Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 65

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 65)

Обсуждение сравнительно недавних результатов, относящихся к этому методу и его многочисленным вариантам, имеется в работе [100] . Многие возникающие на практике эллиптические уравнения оказываются нелинейными. Методы настоящего раздела в этом случае непосредственно неприменимы. Однако разработан целый ряд обобщений этих методов, которые можно использовать для нелинейных уравнений (см. [54] ). В то же время если используются методы типа Ньютона, на каждом шаге приходвтся отыскивать приближенное решение большой разреженной линейной системы, что может быть сделано с помощью итерационных методов этого раздела. ч) Матрнпы А, н А, предполагаются квацратными. — Примеч.

ьт р. УНРА ЖНЕНИЯ 8, 4 8.4А. ПРимените метод Якоби и метод ГаУсса — Зей Ах= Ь, где 3 ! 1 А = 1 3 1 Ь = 2 1 ! 3 3 Используйте в качестве начального приближения вектор х' = (1, 1, 1) и выполните такое количество шагов, чтобы стало ясно, как сходится итерационный процесс. 8.4.?. Составьте программы для методов Якоби и Гаусса — Зейделя. Проверьте их на задаче нз упражнения 8.4.1. 8.4.3.

Выпишите конкретные формулы итераций Якоби и Гаусса — Зейдсля лля уравнений (8.4.9) при Н = 3. 8.4.4. Проведите детальное доказательство теоремы 8.4.1 в предположении, что матрица Н имеет и линейно независимых собственных векторов. 8.4.5. Рассмотрите эллиптическое уравнение и,„+ и, + си = О, где значения и заданы на сторонах квадрата. Выпишите разностные уравнения, аналогичные (8.4.9). Покажите, что если константа с отрицательна, то матрица коэффициентов полученных уравнений будет строго диагонально доминирующей. 8.4.6.

Пусть А — вещественная симметричная положительно определенная матрица размера л Х л. а) Покажите, что диагональные элементы матрицы А должны быть положительными; б) покажите, что если С вЂ” произвольная вещественная невырожденная матрица 'размера л Х л, то матрица СГАС также является симметричной положительно определенной. 8.4.7. Выполните несколько итераций метода последовательной верхней релаксации для задачи из упражнения 8.4.1, Используйте значения ы = 0,6 и ы = 1,4 'и сравните скорость сходнмосш со случаем итераций Гаусса — Зейделя.

8А.8. Составьте программу, реализующую метод последовательной верхней релаксации для уравнений (8.4.9) . 8.4.9. Используйте формулы (8.4.21) и (8.4.22) для вычисления значений р(Г ), р(Н,), со, н л(Н„, ) для уравнений (8.4.9) при Ф= 99 и /Ч= 999. 8 4.10. С помощью метода индукции докажите справедливость соотношений (8.4.32). В качестве предположения индукции считайте, что при ! = О, ...„х — 1 выполняются равенства (р, Ар! ) = (г, г ! ) = О. (В основном тексте мы показали, по (р ', А р' ) = 0; (г ', г ч ) = (г ' — а, Л р', р, ) = О по определению а ч .) Покажите затем, что (р"~1, Ар?) = (г "~!, г.! ) = 0 при ! = О, 1, ..., й.

(Указание: сначала покажите справедливость второго соотношения.) Ф Ф Рассматривая численные методы решения дифференциальных уравнений, мы попытались осветить некоторые основные разделы элементарного численного анализа. Однако мы либо вообще не затронули, либо лишь кратко упомянули многие важные области, такие,как, например, оптимизация (т.е. минимизация или максимизация) функций п переменных, в том числе при наличии ограничений, решение интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, вопросы приближения функций, включая многие замечательные разделы теории аппроксимации.

Нельзя не отметить, что при рассмотрении методов решения уравнений в частных производных мы лишь скользнули по поверхности этой обширнейшей области. И все же мы надеемся, что сумели ознакомить читателя с основными методами численного анализа и дать определенную подготовку, которая позволит перейти к более серьезному и глубокому изучению интересующих его вопросов. Мы также полагаем, что в этом ему помогут приведенные в книге библиографические указания.

18ь 275 ПРИЛОЖЕНИЯ 1. Необходимые сведения из анализа В этом приложении мы без доказательств приводим некоторые сведения из анализа, которые используются в основном тексте. Т е о рема о среднем (Лагранжа). Если функция г дифференцируема на отрезке 1а, Ь], то существует такая точка е, лежащая между а и Ь, что 3'(Ь) — 1'(а) =1 '($)(Ь вЂ” а), а < $ ( Ь. (А.1,1) В т о р а я т ео ре ма о среднем (из интегрального исчисленж). Если функции и и и непрерывны на 1а, Ь], причем функция о не меняет знака на этом отрезке, то существует такая точка Е Е '1а, 'Ь.], что ] и(х) о(х)ох = и($) Хо(х)сХх. (А.1.4) Дальнейшие результаты относятся к функциям многих переменных, которые мы записываем либо в виде Дх,, ..., х„), либо как Ях), где х— вектор с координатами х,, ..., х„.

Частная производная от 1 по переменной х; в точке х определяется как ау — (х) = 1йп — [~(х,, ...,х; 1,х;+Ь, х;+1, ...,х„) — ~(х)]. ГА.1.5) охю н-ой Аналогично определяются частные производные более высокого порядка. 276 Ф о р м у л а Т ей лора. Если функция 1 имеете непрерывныхпроизводных на отрезке ]а, 6], то для любых точек х и хе из этого отрезка существует такая точка $, лежащая между х и хо, что Г(х) =Х(хо) +Г'(хо)(х — хе) + —.> Г "(хеНх — хе) + ... ... +, Х" "(х.йх- .)"-'+ — ~")ц)( —,)" (/с — 1)! У, 1 Отметим, что теорему о среднем можно рассматривать как частный случай формулы Тейлора при 1г = 1, а = хе и Ь =х.

П рая и по дифференцирования сложной функции. Если функции г и е дифференцируемы, то сложная функция Ь (х) =~(у(х)) также является дифференцируемой, причем Ь (х) = 1' (у(х))у (х). (А.1.3) (А.1.7) обычно называемая матрицей Якоби. Элемент (1, 1 ) этои ма~рицы равен частной производной от 1-й координаты Г, взятой по у-й переменной. Например, при т = и = 2 матрица Якоби имеет вид дЛ, (х) д~,(х) дх2 дх, Г (х) = д У~ (х) д.Г, (х) дх2 дх, 277 Производная от функции 7 обычно вводится как вектор-строка 7 дУ дУ ~ (х) = ~ — (х), ..., — (х) . (А.1.6) ~дх, ' " дх„ Соответствующий транспонированный вектор иногда называют градиентом функции 7 и обозначают как 77". Часто бывает удобным рассматривать у как векторный оператор частного дифференцирования: = ( —.'., —.'..) Символом Ь обычно обозначают оператор ~? ', являющийся результатом скалярного умножения оператора ~7 на самого себя.

Тогда дэф ~У' 172У + + дх' дх„' Эта сумма вторых частных производных играет важную роль при изучении дифференциальных уравнений в частных производных (см. гл. 7 и 8). Говорят, что функция 7 непрерывно дифференцируема в некоторой области и-мерного пространства, если все первые частные производные от 7 существуют и непрерывны в этой области. Для функций многих переменных теорема о среднем значении принимает следующий вид. Теорема о среднем для функций многих перем е н н ы х.

Если функция 7' непрерывно дифференцируема в некоторой области п-мерного пространства и точки х и у таковы, что все точки вида гх + (1 — г)у, О < г < 1, принадлежат этой области, то существует такое значение $, заключенное между О и 1, что Г(у) — Лх) = Г'(ах+ (1 — $)у)(у — «). Отметим, что эта теорема получается применением к функции у(г) = Г(гх + (1 — г)у) обычной теоремы о среднем для функций одного переменного. Пусть функции 7,, ..., 7„П являются функциями от и переменных. Обозначим через Г вектор-функцию с координатами 71, ...,7,П.

Естественным обобщением понятия производной на случай вектор. функции служит в Х п-матрица Г'(х) = (дахидх7), (А.1.8) Отметим, что в частном случае т = 1 векторфункция Г есть просто обычная функция ~=3;1 н матрица Якоби превращается в вектор-строку (А.1.6). 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения Пусть у — функция от одной переменной г. Обыкновенным дифференциальным уравнением для функции у называют соотношение вида Е(г, у(г), у'(г), ..., У1"«(г)) = О, (А.2.1) где Р' — заданная функция от и + 2 переменных, а независимая переменная г изменяется в некотором конечном или бесконечном интервале.

Уравнение (А.2.1) представляет собой наиболее общий вид обыкновенного дифференциального уравнения порядка л, где порядок уравнения определяется как порядок старшей входящей в это уравнение производной от неизвестной функции у. Обычно предполагается, что уравнение разрешимо относительно старшей производной, так что его можно записать в виде у'"'(г) = уК у(г), у (г), --, у'" «(г)).

(А.2.2) Если функция г зависит линейно от функции у и ее производных, то уравнение называется линейным и записывается в форме У1"«(г) = но(г) + а,(г)у(г) + ... +а„1(г)у<" '«(г), (А.2.3) где ае, ..., а„1 — заданные функции. Уравнение (А.2.2) можно рассматривать и в случае, когда у и ~ являются вектор-функциями; при этом мы получаем систему уравнений и-го порядка. Простейший случай здесь представляет система уравнений первого порядка у'(г) = 1(г, у(г)), (А.2.4) В этих переменных (А.2.2) принимает вид Уп = Г(г.

У1 ° У2~" Уя — 1)т (А.2.6) где из (А.2.5) мы имеем У У =У 1=1 ... и — 1. 1 ' '7 (А.2.7) Уравнения (А.2.6) — (А.2.7) образуют систему уравнений первого порядка относительно неизвестных у1, ..., у„, причем координата у, есть просто неизвестная у из уравнения (А.2.2) . 278 где мы предполагаем, что у и 7 — векторы с и координатами у~, ...,У„и 71,",Х .

Характеристики

Список файлов книги