Нелинейное деформирование оболочечных конструкций с физико-механическими неоднородностями (1094954), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Пря построения разяостных выхлопе уравмсвнй двияениа в области непрерывного,мзненення времены свО вводится основная сспм с цмючнолсниыми нндсксамм л, постоянным шагом,М и временными слоямы гю-О! а (вхб), а такие вспомогательная сетка с дробными нидексвмн (ояУ2) н времемнымн сяоямм св"'». Ссточяыс фушщии обобниниых псрсзюнепий ак(Ц) соопюсатса с узлами основной сетки, а сеточные функции скоростей вк((,)) ° с узлами вспомогателыюй. Дыфференцнальиыс опсрыгоры аппроксимируются размостмымы второго порядка аппроковмацям О(дзз). Кинетическая зысрпш оболочки ()О) (! !) в днскрстнзмрованыой форме два всей сеточной обласгы за- пысывастся ь виде К, 2" 2:((а~ 2.с,',м,б.!)Ь',О.
)1(Л,Л,Х,Х,Х,~. Заменяя ямгсгрярование в (!О).(! !) суммированием по ссточмой области гм'. фумкыномал ! в дискретной форме прсдставвм в виде суммы 1*"Ерхй(сц )'" +Ю~ )'" '1-(Г'Э,)ы)ах * (36) где Э$е- дяскрстюироваяпый йункцноиал Лагранхм, вырахиниый через сеточные Ч Уикцни обобщмзных псРснсщеннй (вью'. Физико-механических ха. рввтсрнстик и нагрузок на а- ом временном слое, ~,Г„~,,Г,- весовые коз9- фнцненты два ццаоблвстсй (1),(П),($ПМ(У), соотвстствуанцнх диапазонам г"ейвИ' "", г' юкгл~м, Р'хгй»"", И"'"'ялГ""; г'- суммарный весовой ко. зффнцнснт дла подобласзтй (Н) и ((11): бьГ К1; йКГ'К1.
1(онечно-разиосзные аналоги уравимнзй двиимюа оболочка (13) цовучаютса при вврьяроваея 1 по (в, ф' н записываютса в аиде (г'Р „б).) (),й".,- " (31) е,б.4,,,-(евС (33) -19- где Ь",=(Ь+Г,)И, Г„=(Г,+Г,)Я. Уравнение (31) позаолмот описать переходные прОцессы ° обояочвчяых кОВсзрукцявх зцзВ измеисзию во вреэзсиВ ие только иврузск. ио н Чизнию.меиалнчмзщх харехтерясгнк материалов, массовых харакмрастик я зчомстраческих параметров обовочсв. Аналопнно стровтса конечно.разноспвю мнааюсн уравнений равновесна и двнлвнив дяс составных обоночсчных конструкций. Гравмчные я явчввные усаовиа аапроксимируютса ранюсюяымв операторами того не нерадив мюроксимвцня, что я основные уравзмзпм. Линию, отобрвнавлцав яа плоскости главных координат аиаиянй или вяузрсиняй контур оболочки, иоввгастса ироходацей через узловые точка ц осяовной сетки.
Граничиью усвоена ацпроксимируюгсв в узлах ц, а двв случаю, когда лиюп контура не совпадает с координатными лианами, твкпв в точках ()л!Щс1й). На крсах оболочки сходстве (если зто необходимо) закоятуриые (йеитивнме) узлы. в которых через значение сеточных функций в граиичнмх и внутренних узлах опредслаютса закоигурные значмяи сеточных фувщнй обобщенных псремаиений.
Начальнме условия (14) апвроксимяруютсв еле. луквцим образом При расчете оболочек с вырезами, края хоторых совпадают с коор. дниатнымн линиямн, может быть использована любая из ВРС (22).(27). Для случая, когда контур выреза Г или сто часть не совпаласт с координатными лнющмн н отображается нв вюскости главных координат в виде некоторой прямой, используется ВРС (25Н2)). Линия. отображающая контур выреза Г, полагаенн проходацей через узловыс точки основной сетки н совпадающей с днагоиалямн ячеек разностной сегкн, так, что тоне вспомогательной сепщ ((я(/22я)/2), в которых для двиной ВРС вычисляются параметры НДС оболочки, окатываниям прннаквмкмцими линии контура выреза Г (рис.
2). Для рассматриваемой РС исрсгуляриымн булуг узловыс точки типа А,В.С.О,Е,Р. В соответствии с формулами (!9) для вычисления усилий и моментов в точках рз1/2зМ/2) должны быть кзвестиы сеточные функции ц„, тч,пц,т~(Ц),тз(1,)) ь звконъурных узлах типа О. Неизвестные сеточные фунзщнн в„(Ц) в точках О определяются нз конечно-разностной аппроксимации краевых условий (Щ,О6) в однотипных точках вспомогательной сетки (аИ,)Н)2), прннкююпаипш контуру вырюа Г, что приводит к системе нз паты неллнейных сеточных уравнений относительно пяти нмгзвестных функций о„(Ц) для каппой из ячеек сетки, прннадаепащнх контуру выреза. Полученная система не. шнмйиш уравнений ренимтсн с помощью метода, изложенного далее в гл, П!.
Дпе общего сиучая. когда контур выреза Г ограничен произвольной гладкой кривой, отобраилемой на ллоскосгн главных координат в виде некоторой кривой, используется неравномерная разностнвя сетка с параметрами Х,=Х,(п,), Хз=йз(пз); п=а (аьаз) (рнс. 3). Таким образом. использование ВРС (27).(29) в сочетании с неравно. мерной сезкой позволяет исследовать нелинейное деформнроваине однссвкзных н многосаазных оболочек. базовая поверхность которых ограничшш внешним или виузрмнщм криволинейным контуром Г, с помощью простьа ортогональиых сеток регулярной структуры с однопншыми аппроксимациями как в основной области, так и па хоитуре без введения локальных систем координат нлп конформных отобразеинй. Это суппсгванно расширяет область применения МКР и повышает его зффппивиоггь в сравнении с МКЭ. Крома того, корректная фнэнко-мигематнчмивя формулировка сстссзвешзых красам~ условий на контуре выреза в сочетании с вариениоило-разностымм методом позволяет получать устойчпвые разносимые схемы.
-2!- В третьей главе разрабатываются численные методы решения полученных сеточных уравнений. Для численного решения задач механики деформнруемого твердого тела обычно используются негож, полученные на основе различных явных н неявных разностных схем. Более высокой скоростью сходе мости обладают численные методы, построенные на неявных схемах, что характеризуется относительно небольшим числом итераций а(Ы, требуемых двя получения численных решений с зшшнной погрешностью Ь. Однако. зиа- чптеяьные трудности првкшческой реализации вычислительных алгоритмов юш сложных задач с разрывами полей параметров НДС в рамках общих соотношений нелинейной теории неоднородных оболочек существенно ограничивают область применения неявных схем.
Недостатки явных схем связаны, в основном. с завнсимосзью члена нте. раций в(3) от числа неизвестных К, т.к. прн умснымнии параметров сетки ло пространственным переменным ограничения, налагаемые критерием устойчи° остн разноспюй схемы, приводят к уменыпснню шага по времени. Однако, практическая реализация численных методов, построенных иа явных схемах. ие вызывает сущесзвснных затруднений даже при ремямнн сиозньш, нелинейных многосвязных краевых задач, что является опредмшющнм фактором при решении сеточных уравнений. полученных нв основе общмх соопюшеннй иаш.нейной тсораи неоднородных оболочек.
Кроме того, затраты мшпиниого времени на выполнение одной итерации в авных схемах еуипатвшию меныяс, что прнводнт к сопоставимым затратам вреюин и памяти ЭВМ щш репмнни нелинейных двумерных сеточных уравнений вьпхнюго порядка с болыинм членом нсншсетных.
Эффективность явных сгем молмт быль повьииена за счет ускоренна сходнмости. умеиыиення трудоеьшости п, как саацсзвне, снижения затрат мапнппвхо времени прп рсамнпи сложньи зцшч. В связи с зтнм, двг решеаня сеточных уравнений (2в],(ЗЦ в диссертации разрабатываются зффсктнвные н зкономпчиые числмнияе методы, построенные на основе авных рэзностных схем.,(Вш решения статаческнх задач используется мегод установления, а дяя решения дннамичнжнх - явная двухслойная разностиаа схема по времени (схема Эйлерай При испоньзовании метода устаношмиие переход к эволюционной задаче осу~цесзияястся заменой уравнений (28) эп уравнения, совпадающие по форме с уравнениями движения оболочки в вязкой среде вила Р «,.«,(0«й.«+(Г)«)«« ~(с'м«Э«),«+(с е,е,)о. гле еь(14) .
параметры удельной вязкости среды. Аппроксимация уравнений (33) на временной сетке с шагом йг=соэм с использованием разносзиых операторов второго порядка точности 0(без) позволяет получить в явном виде выраямпня два скоростей [8„~' на временном слое гн"л' и ссгочные функции обобщенных псревюнвнмй [п„~ 1 на временном слое зн'о [ ), [а,[, +ес [Э,~ (34) Таким образом, ревностная аппроксимация нсстацноиэрных ураимиий (33) приводит к итерационному процессу (34) нахождения решения исходной стационарной задачи (28). При реализации вычислительного алгоритма нв ЭВМ нет необходимости формировать матрицу коэффициентов ($,„, )„, а дос- таточно только опнсазь массивы перемспшпий и скоростей, нагорью обновляются на временных слоях гп ~«л и гп в по формулам (34) в результате поше.
гового интегрирования уравнений (ЗЗ). Метод установления позщншст п«з. строить единый итерационный процесс дзи решения как лнлейных, так и иэ. линейных краевых задач, а тащке диэ репмнзш уравнений теории обопочеп, выведенных на основе различных гипотез. Пршитая форма уравнений (33) носит кв«зидннамнческий характер н соответствует некоторой физической модели эволюционного процесса с дисснпацней зиергии и установлением в стационарном состоянии, что весьма важно с точки зрения сходнмости решений нелинейных задач.
Метод успзновлення в форме (33) проявлжт значительно меныиую чувствительность к выбору начального приближения. чем болыиинсзво других итсщ«ционных методов решения нелинейных уравнений, тж. ввс ление лемпфирующнх членов ез(ц) приводит к свмокоррекпни мепщя.
Параметры итерационного процесса - удельные вязкости среды е (ь)) и шаг по времени бг - опредеааотся нз усяовия ускоренна сходимостн н устойчивости разностной схемы се е.лс ~+вин ась Ию — з— пнв+взю гяе И,яе н рхв, - наименьшее н ианбояылее сабспкмные чнсхи двя соотвстствушпшх рвзностных операторов в урввпмнссх (26); н,~м и а„ы- блпмпш к единице поправочные коэффвцненты. Шаг по времени для всей РС в целом определяется нз условия Вх=ш!пЛЧ, Прн расчете обоюшчек отношение П,lп, обычно велико, позтому метод устааювлппш, построенный в форме оптимального линейного итерационного процесса (33), позволяет сократить число итераций примерно в,/й, /р, раз по сравнение с вариантом метода, когда в Х В„ , я В„ , я ~(л,х,)' 20е-В (л,з.,]' Ф4-В Виь ~(Л ~Х ),.Не З(Ы В~(ЛАХ з Не З(м В . Вне фв+2тчтчйв+Взйе, ~-, .— + —, )3:„, я 0„, я (л,х,)' )(и" В (л~х~) дм"!) (36) правых частях уравнений (33) учнтывастса только второе сяагашюе.
Число итераций, необходимых лля получения численных раневий с макшпмиьпнмн погрешностями порядка нескольких процмпов, дане прн раемнии слонных, нелинейных многосвязных задач обычно ие превыивст п(6)<К н составляет в(6)=(0,3+6.7)К. Прн ступишин сетки схолимосзь нгсрациозшого процесса улучншстся, что характеризуется сипением отнаиепий и(В))К. Оценочные формулы для рм„н р, иммотвщ: пямвеньннм себстееппьзФ чм9В - нанбелыипе собственные числа Г а'в„ х'в, 1 -с~ — "+ — ~ь-~ к'в, +зал в +а'в; ~(А,Х,)' (А,Х1)'~ где дш уравпеамй Кнрхгоба-Лава: ~о„т О и~ ~(А х )е+(А~31)~(А~к )ю (Л Х ) (А,Х,) (А~хД~ Формулы двя р, ми Изп>получмня из оценки спектров соотаегствуанцих разностных операторов ((ч,з (пь)4 диз случая, когда базисная поверхность оболочии прн огобрахмини иа плоскости главных каор)еенаг Ограяачена облаем в в анде прямоугольника со сторонами Я„Яз при однородных тра» личных усвовнях на краях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
