.Ч.: Асайепис Ргем, 1976. 3. Б ей ли, Ш ам л а й н, У опт м ан (Вайеу Р., 8Ьагпр1пе Г., )Ча)1тап Р ).
Хоп)шеаг Пчо рот1 Ьонпйагу ча)не ргоЫтев. — Х.Ъ'.: Асайет!с Ргем, 1968. 4. Б ер г, М а кг р егор (Вегй Р., МсСгейог 1.). Е1етеп1агу рагйа1 ей!Тегепбзй еЧнаИопз. — НоЫеп-Рау, 1966. 6. Б р а у н (Вгоюп %.). ЕАТКАХ нзег'в тапна1. — Мнпау НП1: Вей Г.аЬогагопев, 1973. б. Байт, Уилсон(Ва1Ье К)., %Паол Е.). Хшпепса1 тегЬойз !п Ппйе е1егпепг апа1увЬ.
— Епй)еюоод СИйз: Ргепбсе-НаП, 1976. 7. В а р г а (Чагйа К.). Ма!их !1егаг!че апа)увЬ. — Епй)еччоой ПИТз: Ргепйсе-НаП, 1962. 8. Г ар а бедин (СагаЬегИап Р.). Рагба1 йИТегепИа1 еЧна1!опв. — Х.Ч.: %Пеу, 1964. 9.Гарбоу, Бойль, Донгарра, Моулер(СагЬо» В., Воу1е)., Роп8апа)., Мо1ег С.). Ма1г!х ещепзув1ет гонгтев-Е18РАСК йнЫе ех1епвюп. Ч. 51. — Х.Ч.: брппйег-Чег!аа, 1977. 10, Г и л о й (СПо! %.). 1п1егасйче сотрн1ег йгарШсв: йа1а в1гнс1нгев„а18опгйтз„!ап8найез. Еп81ен сод СИГт: Ргепгке-Най, 1978. 1!.
Г и р (Сеаг С.%.). Хшпепса1 !тг!а! ча1не ргоЫетв т оггИпагу йгТГегепг!а) еЧнаИопв.— Епй)еюоой СИГТз: Ргепбсе-НаП, 1971. 12. Дани аль, М у р (Рате1 1., Мооге К.). Сотрнгабоп апй Пгеогу !п опйпагу дгТГегеп1Ь1 енна1!опз. — Вап Ггапс!все: Ггеетап, 1970. 13. Да ф ф (Рн!Т1.). А внгчеу оГ врале та1Нх гезеагсЬ. — Ргосеей!пйв оГ1Ье 1ЕЕЕ, 1977, 6, р.
500-535. 14. Д а ф ф, Р е й д (РнГГ 1., КеЫ 1.). Боте йея8п Геа1шев оГ а зрагве гла1пх соде. — АСМ Тгапз. оп Магб. Вой., 1979,5, р. 18-35. 15. Да ф ф, Ст ью а рт (ред.) (Рн!Т !., 81евагг С). 8рагзе тагпх ргосеейтйв 1978.— РЬПайе1рЬЬ: 81АМ, 1979. 16. Д е Б у р (йе Воог С.). А ргасг!са) 8нЫе 1о зрйпез.
— Х.Ч.: Вргтйег-Чег)а8, 1978. 17. Д е н н е м е й е р (Оеппетеуег К.). 1п1гойнсйоп 1о раПЬ1 йИТегепИа1 еона1юпв апд Ьонпйагу ча1не ргоЫетв. — ХЛ.: МсСгаю-НП1, 1968. 18.Деннис, Мор е(0ептв 1., Моге 1.). ()пав!-пегчгоп тегЬойз, Мог!ч!аг!оп апд гйеогу. — 81АМ Кеяеж, 1977, 19, р. 46 — 89.
19. Д ж е н к с ()еп!гв К.). ТЬе 8СКАТСНРАР 1ап8нзие. — 1п: 81СРГ.АХ Хо1!сез. Х.Ч.: АСМ, 1974, р. 101 — 111. 20. Д ж е н н и н г с (Юепптйв А.). Маггп сотрнгагюп Гог еп8!пеегв апд вс!еп1!вгв. — Х.Ч.: )ойп байеу, 1977. 21. Д ж о р д ж, Л ю (Сеогйе А., 1.!н 1.). ТЬе йезнгп оГа нвег тгегГасегог а врагветаггсс рас!га8е. — АСМ Тгапз. оп Майг. ВоГпчаге, 1979, 5, р. 139 — 162. 22. Д ж о р д ж А., Л ю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений.
— М.: Мир, 1984. 23. Дон г ар р а, Б ан ч, М о ул е р, Стью ар т (Роп8апа 1., Внпсй 1., Мо!ег С., 81е~чаг1 С.). 01ХРАСК нвегв 8н!де. — РЬПайе1рЬЬ: 8!АМ, 1979. 24. Д з в и с, Р а 6 и нов и ч (РаИв Р., КаЬтою!1в Р.). МегЛодв оГ пшпепса1 тге8гаНоп. — Х.Ч,: Асайепис Ргезв, 1975. 25. Из а к со н, К ел л е р (Ьаасзоп Е., Кейег Н.). Апа1уяв оГ потев!са) те1Ьодв.— Х.Ч.: 7ФПеу., 1966.
26. Карр ь е р, П и р с он (Сатт!ег С., Реатвоп С.). РатИа1 й!ГГетепсЬ1 ес)паС!опв: сйеоту апд сесЬп!т(не. — Х.У.: Асайелпс Ргевв, 1976. 27. Кау фм ан (Кацрпап 1,.). ТЬе т',т,-а)8от!СЬш Со во!че Исе 8епега1Ьед е!8епчаспе ргоЫепс. — Б!АМ 1. оп ХшпеПса1 АпасувЬ, 1974, 11, р. 997 — 1024. 28. Ка хан, Парлетт (КаЬап%., Раг!есс В.). Оп сЬе сопчегйепсе оГ а ргасИса1 (7Я -а18оПСЬпс.
— 1и: Ргосеейл8в оГ СЬе 1Г1Р Сопйтевз, 1968, Р. А25 — АЗО. 29. К ей фи ц (Кеуйсг Х.). 1псгойцсИоп со сЬе шасЬетпас!св оГ рорпЬсюп. — Маак Адй!зоп-%ев(еу, 1968. 30. К е л л е р (Кейет Н.). Хотпепса1 шесЬеЬ сот Ссчо-рошт Ьопидату часпе огоЫели.— Х.У.: ВЬ!вдеИ (С)пп), 1968. 31. К ел л е р (Кейт Н.). Хшпепса1 зосисюп оГ Ьоппдыу ча)пе ргоЫегпз Сот опИлагу сШТегепс!а( ес(пас!опв: вшчеу алд гоше тесен! тези1св оп гИГГегепсе псесЬодв 1и пшпеп'- са1 зо!пйопв' оГ Ьоппдату ча!ие ртоЫешв сот огсИпату йИТетеис!а) ес!лайонз/Ей. А. АгЬ. — Х.Ъ'.: Асадешк Ргевв, 1975. 32. К о д д и н г т о н Э.А., Л е в и н с о н Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
