Шушерина О.А. - Математическая статистика для психологов (1092915), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

2. Мода вариационного ряда 1, 2, 2, 3, 4, 5 равна:

1) 17; 2) 2; 3) 3; 4) 5.

3. Дан дискретный статистический ряд признака.

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4. Мода вариационного ряда 1 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 9 равна:

1) 6; 2) 9; 3) 7; 4) 1.

5. Выборочное среднее значение признака в выборке :

1) 38; 2) 9,5; 3) 10; 4) 19.

6. Показатели степени изменчивости признака в выборке:

1) выборочная дисперсия;

2) выборочный коэффициент асимметрии;

3) выборочное среднее квадратическое отклонение;

4) размах выборки.

7. Дан дискретный статистический ряд признака.

Выборочное среднее значение признака:

1) -1; 2) 2; 3) 5; 4) 6.

Ответы. 1. 5,4. 2. 2. 3. . 4. 7. 5. 9,5.

6. выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение, размах выборки. 7. 2.

Контрольные вопросы

1. Запишите формулы для нахождения выборочного среднего по статистическим данным: 1) несгруппированным, 2) сгруппированным и поясните их. Приведите пример.

2. Запишите формулы для нахождения выборочного среднего квадратического отклонения по статистическим данным: 1) несгруппированным, 2) сгруппированным и поясните их. Приведите пример.

3. Назовите числовые характеристики выборки, которые описывают:

1) центр распределения,

2) рассеивание значений случайной величины вокруг центра,

3) симметричность распределения,

4) островершинность распределения?

Часть 2. статистические оценки параметров распределения генеральной совокупности

Тема 1. точечные оценки параметров генеральной совокупности

1. Оценка параметра и ее свойства

Изучаемая генеральная совокупность может быть очень большой. Поэтому ее изучают с помощью выборочного метода. Для выборки из генеральной совокупности вычисляют выборочную среднюю, выборочную дисперсию, и интересующие нас параметры. Например, для нормального распределения – это параметры и (математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение). Для распределению Пуассона - один параметр .

Как оценить параметры генеральной совокупности, зная значения выборочных параметров?

Статистическая оценка

параметров распределения

Доверительный

Несмещенная Точечная Интервальная интервал

Эффективная оценка оценка

Состоятельная Доверительная

вероятность

* среднее арифметическое * размах варьирования

* медиана * выборочная дисперсия

* мода * выборочное среднее

квадратическое отклонение

Статистическое оценивание параметров распределения

Естественно возникает задача: как оценить (найти приближенное значение) параметра (параметров), которым определяется распределение?

Если генеральную совокупность описывает параметр , то выборку – его статистическая оценка , которая вычислена по выборке. Например, выборочное среднее оценивает генеральную среднюю ; выборочная дисперсия оценивает генеральную дисперсию . Статистики принято обозначать латинскими буквами , , а параметры – греческими , .

Если статистическая оценка параметра характеризуется одним числом, она называется точечной.

Для каждой конкретной выборки точечная статистическая оценка – это число, т.е. точка на числовой оси.

Статистическая оценка является случайной величиной и меняется в зависимости от выборки.

Для одной и той же неизвестной величины можно составить бесконечно много различных оценок. Например, в качестве оценки математического ожидания нормального распределения могут служить выборочное среднее , выборочная медиана , полусумма крайних элементов.

В силу многообразия оценок, применяемых для оценивания одной и той же неизвестной величины, возникает задача выбора лучшей оценки параметра в определенном смысле. Выбор оценки из множества возможных оценок должен определяться следующими критериями (их предложил Р.А. Фишер).

1. Оценка должна быть несмещенной, т.е. ее математическое ожидание должно быть равно оцениваемому параметру.

2. Если имеются несколько несмещенных оценок для , тогда выбирают ту из них, которая обладает наименьшей дисперсией (при заданном объеме выборки). Такая оценка называется эффективной.

2. Точечные оценки параметров генеральной совокупности

Среднее арифметическое представляет собой несмещенную оценку математического ожидания генеральной совокупности.

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии .

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия , где - поправочный коэффициент.

При больших значения и будут мало отличаться, поэтому «исправление» выборочной дисперсии производят при малых ( ). В целях повышения надежности полученной оценки следует увеличивать объем выборки.

Пример 1. При обследовании 50 членов семей получен дискретный вариационный ряд.

Определите средний размер (среднее число членов) семьи.

Охарактеризуйте изменчивость размера семьи.

Объясните полученные результаты, сделайте выводы.

Решение

1. В данной задаче изучаемый признак является дискретным, так как размер семей не может отличаться друг от друга менее чем на одного человека. Рассчитаем среднее число членов семьи:

.

Средний размер семьи около 5 человек.

2. Для расчета дисперсии используем формулу :

Дисперсия размера семьи – 3,7 ( ).

Найдем среднее квадратическое отклонение размера семьи: . Среднее квадратическое отклонение размера семьи - 2 человека.

Найдем коэффициент вариации размера семьи по формуле . Коэффициент вариации составляет 38%. Так как коэффициент вариации больше 35%, можно сделать вывод о том, что изучаемая совокупность семей является неоднородной, чем объясняется высокая изменчивость размера семьи в данной совокупности.

Тестовые задания

1. Точечная оценка параметра распределения признака, вычисленная по выборке, характеризуется:

1) одним числом 2) средним значением признака

3) точкой на прямой 4) результатами выборки

2. В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 11, 13, 15. Тогда оценка дисперсии измерений равна:

1) 4; 2) 13; 3) 8; 4) 3.

3. Отметьте правильные ответы. Качество точечной оценки параметра распределения признака характеризуется:

1) несмещенностью; 2) эффективностью;

3) состоятельностью; 4) случайностью.

4. Отметьте правильный ответ. Несмещенная оценка математического ожидания признака:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

5. Оценка генеральной средней признака:

1) выборочное среднее значение 2) среднее значение признака

3) наибольшее значение признака 4) математическое ожидание

6. Несмещенная оценка дисперсии признака:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

7. Проведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 5, 6, 9, 12. Оценка математического ожидания равна:

1) 8,25; 2) 8,5 ; 3) 7; 4) 8.

8. Математическое ожидание оценки параметра равно:

1) параметру; 2) выборочному среднему значению;

3) выборочной дисперсии; 4) нулю.

9. Несмещенная и состоятельная оценка генеральной дисперсии:

1) выборочная дисперсия; 2) исправленная выборочная дисперсия;

3) размах признака; 4) приближенное значение дисперсии.

Ответы. 1. 1). 2. 1). 3. 1, 2, 3. 4. 2).

5. 1). 6. 1). 7. 4). 8. 1). 9. 2).

контрольные вопросы

1. Дайте определение точечной статистической оценки.

2. Какая оценка параметра распределения называется точечной?

3. Какими свойствами обладает выборочное среднее ?

4. Какими свойствами обладает выборочная дисперсия ?

5. Какая числовая характеристика выборки является несмещенной для математического ожидания?

6. Какая числовая характеристика выборки является несмещенной для дисперсии?

Тема 2. интервальные оценки параметров генеральной совокупности

1. Доверительная вероятность и доверительный интервал

Точечные оценки являются приближенными, так как они указывают точку на числовой оси, в которой должно находиться значение неизвестного параметра.

Оценка параметра при разных выборках одного и того же объема будет принимать разные значения. Поэтому в ряде задач требуется найти не только подходящее значение параметра, но и определить его точность и надежность.

Для этого в математической статистике используется два понятия – доверительный интервал и доверительная вероятность.

Характеристики

Список файлов книги