Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 133
Текст из файла (страница 133)
ПЗ 1 Анализируя полученные результаты, можно заключить, что конечные условия не достигнуты Отсюда следует, что с помошью второй ступени ракета не может постигнуть требуемых значений хл и хзг Этого можно добиться лишь с использованием третьей ступени Задача также была решена методом второй варим!ни [118), были получены аналогичные результаты Графики управления и (г) и зависимости х,г(х,г) приведены парис П34 Таблица ПЗ 1 Дискретные значения и (г,), х, (гл), хз(г„), хз(г„),хе(!„) м .тз(г„),— с м х4 (гз )' с «,(гг), м и (г,), рал хз(Гз), м г„, с 0,0 3,4483 6,8966 ! 0,345 !3,793 17,242 20,690 24,138 27,586 31,035 34,483 37,931 41,380 44,828 48,276 51,725 55,173 58,621 62,069 65,518 68,966 72,4!4 75,863 79,311 82,759 86,208 89,656 93,104 96,552 100 00 - 1,3240 -1,3656 -1,4179 -1,4826 -1,5616 -1,6492 -1,7723 -1,9103 -2,07 1 1 -2,3714 -2,4456 -2,6445 -2,8387 -3,0253 -3,2064 -3,3914 -3,5937 -3,8302 -4,1190 -4,4336 -4,6382 -4,5497 -4,!053 -3,4421 -2,8440 -2,4854 -2,3664 -2,421 5 -2,5684 -2 7161 30025 40126 45028 49822 54506 59080 63539 67884 72102 76174 80103 83887 87523 91000 94319 97472 100440 103230 105780 108060 110040 111780 113350 114870 116560 118340 120290 122380 124630 127030 1480,0 1453,0 1421,8 1390,3 1358,4 1326,5 1293,6 1259,7 1224,1 1180,1 1140,1 1097,9 1053,9 1008,7 962,47 914,45 863,49 806,65 740,05 662,02 577,64 499,48 450,45 449,73 481,72 522,38 563,70 606,40 651,74 699 66 42,2 2269.7 3648,3 5192,6 6905.7 8790,3 10850 !3086 15504 !8!02 20885 23858 27022 30376 33931 37686 4!639 45795 50137 54642 59296 64124 69186 74465 79851 85240 90579 95867 101100 106290 264,15 352,40 399,75 447,88 496,81 546,55 597,16 648,64 700,99 753,32 807,24 861.87 917,26 973,51 1030,7 1088,7 ! 147,1 1204,8 1259,1 1306.5 1349,3 1400,5 1468,1 1530,9 1561,8 1563,1 ! 549.3 !532 1 1517,6 1505 0 П уложение 4.
Ред кция задач оптимального п аления линейными объектами 705 ПРИЛОЖЕНИЕ 4. РЕДУКЦИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ К ЗАДАЧАМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА СЕТОК И АЛГОРИТМЫ ИХ РЕШЕНИЯ Пусть линейный объект описывается векторно-матричным уравнением вида: Х = А(с) Х+ В(с) (). (П4.1) Рассмотрим простейший случай, когда А = сопзс, В = сопзс. Изложим несколько подходов к решению задачи параметризации с использованием метода сеток. Первый подход связан с использованием конечной разности первого порядка; в этом случае имеем конечномерный эквивалент уравнения (П4.1) = АХ(сои)+В()(сс)с). (П4.2) )с Для того чтобы замена операции дифференцирования взятием конечной разности была правомерна, необходимо, чтобы )с было мало по сравнению с наименьшей нз постоянных времени процесса.
Эта схема хорошо изучена и отражена, например, в (72, 104]. Для построения дискретного аналога используется формула вида (93, 104] Х(с)=е~~х +)е ( )В()(т)сст. о Определяя последовательно с помощью последнего соотношения Х(сои) при условии кусочно-постоянных управлений, будем иметь: Х(Сс) = елоХО +А(о )сСт В1)(0) о м Х(2сс) = е~~х()с)+ ] е ( ' ')с)т В1)(сс), (зы) о ХЦс(+1))сД = е~~х()с)с)+ ]Г е (( ) )с(т В()()с)с). В общем виде дискретная модель может быть представлена так Х(()с+1)сс] =Ф(сссс)Х(сссс)ж]313(сссс), о где Ф=е~~,]3=] е ( ')с(тв. о П иложения 706 Отсюда находим формулу, удобную для практического использования: е-! Х(с1/с) =Ф Х +/3) Ф" ' '1/(сй).
ю о В последних зависимостях выбор шага /с не требует особого обоснования и, вообще говоря, соотношения справедливы при любых Ь. И, наконец, редукция задачи оптимального управления к задаче математического программирования может быть осуществлена с помощью формулы Х(1) =) (АХ(т)+ В(/(т))а/т+Х о Задача построения оптимального программного управления в терминах математического программирования может быть сформулирована так: и-с 1(1/(1„),Х(1„))=6', А(Х(1,), (/(1„))-ь шгп при следующих ограничениях: а) Х (1„) и Х", /) = О, У -1,1 1) — ограничения типа неравенств; 6) (/(сс)п(/"', Й=О,/т' — 1 а) Х(1и) = Хг, 2) 6) Х(ссы) — ехь Х(11)+ )1 е (" ')с/т ВЩ1„) ч (П4.4) — ограничения типа равенств. Рассмотрим конкретный случай ограничений. Например, очень часто ограничены абсолютные значения переменных состояния и управления, 'т.е. налажены действующие в течении всего времени управления следующие условия в форме неравенств (104] и, м — /и,~ > О, с = 1,ся; ~ х м -)х )>О, /=1,п,~ (П4.5) Х(1) = Ф(1,/о)Х +/Х (1)Хф'(т)В(т)Щт)с/т, о где Ф(с,со) = Хф(1) Х~,'(1о) — (и хи) переходная матрица состояния, со= О, Хе(1) — нормальная фундаментальная матрица, (П4.
6) где и, м и хз м — заданные скалярные величины. Неравенства (П4.5) представляют собой одну из простейших форм ограничений, которые могут быть наложены на переменные состояния и управления. Задача построения оптимальных программных управлений в терминах математического программирования формируется так же, как н в предыдущем случае, но ограничения имеют вид (П4.4). Если же объект имеет переменные параметры, то для параметризации можно использовать конечные разности; тогда Х ( (/с ь 1) /с ) = Х(/с/с) + /с [А(/с/с)Х(/с/с) + В(/с/с)Ц/с/с)) . Для решения рассматриваемой задачи может быть использовано интегральное со- отношение П уложение 4. Ре кция задач оптимального п вления линейными обьектами 707 хы(г) х!з(1)...х!„(г) хы(г) хз,(г)...хз„(г) Х„(г) = (П4.7) хы(!) х„з(г)...х„„(Г) причем Х!(1), Х,(г),...,Х„(1) — столбцы матрицы Хе(1) являются решениями уравнения Х = А(г)Х (П4.
8) при следующих начальных условиях Х,(г) =(х! !(1) хз!(1)...х!(1)) с+(1 О 0...0), Отсюда находим Х,' = Х' -Ф(Т,О)Х = ~Х~(Т)Х~'(т)В(т)%3(т)!й . о Поскольку, при Х = 0 имеет место равенство ! Х(1) = / Ха,(г) Х~~ (т)В(т)Щт)сй, о (П4.12) г Х(Т) = ) Ха,(Т)Хе'(т)В(т)Щт)сй, а то из (П4.1!) и (П4.13) следует, что задача перевода объекта (П4.8) из произвольной начальной точки Х(0) = Х в точку Х(Т) = Х равносильна задаче его перевода нз начальнойточки Х(0)=Х =0 вточку Х(Т)=Х =Хг-Ф(ТО)Х . Аналогично получаем !' 0 =Ф(Т,О)Х вЂ” Х' +) Хр(Т)Х~'(т)В(т)Щт)сй, о (П4.9) Х!!(1) =(хы(!) хз„(г)...хдд(г)) ++(О 0 0...1). Дискретный аналог (П4.6) имеет вид Х(Г,) =Ф(Г,,Г, !)Х(Г,,)+ ) Ф(1, ! т)В(т)!з'тЩ1, !). (П4.10) ! ! При решении задачи оптимального управления одну нз точек Х или Х~ всегда можно положить равной нулю.
В самом деле, выражение, определяющее выходной сигнал Х(г) при Х нО, запи- сывается в виде (П4.6). Положим Х = 0; тогда о ! Х(1) = ~ Хе(Г)Х!р'(т)В(т)!Й ) К(бт)Щт)!Й . о о Запишем формулу, определяющую Х г Х Ф(Т 0)Х +~ Х!р(Т)Х!р (т)В(т)()(т)ит о 708 П уложения Х(!) = ЯА(т)Х(т)+ В(т)Щт)]с[т+ Х о требующей знания лишь матриц А(!) и В(!). Задача построения оптимальной программы и оптимального программного управления формируется так: (П4. 14) Л!-1 Ь~7о(Х((ь),()(! ))1-ь ш[ а=о х(г,)ц(г,) при ограничениях: а) Щгь)н(); )гм0,1У-1;~ 1) — ограничения типа неравенств; б) Х(гь) е Х"; г[ = О, Лг; 2) ограничения типа равенств: а) Х((Л!) м Х, б) дискретный эквивалент любой из формул, связывающий вектор-функции П(!) и Х(!) (зависимости (П4.4), (П4.10)). Пример П4.1.
Управяеиие положением ротора двигателя постоянного тока. Система диффереишлальиых уравиеиий, описывжошая поведеиие объекта, может быть предсэавлеиа в виде[1071 х!00 20П хэбб = "иц) где й — коэффициент пропорциональности (в расчеткч будем полагать, чэо й =1). Постановка задачи; при эадаииых' ° уравнении объекта (П4 15) х! = хэ 1 хэ — — и; ° отсутствии ограничений ка управлекие П(!) и фазовый вектор Х(!); ° краевых усэоетж, х =(1;о), х =(о;о); ° времени управления Т = 1 с требуется пийти такое программное скалярное управление и (!) и фаэаеую траекторию Х (!) = (к, (!),хэ(!)), «ри которых критерий (эиергия управления) г .У(и) = ) иэ(г]Ш -э пни в Построим оптимальное программное управление и оптимальную программу с помощью одного из алгоритмов оптимизации, применяя дпя релукции исходной задачи к задаче математического программироваиия мсюд сеток Переходим оэ рассмоэреиия иепрерывиых функций х,(!) к их дискретным представлениям х,(г„) .
Тогда, используя известные квадраэуриые формулы, можно получить вырвжеиия для х (г„), ! = 1, и, й = 1, Л'. из чего можно заключить, что задача перевода объекта (П4.8) из начальной точки Х в произвольное конечное состояние Х равносильно задаче его перевода из эквиваг лентной начальной точки Хо„определяемой соотношением Хо=Х -Ф '(Т,О)Х1 =Х вЂ” Х~'(Т)Х вточку Х =О. Заметим, что для нахождения эквивалентных начального и конечного состояний необходимо предварительно рассчитать фундаментальную матрицу, что для нестационарных объектов представляет собой весьма сложную задачу.
В связи с этим этот подход используется лишь при решении простейших задач. К более конструктивным результатам приводит применение дискретного аналога формулы П уложение 4. Ре кция задач оптимального п аления линейными объектами 709 Имеем х,(!) =х,(0)+) хз(т)с(т, е х (с)=х (0)ч) и(т)ест е Т Полагая Лс = 30 (количество точек дискретизации), вычислим шаг дискретизации Ь =— дс-! Используя квалратурные формулы лля получения дискретною эквивалента интегральных уравнений, найдсм выражения для дискретных значений х (с„) и г,(с,) . Зшсача оптимального управления в терминах метода сеточной редукции Оюрмулируется так. найти оптимальный набор дискретных значений и (с,), удовлетворяюсций следующим ограничениям. и-! хс(Т)=хс(О)ед„'» хз(сс), и-! хз(Т>=хз(0>+й"» н(сс> с=ь (прн использовании более точных формул указанные выше зависимости принимает более сложный вид) При этом функционал качества определяется соотношением.
В-1 ,У =.с(н(с„)) = й "Г нз(с„) -+ пни, с=е .о,» Дискретные значении и !рафики приближснного и точного решения задачи оптимального управления приведены в табл П4 1 и на рис П4. ! и'сес 'сх и! с,а Х, Н! Хс» и! х сс >Очи Рис. П4Л. Графики функций й (!), и (!), х, (!),хс (!), хз(!), хз(!) 710 П уложении Таблици П4.! ДискРетные значениЯ й (1„), й ((„), х!((я), х,((л), хз(1„), хз(7„) б (г,) " (гл) хг(гх) х,(г„) х, (г„) хз(г„) -5 983 -6,0000 0,034483 -5 573 — 5,5862 -0,19926 0 99644 0,99651 — 0,19377 0 068967 — 5,160 -5 1724 0 98639 -0,38434 0 98639 — 0,38526 0,10345 -4,748 0 96994 0,97010 -0,555 19 -0 55649 -4 7586 -0,13794 0 17242 -4,335 -4,3448 — 3 9310 0,94797 0 92084 0 94817 0,92106 — О, 71180 -0 85417 — О ПЗ44 -3 922 -0,85613 -3.509 -3,5172 0,20690 0.88907 — 0,98230 -0 98455 0,88929 -3,096 -3 1034 -1 0962 0,24138 -0.85311 0,85334 — 2 0387 0,27587 0,31035 — 2,683 -2,270 — 2,6896 -2.2758 0 81347 0 77062 0,8!368 0 77083 -1,1959 -1 2813 — 1 1986 -1 2842 -1 858 -1.8620 0,72528 0,34483 0,72510 -1 3524 -1 3555 0 37932 -1 445 -1,4482 0 67752 -1 4094 0 67737 -1 4226 Охи380 0,44828 — 1,032 — 1,0344 -0,6206 — 1,452 ! -1 4806 0,62789 0 57721 0,62802 0 57729 -1,4554 -1 4839 -0 619 — 0,206 -0,2068 -1,4949 — 1,4982 0,48277 0,52580 0 52583 0 7070 0 51725 -! 4948 0,2062 0,4741! 0,47413 -1,4382 -1,4806 — 1,4522 — 1,4839 -1.4555 0,55173 0,58621 0,6191 0,6208 0,42269 0,37200 0,42267 0,37200 1,0319 1,0346 0,62070 1 4448 1,4484 0.32255 0,32248 -1.4095 -1 4126 0 65518 -1.3555 -! 3526 1.8576 1 8622 0 27480 0 27468 -1 2814 -1.1 959 0 68966 0,72415 2 2705 2 2760 0 22926 0,18645 0 22914 -! 2842 -1,1986 2,6834 2,6898 О,!828 -1,0963 -1, 0987 0,75863 3,0963 3,1036 0,14677 0,14662 3,5174 -0,98239 — 0.9846 0,7931 ! 3,5092 О,! !083 0,11066 -0 85426 -0,71!89 — 0.856 ! -0,7134 3 9221 3.9312 0,079030 0,051330 0 0789 0 82760 0,86208 4,3452 4,3350 4,051 9 -0,55529 4,7592 4,7478 0,029830 0,0298 -0,5565 0,89656 5,1722 -0.38445 0,0136 -0,3853 0,93104 5,1607 О.О!37ОО -0 19937 -0,00005 -0 1998 -0,0001 0 96552 5 5736 5.9865 5 5862 0 0036193 -0,000238 0 0035 6,0002 1.0000 Получили решение поставленной выше задачи с ограничениями на фазовые координаты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
