Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 132
Текст из файла (страница 132)
Существуют алгоритмы, где автоматически предусмотрены меры против зацикливания — «расклеивание» слипшихся вершин. П уложение 3. Ре я задач оптимального авления нелинейными объектами 697 ПРИЛОЖЕНИЕ 3. РЕДУКЦИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ К ЗАДАЧАМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА СЕТОК И АЛГОРИТМЫ ИХ РЕШЕНИЯ Приведенные в третьей части учебника зависимости определяют общую постановку задачи оптимального управления, в которых имеют место ограничения типа равенств и ограничения типа неравенств. В сформулированной постановке задачи функции Х(г) и т)(г) принадлежат бесконвчнамврным пространствам.
Из формулировки задачи математического программирования следует, что функции Х(г) и к)(г) следует характеризовать конечным числом параметров. Только в этом случае удается свести задачу оптимального управления к задаче математического программирования. Таким образом, первым этапом в задаче применения математического программирования для нахождения оптимальных В (г) и Х (г) является этап редукции задачи оптимального управления к задаче математического программирования . Из сказанного можно заключить, что структурная схема, характеризующая процесс рещения задачи построения П (г) и Х (г) (оптимальные вектор управления и фазовый вектор), может быть представлена в виде, показанном на рис.
П3.1. Далее, рассмотрим методы параметризации функций, входящих в постановку задачи оптимального управления. Обозначим параметризуемую функцию через Г'(г) . Проведем изложение применительно к решению классической задачи — вариационной задачи с закрепленными граничными точками, которая тесно связана с задачей оптимального управления, Задача формулируется так: т пйп! () ) = гпгп)' р() (г),)'(г),г)й У') Д') о при условиях ) (О) =2~, ~(Т)= г', Ри ~ — скалярныефункции.
Сформулированная задача относится к классу краевых задач (3, 43). Функция г" (г), доставляющая минимум функционалу (ПЗ.!), определяется известным уравнением Эйлера рги Г г)-рги Г г)-Гмг и Г г)г-ргу и 1 Ч'=о (П3.2) В главе 5 рассмотрены методы математического программирования, использующие проекнионную аппрокси манию уравнений и соотношений, определяющих постановку задачи оптимального управления 44 Зак. ЗВВ П иложения 698 Здесь частные производные от Г(у', у',1) берутся без учета зависимости 1' и у'от г.
Уравнение (П3.2) — уравнение второго порядка, и поэтому его общее решение содержит две произвольные постоянные, которые определяются с помощью краевых условий. Входные данные Формулировка задачи оптимального управления в терминах бескоиечномерньсх пространств с использованием аппарата дифференциальных уравнений Редукция исходной задачи к задаче математического программирования (гвраметрнзация исходной задачи) Решение задачи математического программирования (расчет 1)*(г) и Х (с) ) 11*(г), 1(*(г) Рис ПЗ.1. К яостлновкс злллчя оптимального управления Дифференциальные уравнения вариационных задач интегрируются в конечном виде лишь в исключительных случалс.
В связи с этим широко используется редукция бесканечнамернай задачи к конечнамернай задаче оптимизации. Изложим содержание метода конечных разностей (или метода сеток). Его популярность во многом объясняется относительной простотой перехода к конечномерным задачам (43). Идея метода сводится к следующему; область непрерывного изменении аргумента заменяют конечным (дискретным) множеством точек (узлов), называемым сеткой. Вместо функций непрерывного аргумента рассматривают функции, определенные только в узлах сетки — сеточные функции (рис.
П3.2). При таком подходе функция Я) характеризуется ее дискретными значениями— паРаметРами Яо), Я,), ..., г" (гн,), У (сн). Производные заменяют их разностными аналогами — линейными комбинациями значений сеточных функций в узлах сетки. В результате, например, краевую задачу (П3.1) замешпот дискретным эквивалентом — дискретной краевой задачей (разностной схемой) (43]. Краевая задача (П3.1) заменяется дискретным эквивалентом вида а(п1(У'(О),У (г,),...,У(гн)) = пйпйч" Р'~ Г(г,), "' ',б (П3.3) Г У'(Гол ) -У'(б) ю=о пРиУсловиЯх 1(0)=У', У"(гн)=У' П уложение 3.
Ре кция задач оптимального авления нелинейными обьектами 699 1ч-~ 1к 10 =О 1! 12 13 14 15 16 Рис пзд.сетячияяфуикиия 1 (11), й =О,У Так как значениЯ 7' (1в) и 7' (1н) заданы, то задача сводитсЯ к отысканию экстРемума функции 1ч'-) переменных 7(1,), 7(12), ..., 1(1н 1), стояшей в правой части (ПЗ,З). Таким образом, бесконечномерная задача сведена к конечномерной задаче опсчимизанни. Несмотря на кажушуюся простоту метода, при его использовании приходится решать ряд проблем.
Например, следует иметь в виду, что для одной н той же задачи можно построить большое число различных разностных схем, среди которых далеко не все пригодны для использования на практике (65). Самостоятельной трудной задачей является. выбор размерности задачи (выбор шага Ь ) (размерность задачи при практическом использовании этого подхода может оказаться очень высокой).
Перейдем к формулировке задачи оптимального управления в терминах аппарата математического программирования. Заменим область непрерывного изменения аргумента конечным (дискретным) множеством точек (узлов). Вместо функций непрерывного аргумента рассмотрим функции, определенные только в узлах сетки, — сеточные функции. Разделим пРомежУток [О,Т] на У Равных подинтеРвалов [О 1,],[1и12],..., [1н, 1, ].
где 1„= Т, Ь = 1,„, - 1, . К уравнению (ПЗ.З) с целью решения задачи параметрнзацни можно применить замену производной конечной разностью ЫХ Х(1нн ) — Х(1, ) Ф ь и, таким образом, сформулировать задачу в параметрической форме. С учетом сказанного уравнение (ПЗ.З) заменяется простейшей разностной схемой 3((1„,) = 7((1,)+)1Р()((1,),Щ1,),1,); (П3.4) для функционала (П3.6) можно записать зависимость Н-1 .1 =6„'„А(Х(1,),(3(1,)).
(ПЗ. 5) г=в К уравнениям (ПЗ.4) должно быть добавлено начальное условие Х(О) = Х' Х(т) = Хг = Х(1,), (П3.6) и условие на правом конце (П3.7) 700 П иложенин где Х(гн) — фиксированный вектор. Кроме того, на изменение управления и(1) и фазового вектора наложены ограничения и(1 ) н и"' 'о1= 0,1У; Х(1) н Х" о1=1, 1з'-1. Справедливы зависимости [72): Х(1~ ) = Х(1о)+йР(Х(1о) и( о)) =% (и('о)) Х(1г ) = Ф~ (и(го)) ь яр(Ф~ (и(го)), и(1г )) = Фг (и(1о), и(1~ )), Х(1„) = Ф„, (и(1 ),и(1,),...,и(1,))+ +йр(Фе-1(и(1о) и(11) " и(11-г)) и(11-г))= =Фе(и(го) и(11) и(гг) " и(11-~)).
С учетом последних формул функционал (П3.5) можно записать в виде = ЕА,(и(,),~(~,),...,~(б)), (П3.9) !=о где зю(и(го) и(11) . и(1ю))=пг (Ф,(и(1о),и(1~),...,и 1, 1),и(1,))). В последней зависимости функционал 7, зависит только от первых (1+!) неизвестных переменных. Функции вида (П3.9) в [72] названы функциями с паследовательнылз включением неизвестных.
Редукцию задачи оптимального управления к конечномерной задаче оптимизации можно реализовать с использованием так называемой элементарной операции [72). Эта операция вводится следующим образом, Проведем в пространстве состояний (Х,1) плоскости 1 = 1, = 1п, которые обозначим через Е,. Точки Х(1,) являются точками пересечения траектории системы 7(1) с плоскостями Х,. Пусть В(Х(1,),Х(1„,)) — оператор, который паре точек Х(1,) и Х(1„,) ставит в соответствие управление и(1,), переводящее обьект за время Ь из состояния Х(1,) в состояние Х(1,„,); у(1„1„1) — участок траектории, который соединяет точки Х(1,) и Х(1„,) .
Отразим этот факт выражением (7(1„1кн) и(1,)) = В(Х(1,),Х(1„,)). (П3.10) Оператор В(Х(1,),Х(1, г)) называется элементарной операцией [72). С учетом сказанного выше функционал (П3.9) можно представить так Н-1 О. Н-1 .1(х(1),и(1))= ~ ) 7о(7(1„1,„1),и(1,))й1=~В,(х(1),х(1„,)). =о, ю=о Если задан оператор В(Х(1,),Х(1„,)), то траектория определяется конечным числом точек Х(1,) — точек пересечения этой траектории с поверхностями Е,. Проблема построения элементарной операции рассмотрена в [72).
Если от векторно-матричного уравнения (П3.4) перейти к эквивалентному уравнению с интегральным оператором П уложение 3. Ре ция задач оптимального авления нелинейными объектами 70! г Х(г) =) Р(Х(т),()(т),т) с[т+Х', (ПЗ.!1) о то конечной разностью (ПЗ.4) можно не пользоваться, а применять эквивалентное соотношение, например, вида Х(гл) = А~А,Г(Х(т,),(](т,),т,)+ Х !=о множитель Ь перед суммой выделен для того, чтобы коэффициенты А, были безразмерными величинами. Формулировка задачи построения оптимального программного управления () (г, ) и оптимальной программы Х (г!) с помощью аппарата математического программирования имеет вид: .7 = ')",7,(()(г,),[)(г,),... [)(7,)) = г=о ьг-! = ~гзг (Ф,([](го),П(г,),...,()(г,,) [](г,))) — ь ш[п !=о при следующих ограничениях: а) Х(г„, ) = Х(г, )+ 77Г(Х(г, )()(г, ),г,); б) ()(г, ) и П; Х(г, ) и Х"; в) Х =Х(0)0С, Х =С нС'; г) 1)(г,) принадлежит классу допустимых.
В обсуждаемом подходе задача построения оптимальных программных управлений [] (г) и оптимальных программ Х (г) свелась к стандартной задаче нелинейного программирования. Трудности решения этой задачи определяются многими факторами, и главное — эгпо ее размернослгь, количество переменных и количество ограничений. Размерность возникающей задачи математического программирования определяется в основном двумя обстоятельствами: размерностью вектора Х(г) и количеством интервалов ]!7, т.е. произведением и х А[ . Если Аг достаточно велико, то даже в тех случаях, когда размерность вектора Х(г) невелика, задача математического программирования оказывается чрезвычайно трудоемкой. Число Аг определяется прежде всего требованиями точности (72).
му = Яз!п(0 э а)-л~я, тс = Ясов(0 ь о), 70=-б]в!по. Аэродинамическими силами и кривизной поверхности Земли пренебрегаем Значения тяги 5 н ускорения силы тяжести 8 принимаются постоянными. Выражая переменную во времени массу ю и момент инерции 7 в виде м=же ног. Па=сопя! 7 = а!ге! [гс =сопи Пример ПЗ.!. Оптимальный вывод двухступенчатой ракеты на орбиту спутника рассмотрим задачу оптимального вывода многоступенчатой ракеты на орбиту спутника [! !8) Будем исходить из предположения, что траектория полета первой ступени уже известна. Ограничимся рассмоо рением второй ступени Из условия равновесия сил и моментов (рис ПЗ 7) получим следующие уравнения движения[!!8] П ИЛОжЕ!1ИЯ 702 н нрн новых константах а, = Я/и»!», ໠— — НО/ти, ໠— — 8!/т!»4О и новых пеРеменных состоЯниЯ Х = [х, т,[' и УпРавлении ,=у,,=у,,=г, „='.,=0,„,=0. и=о укыанная система принимает вид [1! 8] т, =хз, хз — — 5»п (хз+и)-8.
о, 1-а ! 2 х» ть а, Х, = — Ссз(Х»+И), 1-а ! 2 Хз = «Ь, аэ хь = — ыпи 1 — а»! с начальными услоаияин Х", которые получтотся из конечных условий первой ступени и задаются здесь раанымн х»о =30!Озм» хзо = 148!О и/с) хзо-— Ом, .Хя» = 260 и/с, кз» =1,39 рад', хо» =Орал/с Рис. ПЗ.З. 14 задаче выводя двухступенчатой ракеты иа орбиту спутника Задачи отпимизаяии состоит и определении упрселения и(!) (угол управления деигателем1 таким образо»», чтобы после окончания подьел»а ракеты порол»евры траекторш! у = х, и г = 2. возможно л»ены ше оптичались отзадонныт Уг =ли и 2, =к»», и!. е ч»набы фУнкиионал .! = [2»(Т) — х~! [ +[л (Т) — х~г) принял минимальное значение.
Значения констант равны [118] а! = !3,33 м/с, аз = 4,44 10 1/с, о» = 1,18 1О 1/с, хн. = 200.10»м ', хз! = 500 10 м, Т = 100с Рассмотрим решение поставленной задачи сеточным методом. Для этого перейдем к системе уравне- ний с ииаеграяьныь»и операторами к, (!) = [Х» (т)дт+ х! (0), О ! хз (!) = ] — '5»п(хз (т) + и(т)) 4!т — 82+ Х2 (0), ! — азт О х,(!) =[ХО(т)дт+х»(0), О 704 П уложении Теперь формулировка задачи оптимального управления в терминах математического программирования имеет вид ~ б 3(и(гз)) =(хйл) хп 3 +[хэ(ги) — хам ] -+ л1!и при ограничениях типа равенств ° дискретный аналог интегральных уравнений, описываюших повеление системы, ° конечные условия «1 (гл ) = хи хз(!и) хзг ' Для решения задачи матеьгатического программирования воспользуемся оптимизатором, встроенным в табличный процессор Оиапго Рго т 5 0 Результатом решения задачи математического программирования является массив лискрстных значений и (гг) и х,(г,), г =12 3 4 Дискретные значения приведены в табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
