Дж.Хиллбурн, П.Джулич Микро-ЭВМ и микропроцессоры (1979) (1092080), страница 10
Текст из файла (страница 10)
3.2. Над целой частью числа производится ряд последовательных операций деления на основание 8. В приведенном выше примере целую часть числа Ф,„равную 443~в, преобразуем при помощи следующей процедуры: 443: 8 = 55 Остаток 3 (1,5Р) 55: 8=6 7 6: 8=0 6 (МВР) Записав остатки от наибольшей значащей цифры (МВР) к наименьшей (1.8Р), получим, что Лl в = 443гв = 673в Для перевода дробной части числа необходимо выполнить ряд последовательных операций умножения. В нашем примере дробная часть числа )УМ равная 0.15625~в, преобразуется следующим образом: 0.15625 х 8= 1.25000= 0.25000 Перенос 1 МВР 2 1.5Р 0.25000 х 8 = 2.00000 = 0.00000 Выписав цифры переноса от МБР к 1.8Р, найдем, что Ив=0 15625гв=0 12в Таким образом, в соответствии с уравнением (3.1) У=443 15625гв=673 12в ПЕРЕВОД ИЗ ДВОИЧНОИ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ Микро-ЭВМ оперируют двоичными числами.
Однако при двоичной записи больших чисел приходится заполнять много разрядов, что крайне утомительно и требует много времени. Поэтому для Системы счисления и,коды 69 более краткой записи двоичных чисел применяют другие системы счисления, из которых широкое распространение получила восьмеричная система. В связи с этим часто возникает необходимость перевода чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную. Три разряда двоичных чисел позволяют представить восемь комбинаций (от 000 до 111).
Поэтому 3-разрядные двоичные числа можно непосредственно заменять ~восьмеричными, что значительно упрощает перевод из одной системы,в другую. Для преобразования двоичного числа в восьмеричное целую часть двоичного числа разбивают на группы по три знака, считая слева от двоичной точки. На такие же группы разбивается дробная часть числа, но отсчет ведется вправо от двоичной точки. Далее каждая 3-значная группа заменяется восьмеричным эквивалентом. Описанный процесс продемонстрируем на примере перевода двоичного числа 11101110100.00!11101: 11. 101 110 100 .
001 1!1 01 (011) (010) 3 5 6 4 . 1 7 2 (МЯл) (1.ЯЭ) Таким образом, 11101110100.0011110!с=3564.172е. При формировании 3-разрядных групп может возникнуть необходимость дополнить нулями первую (МЗ)л) и последнюю ((.Я)) группы, как показано выше. В последней группе, например, 01, не является восьмеричной единицей. В данном случае 01 соответствует 010, или восьмеричной цифре 2. Процедура перевода из восьмеричной системы счисления в двоичную является обратной и легко реализуется путем замены каждой восьмеричной цифры ее 3-разрядным двоичным эквивалентом. ВОСЬМЕРИЧНОЕ СЛОЖЕНИЕ При выполнении сложения в восьмеричной системе счисления в каждой позиции, для которой сумма цифр превосходит семь, генерируется перенос.
Это иллюстрируется табл. 3.4, в которой представлена последовательность восьмеричных чисел. В данной последовательности перенос происходит на восьмом и шестнадцатом десятичных отсчетах. Рассмотрим пример восьмеричного сложения чисел 5273е и 6432е (рис. 3.7). В столбце 7 получим 3+2=5, а ~в столбце 2 7+3=8~с+2=10в+2=2+Перенос. Этот перенос показан над столбцом 3, т. е. в столбце 3 имеем 1+2+4=7. Далее, суммируя цифры столбца 4, находим 5+ 6=81и+3= !Ос+3 3+Перенос. 70 !лава 3 Х 3 о 1 1 угрей + 5 бас Перенос Погсргое слееаемел ПербЬе слагаемое Рис.
3.7. Пример восьмеричного сло- жении чисел. 1 д Тес Х сумма Перенос располагается над столбцом б. И наконец, суммирование в столбце 5 дает 1. Таким образом, получаем 5273в+ 6432в = 13725в Таблица 3.4 Васьмеричмыа счет песет ичиое несло Деснтнчное число Восьмеримим число Восьмеричное число ВОСЬМЕРИЧНОЕ ВЫЧИТАНИЕ При восьмеричном вычитании для каждой позиции, где цифра уменьшаемого меньше соответствующей цифры вычитаемого, требуется заем. В восьмеричной системе при заеме к разряду уменьшаемого добавляется число 8 (10в или 8!о), а из соседнего (левого) с уменьшаемым разряда вычитается единица. Пример восьмеричного вычитания показан на рис. 3.8 для разности восьмеричных чисел 46534 и 6714.
Для столбца 1 получаем 4 — 4=0, а для столбца 2 имеем 3 — 1=2. Вычитание для столбца 3 дает 5 — 7=5+ +ааем — 7=5+104 — 7=5+8!в — 7=6. Заем для данной позиции 0 ! 2 3 5 6 7 10 !1 12 13 14 15 16 !7 20 21 22 23 10 11 12 13 14 !5 !6 17 !5 19 Системы счисления и коды 71 5 3 г 1 35 ятЮ'5 3 4 В 714 Рис. 38. Пример восьмеричного аычитания чисел. 3 7 В г В Уменьшавмое Вычитаеягее Разность берется из столбца 4. Таким образом, цифра б столбца 4 заменяется на 6 — 1=5, что показано в верхней части столбца. Продолжая действия относительно столбца 4, имеем 5 — 6=5+заем — 6=5+1Оа — 6= =5+8го — 6=7. Как и в предыдущем случае, для данного столбца делаем заем из соседнего столбца б.
В результате 4 в столбце 5 заменяется на 3, а действие вычитания в данном столбце дает 3 †0. Таким образом, получаем 46534а 6714а = 37620а 3.4.ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Шестнадцатеричная система счисления, как и восьмеричная, часто используется при работе с микро-ЭВМ. Основанием системы является число 16, и для записи чисел используются шестнадцать знаков: цифры от 0 до 9 и буквы латинского алфавита от А до Р (последние служат для обозначения шестнадцатеричных цифр, эквивалентных десятичным числам от 10 до 15).
Рассматриваемую систему называют алфавитно-цифровой системой счисления, так как для записи здесь используются буквы и цифры. Последовательность счета для данной системы приведена ~в табл. 3.5. Поясним позиционный смысл системы счисления на примере шестнадцатеричного числа РЗР,С8„ Десятичный эквивалент этого числа получим из следующего выражения: (15 х16е)+ (3 х16')+ (13 х16ь)+(12 х16 ')+(8 х16 ') = =3901 78125га Шестнадцатеричная точка, как и в случае ранее описанных систем счисления, разделяет целую и дробную части числа. 72 Глава 3 таблица З.б Шсстнодцдтернчныа счет Десятячяое число Шестнядцет речное число Десятичное числа Десятнчное числа Шестнядцятерячяое число Шестнаддетернчнсе чнсло А В С О Е Р 10 11 12.
13 1О 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 '27 28 29 14 15 16 17 18 19 1А !В 1С !Э ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ Перевод чисел из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную можно выполнить при помощи описанного выше метода деления-умножения. Целую часть десятичного числа преобразуют путем выполнения последовательных операций деления на основание 16. В рассмотренном выше примере иад целой частью числа М,, равной 3901!о, выполняют следующие действия: 3901: 16=243 Остаток 13„=Р ((.ЬР) 243: 16=15 3 ф 15: 16=0 15то=Р (МЗР) Остатки записывают в виде последовательности от МЗР к 1.3Р.
Таким образом, А!1 = 3901!о = ВЗРдо Дробную часть числа переводят при помощи последовательных операций умножения на основание. В нашем примере Мр= =0.78125,о и преобразование осуществляется по следующей схеме: 0.78125 7с16=12.5=0.5 Перенос 12, =С (МВР) 0.5 х16=8.0=0 8 (1.5Р) Выписав шестнадцатеричные эквиваленты переноса от МЗР к 15Р, находим, что А(р=О 78125!о=О С8де Таким образом, из уравнения (3.1) имеем А!=3901 78125до=РЗР С8то Система счисяения и коды 73 ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОА СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ Для сокращенной записи двоичных чисел наряду с восьмеричной системой используется шестнадцатеричная. При двоичной записи для предста~пленяя шестнадцати комбинаций (от 0000 до 1111) необходимы четыре разряда.
Поэтому 4-разрядные двоичные числа можно непосредственно заменять шестнадцатеричныМ эквивалентом. Целую часть двоичного числа разбивают на груп|пы по четыре знака, считая слева от двоичной точки. Аналогичным' образом разбивают дробную часть, но счет ведется вправо от двоичной точки. Далее каждую такую группу заменяют ее шестнадцатеричным эквивалентом. Для двоичного числа 11010101000.!!110101!1 перевод выполняется следующим образом: !10 10!О 1000, 1111 0101 11 (0110) (1100) 6 А 8 . Г 5 С (М511) (1 Ю) Таким образом, 11010101000.111!01011!з=бА8.Р5С1в.
При формировании 4-значных групп может возникнуть необходимость дополнить нулями пер1вую (МЯЭ) и последнюю (150) группы, как показано выше. Наиболее интересна здесь последняя группа, где 11 не равно 3, а соответствует числу 1100 или шестнадцатеричному С.
Процедура перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную обратна описанной и легко выполняется путем замены каждой шестнадцатеричной цифры ее 4-значным двоичным эквивалентом. ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЕ СЛОЖЕНИЕ При шестнадцатеричном сложении в каждой позиции, для которой сумма соответствующих разрядов слагаемых превосходит 15тв или Г, генерируется перенос. Это можно, видеть на примере шестнадцатого отсчета в десятичной системе (табл. 3.5), что соответствует !О в шестнадцатеричной системе.
Рассмотрим шестнадцатеричное сложение чисел 8АЗбм и С271ы (рис. 3.9). Для столбца ! имеем 6+1=7, для столбца 2 3+7=А и для столбца 3 А+2=С. Суммируя данные столбца 4, получим 8+С=16,о+4=10м+4=4+) + перенос (перенос показан в верхней части столбца 5). Наконец, суммирование данных столбца 5 дает !. Таким образом, 8 АЗбтв + С 27 1 тв = 14СА 7тв 74 Глава 3 ВУ В'лч 7 Е Р Уменьшаемое — 1 С В 3 У Вычитаемое /7еренос Втаоое слееаемое /7оруое ссоеаемое 1 :,> ВАзВ + ос 71 1 Э Г В Ю Разность 14 С А 7 Сумма Рнс. 3.9. Пример шестнадцатеричного Рнс.
ЗЛО. Пример шестнадцатернч сложения чисел. ного вычнтання чисел. ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЕ ВЫЧИТАНИЕ 3.6. ЧИСЛА СО ЗНАКОМ И ОПЕРАЦИИ В ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ И ОБРАТНОМ КОДАХ Все системы счисления допускают использование как положительных, так и отрицательных чисел, для обозначения которых, как известно, применяют знаки плюс (+) илн минус ( — ). Число в таком обозначении называется числом со знаком. Поскольку ЭВМ построены на схемах двоичной логики и для представления двоичных состояний применяются символы 0 и 1, то эти же символы следует использовать и для обозначения знака числа.
Как правило, дополнительный разряд для представления знака числа, При шестнадцатеричном вычитании для каждой позиции, где содержимое разряда уменьшаемого меньше содержимого соответствующего разряда вычитаемого, требуется заем. В этом случае к цифре уменьшаемого добавляют шестнадцать единиц (10ш или 161о), а из соседнего (левого) с ней разряда вычитают единицу. Процедура вычитания для чисел ЗА76РИ и 1СВ39,а показана на рнс. 3.10, Для столбца ! имеем Р— 9=6, для столбца 2 6 — 3=3. Для столбца 3 получаем 7 — В=7+заем — В=7+10м — В=7+161о— — 11~о=С. Заем для данной позиции берем из А столбца 4. Тогда А заменяется на А — 1=9, что показано над столбцам 4. Продолжая действия относительно столбца 4, получим 9 — С=9+заем— — С=9+10ш — С=9+16,о — 12~о=Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
