Волощенко В.Ю., Сапогин В.Г. - Оценка погрешностей при физических измерениях (1093391), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В тех случаях, когда паспорта нет, оценить погрешностьможно, зная класс точности прибора.Класс точности К обычно указан на шкале прибора. Он определяется выраженной в процентах приведенной погрешностью:∆100% ,Dгде ∆ – сумма основной и дополнительной погрешностей прибора; D –диапазон измерений.Для многошкальных и многопредельных приборов диапазон измерений на каждой шкале (пределе) различен, следовательно, может бытьразличным и класс точности прибора.
Стрелочные и со световым отсчетом приборы обычно имеют следующие классы точности: 6,0; 5,0;4,0; 3,0; 2,5; 2,0; 1,5; 1,0; 0,5; 0,4, 0,3; 0,2; 0,1; 0,05. Зная класс точности, абсолютную погрешность находят по формулеK=∆x0 = KD / 100 .(2.10)Если найденная по этой формуле погрешность меньше половиныцены наименьшего деления шкалы прибора, а также в тех случаях, когда класс точности прибора неизвестен, значение абсолютной погрешности однократного измерения равно половине цены наименьшего деления его шкалы.14– продифференцировать полученное выражение почленно, помня,dAчто d (ln A) =;A– заменить знаки дифференциала d на знак конечного приращения∆;– знаки “минус” заменить на знаки “плюс”, так как суммарная погрешность всегда больше погрешности отдельных измерений;– возвести каждый член в квадрат, так как складываются не самипогрешности, а их квадраты;– в полученную формулу подставить средние арифметические значения измеренных величин и их абсолютные погрешности;– рассчитать δ и ∆Y0;– записать окончательный результат в виде∆YY = Y ± ∆Yo ; δ = o .Y4.
Точность записи результатов измерений и правилаокругленийТочность записи (число значащих цифр) отдельных измерений ипоследующихвычислений при их обработке должнабытьсогласована с необходимой точностью результата измерения. Здесьрекомендуется придерживаться следующих правил.1. При числе измерений менее 100 погрешность результата измерения следует выражать не более чем одной значащей цифрой.2. Число цифр в результатах промежуточных расчетов обычнодолжно быть на одну больше, чем в окончательном результате.
Погрешности при промежуточных вычислениях должны быть выраженыне более чем тремя значащими цифрами.3. Округлять результат измерения следует так, чтобы он оканчивался цифрой того же разряда, что и значение погрешности. Если десятичная дробь в числовом значении результата измерения оканчиваетсянулями, то нули отбрасывают только для того разряда, который соответствует разряду погрешности.Пример. Число 0,98721 при погрешности ±0,005 следует округлять в третьей значащей цифре до значения 0,987 .4. Если первая (слева направо) из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр меньше 5, то оставшиеся цифры не изменяют. Лишниецифры в целых числах заменяют нулями, а в десятичных дробях отбрасывают.19∆Yo = δY .(3.11)3. Оценка погрешностей косвенных измерений3.2.
Примеры оценки погрешностей косвенных измеренийПример 1. Оценим погрешность измерения объема цилиндра порасчетной формулеv=π4d 2 h.3.1. Вывод рабочих формулПри косвенных измерениях искомая физическая величина Y является функцией нескольких независимых переменных, и ее обычно вычисляют по соответствующей формуле, в которую подставляют результаты прямых измерений физических величин (А,В,С и т.д.):Результаты прямых измерений диаметра и высоты цилиндра считаемизвестными:Y= f(A,B,C,…).Значения А,В,С,... измеряют один или несколько раз, обрабатывают поправилам оценки погрешностей прямых измерений и записывают следующим образом:d = d ± ∆d o ; h = h ± ∆ho .Для оценки погрешности удобно воспользоваться выражением (3.10).Сравнивая формулу вычисления объема цилиндра с (3.8), получимk=π4; m = 2; n = 1.2A = a ± ∆a0 ; B = b ± ∆b0 ; c = c ± ∆c0 ,где a , b , c ,.
. . – средние арифметические значения прямых измерений величин А, В, С,...; ∆a0, ∆b0, ∆c0,… – абсолютные погрешностиэтих измерений.Искомую физическую величину также записывают в видеТогда для относительной погрешности имеемδ=2∆Vo ∆d ∆h = 2 o + o ,V d h Y = Y ± ∆Y0 ,∆Vo = δV =π4(d ) h22 ∆d o ∆ho 2 +. d h Пример 2. Если расчетная формула, приводимая в лабораторнойработе, по своей структуре близка к выражению (3.8) и легко подвергается логарифмированию, то формулу для относительной погрешности можно получить, выполняя последовательно следующие операции:– взять натуральный логарифм исходного выражения;18(3.2)где Y – результат подстановки в (3.1) значений a , b , c , . .
. , т.е.Y = f a , b , c,. . . ; ∆Y0 – абсолютная погрешность косвенного измерения величины Y.Для отыскания абсолютной погрешности ∆Y0 воспользуемсявыражением для полного дифференциала функции нескольких переменных:(откуда абсолютная погрешность2(3.1))dY = f a′dA + f b′dB + f c′dC + . . .(3.3)Величины f a′, f b′ , f c′ , .
. . называются частными производными функции(3.1). Частная производная имеет смысл быстроты изменения Y приизменении какой-либо одной из величин А, В, С,... Например,f a′ = ∂Y / ∂A при B = const, C = const.15Частные производные вычисляют в окрестностях точки Y = Y .Вместо величин А,В,С,... берут их средние арифметические значенияa , b, c , . . .
Обозначим эти частные производные следующим образом:()= f ′(a , b, c, . . .) ;= f ′(a , b, c, . . .);Kcδ = ∆Yo / Y.(3.7)В некоторых случаях формула для расчёта физической величиныможет иметь видK a = f a′ a , b, c , . . . ;KbОтносительная погрешность равна(3.4)bY = ka mb n c p ... ,c........................Теперь выражение (3.3) примет видdY = K a da + K b db + K c dc + ... .(3.5)Формула (3.5) дает математическую связь между бесконечно малымиизменениями da,db,dc,...
аргументов вблизи a , b , c ,... и бесконечно ма-(3.8)где k, m, n, p – любые числа: целые, дробные, рациональные и иррациональные, положительные и отрицательные. Примером такой зависимости является выражение (1.1).Вычислим частные производные функции (3.8) и подставим в нихсредние арифметические значения измеренных величин a,b,c,… Тогдаполучим значения коэффициентов (3.4):K a = km(a ) m−1 (b ) n (c ) p ...,лым приращением dY вблизи Y = Y .Если в выражении (3.5) заменить справа бесконечно малые приращения da,db,dc,...
на конечные приращения ± ∆ao ,± ∆bo ,± ∆co ,..., то тогда слева также будет конечное приращение величины Y:K b = kn(a ) m (b ) n−1 (c ) p ...,(3.9)K c = kp(a ) m (b ) n (c ) p −1 ...,..........................................Подставим эти коэффициенты в формулу(3.6), а затем разделим еена значение∆Y = ± K a ∆ao ± K b ∆bo ± K c ∆co ± ...Поскольку знаки у членов справа не определены, ∆Y в этой формулетакже является неопределенным. Очевидно, если все конечные приращения аргументов сложить по модулю, то получим максимальное значение погрешностиY = k (a ) m (b ) n (c ) p ...В результате получим формулу для относительной погрешности физической величины, подчиняющейся зависимости (3.8):∆Yмакс = K a ∆ao + K b ∆bo + K c ∆co + . .
.2Однако вероятность получить при измерениях максимальное значениепогрешности очень мала. Теория показывает, что наиболее вероятнаяоценка абсолютной погрешности при косвенных измерениях определяется выражением∆Yo = ( K a ∆ao ) 2 + (K b ∆bo ) + (K c ∆co ) + ...2162(3.6)δ=22∆Yo ∆a ∆b ∆c = m o + n o + p o + ...a b c Y(3.10)Как и следовало ожидать, относительная погрешность не зависит отпостоянного коэффициента k в (3.8).После вычисления относительной погрешности δ легко определитьабсолютную погрешность:17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
