МА_ДЕМО 2013 (1092120), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Количество баллов, выставляемых за выполнение заданий части 2 зависит от полноты решения и правильности ответа.
Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, в частности, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное число баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.
Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.
В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов.
При выполнении задания можно использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации.
С1
а) Решите уравнение
. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
.
Решение.
а) Так как 
, 
, то 
.
К
орни уравнения: 
, 
б) Корни уравнения 
изображаются точками 
и 
, а корни уравнения 
— точками 
и 
, промежуток изображается жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: 
, 
и 
.
Ответ: а) 
, 
,
б) 
.
Другие решения пункта б).
б) Корни, принадлежащие промежутку 
, отберем по графику 
. Прямая 
(ось 
) пересекает график в единственной точке 
, абсцисса которой принадлежит промежутку .
Прямая 
пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых принадлежат (см. рис.). Так как период функции равен 
, то эти абсциссы равны, соответственно,
и 
.
В промежутке содержатся три корня: .
б) Пусть 
. Подставляя 
, получаем 
. Промежутку принадлежит только 
.
Пусть 
. Подставляя 
, получаем: 
. Промежутку принадлежат только 
.
Промежутку принадлежат корни: .
б) Отберем корни, принадлежащие промежутку .
Пусть 
Тогда 
. Корень, принадлежащий промежутку : .
Пусть
.
Тогда 
.
Корень, принадлежащий промежутку : 
.
Пусть
.
Тогда 
.
Корень, принадлежащий промежутку : 
.
Промежутку принадлежат корни: .
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получены верные ответы в п. а) и в п. б) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в п. а), но обоснование отбора корней в п. б) не приведено или задача в п. а) обоснованно сведена к исследованию простейших тригонометрических уравнений без предъявления верного ответа, а в п. б) приведен обоснованный отбор корней | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
С2
Сторона основания правильной треугольной призмы
равна 
, а диагональ боковой грани равна 
. Найдите угол между плоскостью 
и плоскостью основания призмы. Решение.
Обозначим 
середину ребра 
(см. рисунок). Так как треугольник 
равносторонний, а треугольник – равнобедренный, отрезки 
и 
перпендикулярны . Следовательно, 
– линейный угол двугранного угла с гранями 
и 
.
Из треугольника 
найдём: 
.
Из треугольника 
найдём: 
.
Из треугольника 
найдём: 
И
скомый угол равен 
.
Ответ: .
Возможны другие формы записи ответа. Например:
А) 
;
Б) рад.
В) 
и т.п.
Возможны другие решения. Например, с использованием векторов или метода координат.
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ, или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
С3
Решите систему неравенств
Решение.
1. Неравенство 
запишем в виде 
. Относительно 
неравенство имеет вид: 
, откуда получаем: 
, 
.
Значит, 
, 
.
2. Второе неравенство системы определено при 
то есть при 
и 
.
При допустимых значениях переменной получаем: 
, 
, 
, 
, 
.
С учётом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы: 
.
3. Сравним 
и 
. Так как 
, то
, следовательно, 
.
Решение системы неравенств: 
.
Ответ: .
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | 3 |
| Для обоих неравенств системы обоснованно получены верные ответы, но не проведено обоснованного сравнения значений конечных точек найденных промежутков | 2 |
| Для одного из двух неравенств системы обоснованно получен верный ответ | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Комментарий. Если обоснованно получены оба ответа: и , после чего лишь сказано, но никак не обосновано, что , то такое решение оценивается в 2 балла.
С4
На стороне BA угла , равного 
, взята такая точка D, что 
и 
. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.Решение.
Центр O искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим P середину отрезка AD, Q – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC, E – точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC (см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой BC следует, что отрезки OA, OD и OQ равны радиусу R окружности.
Заметим, что точка 
не может лежать по ту же сторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от неё до точки A.
Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP = 2 и 
находим, что PE = 
.
Так как OA = R и 
, получаем: 
, следовательно, 
.
Из прямоугольного треугольника OQE, в котором 
, находим:
.
В результате получаем уравнение:
.
Возведём в квадрат обе части этого уравнения и приведём подобные члены. Получим уравнение R2 – 8R + 7 = 0, решая которое находим два корня: R1 = 1, R2 = 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка 
(см. рисунок б).
Ответ: 1 или 7.
Другое решение.
Пусть точка 
касания окружности с прямой лежит на луче 
(см. рисунок а). По теореме о касательной и секущей
,
откуда 
.
Пусть – точка пересечения луча 
и перпендикуляра к , проведённого через точку . Из прямоугольного треугольника 
находим:
, тогда 
и 
.
Таким образом, точка удалена от точек , и на одно и то же расстояние, равное 1. Следовательно, – центр искомой окружности, а её радиус равен 1.
Пусть теперь точка касания окружности с прямой лежит на продолжении за точку (см. рисунок б), а прямая, проходящая через точку перпендикулярно , пересекает прямую 
в точке , а окружность вторично – в точке 
. Тогда
Если 
– радиус окружности, то 
. По теореме о двух секущих 
, то есть 
, откуда находим, что 
.
Ответ: 1 или 7.
Возможны другие формы записи ответа. Например:
А) 1, 7;
Б) радиус окружности равен 7 или 1.
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины, или рассмотрены обе конфигурации, для которых получены значения искомой величины, неправильные из-за арифметических ошибок | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
С5
Найдите все значения 
, при каждом из которых наименьшее значение функции 
больше 1.
Решение.
1. Функция 
имеет вид:
a) при 
: 
, а её график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии 
;
б) при 
: 
, а её график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз.
Все возможные виды графика функции 
показаны на рисунках:
|
Рис. 1
Рис. 3 |
Рис. 2
Рис. 4 |
2. Наименьшее значение функция может принять только в точках 
или 
, а если 
– то в точке 
.
3. Наименьшее значение функции больше 1 тогда и только тогда, когда
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
