Шушерина О.А. - Математическая статистика для психологов (1092915), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Область принятия гипотезы Область принятия гипотезы

о различии выборок о сходстве выборок

по уровню признака по уровню признака

Так как больше , то различия между уровнем невербального интеллекта студентов-психологов и студентов-физиков несущественны на уровне значимости 5%. Значит, с ошибкой 0,05 можно считать, что исследуемая группа студентов-психологов не превосходит по уровню невербального интеллекта группу студентов-физиков.

тестовые задания

1. Отметьте не менее двух правильных ответов. Для определения нужного критерия различия необходимы характеристики выборок:

1. объем выборок 2) независимость

3) шкала измерений признака 4) уровень значимости

2. Отметьте два правильных ответа. Если эмпирическое значение критерия принадлежит критической области, то принимается решение ….

1. выборочные данные не противоречат гипотезе о генеральной совокупности

2. на уровне значимости гипотеза отклоняется в пользу конкурирующей гипотезы

3. выборочные данные не согласуются с выдвинутой гипотезой

3. При использовании критерия Манна–Уитни значения эмпирическое , критическое , принимается гипотеза:

1. о «различии» 2) о «сходстве»

3) вывод зависит от условий эксперимента

4) вероятностью принимается гипотеза

4. Гипотеза по критерию Манна–Уитни отклоняется на уровне значимости 0,01, то на уровне значимости 0,05:

1) отвергается 2) принимается

3) ответ зависит от гипотезы 4) ответ зависит от гипотезы

6. Количество выборок, сопоставляемых в критерии Манна–Уитни:

1. одна 2) две 3) три 4) больше трех

Ответы. 1. 1, 2, 3. 2. 2, 3. 3. 1. 4. 4. 5. 2. 6. 2.

Контрольные вопросы

1. Приведите пример задачи сравнения независимых выборок по уровню признака.

2. Какие характеристики выборки необходимо знать, чтобы определить выбор критерия различия?

3. Каковы последующие действия исследователя, если применимый критерий не выявил различия в выборках по уровню признака?

4. Найдите по таблице критических значений критерия Манна–Уитни значение для , , .

Тема 3. проверка гипотезы о равенстве генеральных средних (независимые выборки)

Важнейшим вопросом, возникающим при анализе двух выборок, является задача выявления однородности выборок. Эта задача сводится к проверке гипотез об оценке различия между их параметрами – между средними (математическими ожиданиями) и между дисперсиями.

1. Постановка задачи о равенстве средних независимых генеральных совокупностей

Постановка задачи

Даны две независимые выборки и из двух генеральных совокупностей. По этим выборкам найдены выборочные средние ; и выборочные дисперсии ; . Проверяется гипотеза о равенстве математических ожиданий генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки. Альтернативной гипотезой является гипотеза .

Такие проверки возникают на производстве при сравнении средних значений контролируемого параметра продукта, выпускаемого двумя станками, в экономике при сравнении среднего уровня зарплаты, среднего объема выпускаемой продукции в двух регионах. Эта задача может возникнуть в социальной сфере при сравнении социальных факторов, таких, как средний возраст, средний уровень обеспеченности жильем.

Для решения этой задачи применяется -критерий Стьюдента, но его использование отличается в зависимости от различных предположениях относительно дисперсий.

В психологии чаще используется случай, когда дисперсии выборок неизвестны. Это объясняется тем, что, во-первых, в психологической практике генеральные дисперсии, как правило, неизвестны и, во-вторых, по психологическим выборкам малого объема ( ) нельзя получить «хорошие» оценки дисперсий.

В случае неизвестных генеральных дисперсий возможны следующие варианты: 1) дисперсии одинаковы; 2) дисперсии неодинаковы. Будем считать, что генеральные дисперсии в двух совокупностях одинаковы: , что связано с понятием однородности выборок и отражает сущность решаемой задачи.

1. Критерий Стьюдента для оценки различия средних значений признака в независимых выборках

Из параметрических критериев наибольшей известностью пользуется критерий Стьюдента ( -критерий различия). Он применяется при сравнении математических ожиданий двух выборок, если есть основание считать, что выборки взяты из генеральных совокупностей с нормальным распределением.

При малых выборках ( ) до начала применения -критерия необходимо проверить гипотезу о соответствии экспериментальных данных нормальному распределению. При средних и больших объемах выборки ( ) -распределение переходит в нормированное нормальное распределение (с параметрами и ).

При использовании -критерия различия средних можно выделить два случая:

выборки независимы, т.е. получены в результате измерения двух разных групп объектов (например, две различные выборки - контрольная и экспериментальная группы);

выборки зависимые, т.е. получены в результате измерения одной и той же группы объектов, но в разное время (например, числовой материал порождается одной и той же группой объектов - «до» и «после» воздействия).

Рассмотрим независимые выборки.

Критерий (правило) проверки гипотезы

1. Проверяем нулевую гипотезу : о равенстве генеральных средних.

2. Формулируем альтернативную гипотезу : о неравенстве генеральных средних. В качестве могут выступать и другие предположения: или .

3. Назначаем уровень значимости (или ).

4. Вычисляем выборочные средние значения и .

5. Вычисляем выборочное значение -критерия , где выражение для равно . Доказано, что статистика распределена по закону Стьюдента с степенями свободы. Таблица критических точек распределения Стьюдента приведена в Приложении.

6. По таблице критических точек распределения Стьюдента находим критическое значение при . Критическая область является двусторонней и распадается на два интервала: и . Вероятность ошибочного отклонения нулевой гипотезы делится пополам между интервалами и поэтому при нахождении критических точек фигурирует . Поскольку кривая распределения -Стьюдента симметрична, то и левая и правая критические точки симметричны относительно начала координат, т.е. . Вероятности попадания в левую часть критической области и в правую ее часть равны .

7. Сравниваем и , т.е. определяем, принадлежит ли значение критической области.

Если , т.е. попало в область допустимых значений, то гипотеза принимается. Говорят, что с ошибкой нет оснований для отклонения гипотезы о незначимости различий между двумя генеральными средними. Различие между генеральными средними статистически незначимо (недостоверно) и объясняется случайными причинами, например, случайным отбором объектов выборки.

Если же , то гипотеза отклоняется, так как попало в критическую область. Отметим, что значение всегда положительно, поэтому достаточно сравнить его только с правой критической точкой .

3. Задача оценки различия средних значений признака в независимых выборках

Задача. Преподаватель сопоставил изложение одной и той же темы в двух различных учебниках. Работая в двух параллельных студенческих группах, он отобрал из них случайным образом две группы по 15 студентов в каждой и поручил им самостоятельно проработать эту тему: одной группе по первому учебнику, другой группе – по второму.

В конце эксперимента студентам был предложен тест на усвоение изученного материала. Результаты оценивались количеством правильных ответов. Были получены следующие данные:

в первой группе , , ;

во второй группе , , .

Значимы ли различия между средним количеством правильных ответов студентов в группах?

Решение

Нулевую гипотезу (о равенстве генеральных средних) проверим на уровне значимости . Альтернативная гипотеза (о различии) задает двустороннюю критическую область.

Обе выборки независимы, выборочные дисперсии равны между собой , объемы выборок совпадают ( ). Тогда значение

.

Вычислим эмпирическое значение критерия:

.

Найдем по таблице критические точки -распределения Стьюдента для двусторонней критической области при уровне значимости и числе степеней свободы . Получим . Значит, правая критическая точка , левая критическая точка , а область допустимых значений двустороннего -критерия есть симметричный интервал от до .

Значение находится внутри области допустимых значений , то есть , поэтому нет оснований для отклонения гипотезы о равенстве генеральных средних значений числа правильных ответов в группах. Расхождение между и незначимо. Оба учебника дают примерно одинаковые результаты по усвоению учебного материалы по критерию числа правильных ответов на тестовые задания.

тестовые задания

1. Критерий Стьюдента применяется для статистической оценки различия:

1) генеральных средних значений признака;

2) выборочных средних значений признака;

3) генеральных дисперсий признака;

Характеристики

Список файлов книги