Волощенко В.Ю., Сапогин В.Г. - Оценка погрешностей при физических измерениях (1093391), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Точки должны наноситься на график тщательно и аккуратно,чтобы график получился возможно более точным. На график наносятвсе полученные в измерениях значения. Если одна точка измеряласьнесколько раз, то можно нанести среднее арифметическое значение иуказать разброс. Если на один и тот же график наносятся различныегруппы данных (результаты измерения разных величин или одной величины, но полученные в разных условиях и т. п.), то точки, относящиеся к разным группам, должны быть помечены различными символами (кружочки, треугольники, звёздочки и т. п.). Выносные линии награфике не проводятся, надо научиться наносить точки на график безих помощи. Выносная линия может в виде исключения быть нанесена,если какую-либо точку хотят особо выделить на графике (например,положение максимума).9.
Погрешность измерения изображают на графике с помощьюкрестиков соответствующих размеров, нанесённых поверх точек. Нетнеобходимости указывать погрешность для каждой точки, но если погрешность изменяется вдоль кривой, следует показать это на нескольких точках (см. рис. 5.1).10. Как правило, физические зависимости – это гладкие, плавныелинии без резких изломов. Экспериментальные точки вследствие ошибок измерений не ложатся на кривую физической зависимости, а группируются вокруг неё случайным образом. Поэтому не следует соединять соседние экспериментальные точки на графике отрезками прямойи получать таким образом некоторую ломаную линию.
Излом на кривой можно рисовать только в том случае, если он не может быть объ-Случайное отклонение ε i и случайная погрешность ∆xi [см. формулу(2.1)] подчиняются одним и тем же законам распределения.Случайную погрешность среднего арифметического (оценочноезначение абсолютной погрешности) вычисляют по формуле2211∆xo = tS ,(2.8)где t – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n идоверительной вероятности α (табл. 2.1), аS=1n(n − 1 )n∑ε2i(2.9)i =1есть среднее квадратичное отклонение.Понятия доверительной вероятности и доверительного интервалатесно связаны между собой. Длина доверительного интервала равна2∆х0=2tS.
Коэффициент Стьюдента t зависит от доверительной вероятности α. Чем ближе α к единице, тем больше t при одном и том жечисле измерений n (табл. 2.1). Например, при n = 3 для доверительнойвероятности α = 0,9 получим t = 2,9. Соответствующая этой вероятности длина доверительного интервала равна 2∆xo = 5,8 S . Таким обра-зом, в данном примере истинное значение измеряемой величины Х свероятностью 0,9 находится внутри полученного доверительного интервала (см. рис. 2.1).Границы доверительного интервала позволяют определить наименьшее и наибольшее значения измеряемой величины, допустимые вобрабатываемой серии измерений. Если в серии измерений есть значения, не попадающие в доверительный интервал, то их называют промахами.В лабораториях кафедры физики ТРТУ принимается:1) доверительная вероятность α = 0,9 при числе измеренийn ≤ 4.
Согласно табл. 2.1 таким значениям α и n соответствуют значения коэффициентов Стьюдента в интервале 2,4 ≤ t ≤ 6,3;2) доверительная вероятность α = 0,95 при n ≥ 5. В этом случае2 ≤ t ≤ 2,8 .Таблица 2.1n234567891011121314151617Значения коэффициентов Стьюдентаnα0,90,950,96,312,7181,72,94,3191,72,43,2201,72,12,8211,72,02,6221,71,92,4231,71,92,4241,71,92,3251,71,82,3261,71,82,2271,71,82,2281,71,82,2291,71,82,2301,71,82,1401,71,82,1601,71,72,11201,71,6∞α0,952,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,02,02,02,02,02,02,0ны. Образец оформления графической зависимости периода колебанийфизического маятника от приведённой длины представлен на рис. 5.1для двух разных положений опорной призмы.4. Масштабы по обеим осям выбираются независимо друг от друга.
Следует помнить, что график получается более наглядным, еслиосновная часть кривой имеет наклон, не слишком отличающийся от450. В этом случае наиболее удобно анализировать форму кривой. Кривые должны занимать практически всё поле графика (т. е. должно бытьсоответствие между протяжённостью кривой и размером графика).5. При исследовании резонансных явлений следует иметь в виду,что в тех областях, где ход кривой монотонный, можно ограничиться2.3. Пример обработки результатовмногократных измеренийРассмотрим измерение диаметра d цилиндра. Пусть при измеренияхполучено пять значений d. Результаты обработки сведём в табл.
2.2,которой студентам рекомендуется пользоваться при выполнении лабораторных работ.Порядок расчета1. Найти среднее арифметическое d по формуле (2.6).2. Найти случайные отклонения ε i = d i − d .3. Вычислить квадраты случайных отклонений ε i2 .4. Вычислить значение S по соотношению (2.9).5. При n = 5 задать доверительную вероятность α = 0,95 и потабл. 2.1 выбрать значение коэффициента Стьюдента t = 2,8.12Рис. 5.1небольшим числом измерений (несколькими точками кривой на графике). В областях максимумов, минимумов и точек перегибов следуетпроизводить измерения значительно чаще, что увеличит точность построения графика.
Если при выборе масштабов для обеих осей на основе интервалов изменения график получается слишком растянутым вкаком-либо направлении, то это означает, что измерения соответствующей величины проведены с излишне высокой точностью.
В этомслучае следует несколько увеличить масштаб по оси, для которой точ-21Пример. При сохранении четырех значащих цифр число 283 435должно быть округлено до 283 400; число 384,435 – до 384,4.5. Если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифрравна 5, а за ней не следует никаких цифр или идут нули, то округление производят до ближайшего четного числа, т.е. четную последнююцифру или нуль оставляют без изменения, нечетную увеличивают наединицу.Пример. При сохранении трех значащих цифр число 264,50 округляют до 264; число 645,5 округляют до 646.6.
Если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифрбольше или равна 5, но за ней следует отличная от нуля цифра, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу.Пример. При сохранении трех значащих цифр число 17,58 округляют до 17,6; число 18598 – до 18600; число 352,512 – до 353.5. Графическое изображение результатовЕсли исследуется функциональная зависимость одной величины отдругой, то результаты могут быть представлены в виде графиков. Посмотрев на график, можно сразу оценить вид полученной зависимости,получить о ней качественное представление и отметить наличиемаксимумов, минимумов, точек перегиба, областей наибольшей и наименьшей скоростей изменения, периодичности и т.п. График позволяеттакже судить о соответствии экспериментальных данных рассматриваемой теоретической зависимости и облегчает обработку измерений.При вычерчивании графиков соблюдают следующие правила.1.
Графики выполняются преимущественно на миллиметровой бумаге или бумаге со специальными координатными сетками.2. В качестве осей координат следует применять прямоугольнуюсистему координат (это облегчает использование построенного графика). Общепринято по оси абсцисс откладывать ту величину, изменениякоторой являются причиной изменения другой (т.е. по оси абсцисс –аргумент, по оси ординат – функцию). Оси координат следует заканчивать стрелками.3.
Масштаб графика определяется интервалом изменения величин,отложенных по осям; погрешность на графике представляется в выбранном масштабе отрезком достаточной длины. Принятая шкала будет легко читаться, если одна клетка масштабной сетки будет соответствовать удобному числу: 1; 2; 5; 10 и т. д. (но не 3; 7; 1,13 и т. д.), которое представляет собой единицу отображаемой на графике величи206. Найти случайную погрешность среднего арифметического (оценочное значение абсолютной погрешности) по формуле (2.8):∆d 0 = tS .7.
Записать окончательный результат измерения [формулы (2.3) и(2.4)].8. Выявить промахи.Таблица 2.2Измерение диаметра цилиндра№ di,мм d , мм εi ,ммt (α=εi2, мм2 S,мм∆do,мм=0,95)113,650,0300,0009213,650,0300,0009313,60 13,620 – 0,020 0,0004 0,020 2,80,056413,55– 0,070 0,0049513,650,0300,0009Расчеты дают абсолютную погрешность измерения диаметра цилиндра ∆d0 = ±0,056 мм. Однако при малом числе измерений в значении погрешности достоверной является лишь одна значащая цифра.Поэтому окончательный результат измерения следует записать с доверительной вероятностью α = 0,95 следующим образом:d = (13,62±0,06) мм.Из окончательного результата видно, что значение измерения №4,приводимое в табл.
2.2., является «промахом», поскольку оно не попадает в полученный доверительный интервал.Относительная погрешность измерения диаметра равнаδ =±0,06= ±0,004 или 0,4%.13,62Вывод: значение случайной погрешности оказывается больше значения приборной погрешности (половина цены деления –0,005 мм), и ее нужно учитывать в измерениях.Правила округления результатов измерений и вычислений приведены в разд. 4.132.4. Погрешности однократных измеренийВстречаются измерения, когда случайные погрешности настолькомалы, что повторные измерения дают значения, попадающие в пределы интервала погрешности прибора.
Тогда физическую величину объявляют однократно измеренной. В этом случае погрешностью измерения является сумма основной и дополнительной погрешностей используемого прибора.Основной погрешностью прибора называют его погрешность, которая появляется в условиях (температура, влажность воздуха, напряжение питания и др.), принятых за нормальные для данного средстваизмерений.Дополнительные погрешности прибора возникают при отклонении влияющих на измерения величин от нормальных значений.Основные и дополнительные погрешности прибора указывают в егопаспорте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
