Волощенко В.Ю., Сапогин В.Г. - Оценка погрешностей при физических измерениях (1093391), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В теориитакже доказывается, что абсолютная погрешность измерений с некоторой вероятностью не превышает ∆xo . Поэтому случайная погрешность среднего арифметического ∆xo может быть использована в качестве оценочного значения абсолютной погрешности. Окончательныйрезультат измерений записывается какx = x ± ∆xo(2.3)с доверительной вероятностью α . Относительная погрешность результата равна∆x(2.4)δ= o .x7Величина x ± ∆xo определяет интервал, внутри которого с доверительной вероятностью α лежит истинное значение измеряемой величины.Этот интервал называют доверительным.Доверительная вероятность α показывает, с какой вероятностьюистинное значение измеряемой величины Х находится внутри доверительного интервала.Результаты измерения величины Х, согласно (2.3), можно изобразить графически на числовой оси (рис.
2.1).Доверительный интервалx − ∆x ox + ∆x oxxХ – истинное значениеизмеряемой величиныРис. 2.1Рассмотрим закономерности, которым подчиняются случайные погрешности ∆xi . Прежде всего случайные погрешности возникают врезультате одновременного воздействия большого числа независимыхфакторов. Основные их свойства:– при повторных измерениях одной и той же физической величиныслучайные погрешности представляют собой последовательность случайных чисел обоих знаков;– одинаковые по значению, но разные по знаку погрешностивстречаются одинаково часто;– чаще встречаются меньшие по значению погрешности.Эти свойства случайной погрешности следуют из закона нормального распределения Гаусса:p(∆x) =1σ 2πe−( ∆x )22σ 2,(2.5)где p (∆x ) – плотность вероятности появления случайной погрешности;σ = limn→∞1nn∑ ( ∆x )i2чаемые последовательно с вольтметром.
При этом добавочное сопротивление и вольтметр образуют делитель напряжения. Добавочное сопротивление определяют по формулеRg = RV [(U x / U V ) − 1] ,где U x – измеряемое напряжение;U V – напряжение, показываемое вольтметром;RV – внутреннее сопротивление вольтметра.Появление многопредельных приборов связано с тем обстоятельством, что часто требуется измерять электрические величины в широкихпределах с достаточной степенью точности в каждом интервале.
Вэтом случае многопредельный прибор заменяет несколько однотипныхприборов с различными интервалами измерения. Например, при снятии анодных характеристик триода величина анодного тока в зависимости от анодного напряжения (при постоянном потенциале сетки)может изменяться в пределах от 0 до 30 мА. Если измерения производить прибором, шкала которого рассчитана на 30 мА (т.е. D = 30мА),то небольшие токи будут измерены таким прибором с большой погрешностью.Действительно, пусть класс точности прибора k = 1,5.
Тогда абсолютная погрешность измерения определится по формулеkD 1,5 ⋅ 30∆x0 ==≈ 0,5 мА.100100Она остается постоянной для любого измерения величины тока в диапазоне D. Тогда при измерении тока в 21 мА относительная погрешность, даваемая прибором, равнаδ1 =Если же измерять прибором ток в 1 мА на выбранном диапазоне D, тоабсолютная погрешность измерения будет того же порядка, что и измеряемая величина:– дисперсия (разброс).i =1δ2 =80,5= 2,4% .210,5= 50% .125В логарифмической системе координат такая зависимость будет иметьвид прямой линии.15. При использовании функциональных масштабов на ось следует наносить двойную шкалу: одну – равномерную для откладываемойпо оси функции (например, lg x), а другую – неравномерную для самойисследуемой величины х.
В тех случаях, когда аргументом являютсяугловые величины, удобнее применять не прямоугольную систему координат, а полярную.График должен быть наглядным и приемлемым с эстетической точки зрения (разные цвета для экспериментальных точек, кривых, осейкоординат и т. д.). Построенный график снабжается подписью, в которой даётся точное описание того, что показывает график. Различныегруппы точек или различные кривые на графике также должны бытьобозначены и объяснены в подписи к графику.График нормального распределения показан на рис.
2.2 (σ = 0,25 –кривая 1; σ = 0,5 – кривая 2; σ = 1,0 – кривая 3). По оси абсцисс отложена случайная погрешность ∆x , по оси ординат – плотность вероятности появления случайной погрешности p(∆x) . Максимум кривойраспределения приходится на значение ∆x = 0 (нулевая случайная погрешность). График нормального закона распределения зависит от параметра σ. Чем больше σ, тем более пологий вид имеет кривая распределения.P(∆x)p6. Многопредельные приборыПрибор, электрическую схему которого можно изменять для того,чтобы перекрыть широкий диапазон измеряемой величины, называютмногопредельным.
Например, для амперметров изменение пределовизмерения производится за счёт включения различных шунтов, длявольтметров – за счёт включения делителей напряжения.Шунты используют для уменьшения силы тока, протекающего через амперметр, в определенное число раз. Такая задача возникает втом случае, если диапазон показаний амперметра меньше диапазонаожидаемого изменения измеряемого тока. Шунт представляет собойсопротивление, включаемое параллельно прибору, как показано нарис.
6.1. Еслисопротивление шунтаI2 АRRш =, где R – сопротивление ам(n− 1)I1IRШперметра; n = 1 – коэффициент шунтироваIРис. 6.12ния, то ток I 2 в n раз меньше тока I1 .Делители напряжения применяют для уменьшения напряжения,подаваемого на вольтметр, в определенное число раз. В зависимости отрода напряжения они могут быть выполнены на элементах, имеющихчисто активное, ёмкостное или индуктивное сопротивления. Для увеличения верхнего предела измерения вольтметра, имеющего внутреннее сопротивление RV , применяют добавочные сопротивления, вклю-Вероятность получить то или иное значение случайной погрешности (которую удобно выражать в единицах σ равна площади, ограниченной кривой распределения и двумя перпендикулярами к оси абсцисс.
Например, когда погрешность не превосходит значений ± σ площадь под кривой нормального распределения составляет 68% от общейплощади (рис. 2.3). Это значит, что в среднем в 68 измерениях из 100погрешность окажется меньше σ, а в 32 – больше σ. Это утверждениеэквивалентно тому, что с доверительной вероятностью α = 0,68значение погрешности лежит в интервале ± σ . Аналогично в интервале± 2σ находятся 95% всей площади под кривой (доверительная вероятностьα = 0,95), случайная погрешность при этом не превышает ± 2σ и т.д.249∆xРис. 2.2p( x)Рис. 2.32.2. Оценка погрешностей многократных измеренийАнглийский математик Госсет, публиковавший свои работы подпсевдонимом Стьюдент, предложил методику обработки результатовмногократных измерений одной и той же величины. Эта методика внастоящее время стала общепризнанной.
Её применяют при числе измерений n ≤ 30 . Она основана на введении дискретной функции распределения для случайной величины, подчиняющейся нормальномузакону распределения в предположении, что систематические погрешности отсутствуют.Согласно методике Стьюдента, для n измерений одной и той же величины вычисляют среднее арифметическое значение по формуле(2.2):1 nx=xi ,(2.6)n i =1где xi – измеренное значение искомой физической величины; n – числоизмерений.Случайное отклонение определяют как разность между измеренным значением xi и средним арифметическим:∑ε i = xi − x .10(2.7)яснён погрешностью измерений и если при этом на его существованиеуказывает большое число точек; кроме того, нужно быть уверенным вотсутствии систематических ошибок (изломы часто появляются, например, когда сначала работают на одной шкале прибора, а затем переходят на другую).
Во всех случаях кривая должна быть проведенатак, чтобы она не закрывала экспериментальных точек. Помните, чторезультат эксперимента – это точки, а кривая – это только толкованиевашего результата.11. Прямую на графике проводят карандашом с помощью линейки. Кривую проводят по экспериментальным точкам от руки.
Для последующей обводки кривой следует использовать лекало.12. При построении графика нужно стремиться к тому, чтобы оннаиболее чётко отражал все особенности представляемой зависимости.Для этого часто бывают удобны функциональные масштабы – по осямоткладывают не сами измеряемые величины, а их функции, подобранные в соответствии с решаемой задачей.Пусть, например, исследуется зависимость типа у = х (например,при проверке градуировки прибора у – измеряемое значение величины,х – показание прибора). Для иллюстрации этой зависимости вполнеудобен график в координатах х,у.
Для определения отклонений от неёполезнее график зависимости (у – х) от х или у (в частности, так строятся графики поправок к показаниям приборов).13. Если функция изменяется на несколько порядков при малыхизменениях аргумента, то удобно применять системы координат с полулогарифмическим или логарифмическим масштабом.
Полулогарифмическая система координат – это прямоугольная система координат,по одной оси которой отложен равномерный масштаб, а по второй –логарифмический (пропорциональный логарифму натуральных чисел).Полулогарифмический масштаб удобен для изображения зависимоститипа у = ае±kх. Логарифмируя зависимость, получим lg y=lg a ± k'x, гдеk′= k lg e. Если наносить величину х по оси равномерной шкалы, а величину у – по оси логарифмической шкалы, то получится прямая линия.14. Логарифмическая система координат – это прямоугольная система координат, на обеих осях которой отложены логарифмическиемасштабы. Логарифмические координаты очень удобны для изображения зависимости вида хn ym=const.
Логарифмируя приводимую зависимость, получимn lg x + m lg y = lg C.23ность измерений меньше, а затем выбрать масштаб для второй оси так,чтобы график имел удобную форму.6. Масштаб наносится на осях графика вне его поля в виде равноотстоящих «круглых» чисел, например: 6; 8; 10 и т. д. или 4,74; 4,76;4,78 и т. д. Не следует расставлять эти числа слишком густо – достаточно нанести их через 2 или даже через 5 см.
Около оси координатнеобходимо написать название величины, которая отложена по даннойоси, её обозначение и единицу измерения. При этом множитель, определяющий порядок величины, включается обычно в единицы измерения, например: I, мА или I, 10-3 А. Если началом отсчёта является нуль,его следует указывать у точки пересечения осей.7. На графике приводится только та область изменения измеренных величин, которая была исследована на опыте; не нужно стремиться к тому, чтобы на графике обязательно поместилось начало координат. Начало обозначают на графике только в том случае, когда это нетребует большого увеличения его размеров.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
