Дж.Хиллбурн, П.Джулич Микро-ЭВМ и микропроцессоры (1979) (1092080), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Необходимо отметить, что если нет переполнения, то Си= Св+ь Рассмотрим случаи переполнения разрядной сетки. Переполнение может возникнуть только в том случае, когда оба числа имеют один и тот же знак. Возьмем сумму 5-разрядных чисел 12 и 14 (рис. 3.13,а). Эта сумма равна +26 и не может быть выражена 5-раэрядным двоичным числом в дополнительном коде.
В резуль. тате происходит переполнение и запятую, которую мы использовали для отделения цифровых разрядов от знакового, необходимо перенести на одну позицию влево, что показано на рисунке. Разряд переноса Сз+~ теперь включается в сумму. Заметим, что Сз и Си+1 не равны. Системы счисления и коды 81 0 1 1 Разрх ды переноса 0,1 100 +12 О, 1 1 1 0 +1тт 0,1 1 010 +Л .
-~ Ори переполнении запятая перемещается дпедо Разряды переноса -17 1 0 1,0!00 + 1,0010 -1б 1,0 0110 -д +б = -.тб дри переполнении запятая перемещается дледо Рнс. 3.13. Переполнение в арифметнческнх операцнях 12+ 14 1о) н — 12 — 14 1б), пронавоЛнммх в дополнительном коде. Теперь рассмотрим сумму чисел — !2 и — !4 (рис.
3.!3, б). Как и Ранее, содвРжнмое РазРЯда пеРеноса Сзе! необходимо включить в результат, а запятую перенести на одну позицию влево. Как н в предыдущем случае, Св и Сзе! не !равны. Таким образом, переполнение происходит только тогда, когда Св и Сз+! не равны. Ло. тически это выражается следующим образом: Переполнение= Сз!Т1Сз„ 6-719 Схема, реализующая сложение и вычитание в дополнительном коде, показана на рис. 3.14. В случае сложения сигнал на зажиме еСложить)Вычесть» и входной сигнал переноса сумматора С,„равны О.
Сигналы, подаваемые на зажимы Ве — В„!, проходят через вентили ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ без изменений, так как один нз входов каждого вентиля нулевой. Таким образом, при построении 32 Глава 3 '4 л-с 4о ао, ав Срмма иои раэиоеэоь йереоооиеиие Рис. 3 14. Сумматор/вычитатель чисел, представленных в дополнительном коде. суммы А+В любое переполнение генерируется вентилем ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ с входами Си и Сиам Для случая А — В сигнал на зажиме «Сложить/Вычесть» н входной сигнал переноса сумматора С,х равны 1.
Поэтому сигналы, поступающие на зажимы В,— В„ь инвертируются. В результате получаем обратный код числа — В. Добавление же С„=1 дает дополнительный код этого числа, суммируемый с А. Как н в случае сложения, Св и Си+1 генерируют любое переполнение. 3.6. ДВОИЧНО-ДЕСЯТИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КОДИРОВАНИЯ Для организации ЭВМ удобно использовать двоичную систему счисления. Однако для человека более привычными являются десятичные числа. В идеальном случае все машинные вычисления должны производиться над двоичными данными, а результаты выводиться на экран в десятичной системе.
Хотя перевод из двоичной системы счисления в десятичную н обратно осуществляется непосредственно, для этого необходимо выполнить сложный алгоритм. Во многих малых ЭВМ время, затрачиваемое на реализацию такого алгоритма, может значительно превысить время, требуюшееся на обработку данных. Рис 3.!5 иллюстрирует основные действия, которые необходимо выполнить для преобразования десятичного числа в двоичное, представленное в дополнительном коде, Системы счисления и коды 83 Десянтиное очное Рнс.
Зй5. Преобразование чисел в ЭВМ, и обратно. Прн большом объеме вычислений осуществление таких преобразований и работа с числами в дополнительном коде могут оказаться наиболее эффективными. Однако при малом объеме вычислений компромиссным решением является кодирование каждой десятичной цифры некоторым двоичным числом. Подобная система кодирования называется двоично-десятичной и сокращенно обозначается ВС!1 [2 — 61. При кодировании десятичная цифра представляется в виде комбинации двоичных знаков 0 и 1, при этом сохраняется ее десятичный вес.
Существует большое количество способов двоичного кодирования десятичных цифр. Поскольку кодируются десять цифр, для этого требуется не,менее четырех двоичных разрядов. Наиболее общим способом кодирования является представление каждой десятичной цифры при помощи ее 4-разрядного двоичного эквивалента. Например, цифра 5 эквивалентна двоичному числу 0101, а цифра 9— числу 1001. При данном способе кодирования десятичное число 59 представляется следующим образом: 5 9 десятичное число 0101 1001 двоичное представление Заметим, что двоичное представление каждой десятичной цифры может быть интерпретировано при помощи преобразования из двоичной системы в десятичную. Например, 0111=(0 Х2 )+(1 х2з)+ (1 х2')+ (1 х2е)=7 Так как каждый двоичный разряд имеет определенный вес (2', 2', 2з и т.
д.), то рассматриваемый код называют взвешенным кодом. В данном случае веса принимают значения 8, 4, 2, 1, позто- 6' 84 Глава 3 Таблица дэ Двоячво-десятдчкые коды Код веем Лесятячяое чвсло Код ве2! Код Грея Код с яебытяо» 3 0000 0001 0010 0011 О10О 1011 1100 1101 1110 1111 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1000 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 му этот код называют двоично-десятичным кодом 8421 131. В табл. 3.9 представлен код 8421, а также некоторые другие широко используемые двончно-десятичные коды. Отметим, что преобразование из двоично-десятичного кода в десятичную систему и обратно осуществляется довольно просто. Например, 010! 0000 1000 0011 двоичное представление 5 0 8 3 десятичное число В двоично-десятнчном коде из четырех двоичных разрядов можно составить шестнадцать комбинаций (0000 †11) и, следовательно, шесть комбинаций не используются.
В коде 8421 шесть последних комбинаций (1010 †!!11) являются запрещенными. Поскольку вес каждого разряда в данном коде такой же, как н в двоичной системе счисления, то этот код часто называют естественным двоично-десятичным или просто двончно-десятичным кодом. Рассмотрим сложение чисел 5 и 8 в двоично-десятичном коде (рис.
3.16). Обычное суммнрование чисел 5 и 8 в двоично-десятичном коде дает комбинацию ! 101 (двоичный эквивалент числа 13), которая в рассматриваемом коде является запрещенной. В десятичной системе перенос происходит при десятом отсчете, поэтому и в двоично-десятичном коде необходимо сгенерировать такой перенос. Так как для 4-разрядного двоичного числа перенос в старший разряд происходит на шестнадцатом отсчете, то добавление числа 6 (0110) к комбинациям 1010 — 1111 прн сложении. чисел в двоично-десятичном коде генерирует десятичный перенос, как показано на рис. 3.16. Из-за необходимости введения корректирующих факторов, подобных только что рассмотренному, схемы реализации . арифметических операций в.
двоично-десятичном коде Системы счисленил и коды 85 Ябоичнв-бесят, нпд чосли Х Ябоично - бесят. код числа б Ябоичнве предплобление числа лт Япбабление числа б Ябоичнв - десяв. нпд числа л) о~ о~ ~ооо о» о ооо~ ос~~ Рнс. 3.16. Сложение чисел 6 н 8 в двончно-десятнчном коде 8421. Ябпично — бесят. квд наели Л Дбвичнв -бесят.
кпд числа тУ Дбвичное лредсвадление числа лт Вычитание числа б Дбоичнп — бесят. код числа У ос~о ооо~ ~ооо ~оо~ оооо о~~о оооо ~оо~ Рнс. 3.17. Вычитание числа 19 на числа 28 в двончно-десятнчном коде 842!. сложнее двоичных схем и требуют большего времени на выполнение вычислений.
Предположим, мы хотим вычесть одно число из другого в двоично-десятичном коде. Если заем не нужен, то вычитание выполняется непосредственно н не требует введения никаких корректирующих факторов. Однако если производится заем, то необходима коррекция результата, что иллюстрирует рис. 3.17. Необходимость коррекции объясняется тем, что заем из пятого двоичного разряда имеет вес 16 вместо 10, требуемого для числа в двоичнодесятичном коде. Поэтому из результата следует вычесть дополнительно шесть единиц. Большинство семейств логических ИС располагает арифметическими устройствами, счетчиками, шифраторами и дешифраторами для работы с кодом 8421.
Другим взвешенным двоично-десятичным кодом является код 2'421, приведенный в табл. 3.9 [4). В этом коде наибольшему значащему разряду приписывается вес 2 вместо 8, а остальные разряды имеют веса 4, 2 н 1, как и в выше рассмотренном коде. В результате для каждой из цифр от 2 до 7 можно построить два представления. В упомянутой таблице 1веса подобраны таким образом, что цифры 0 — 4 начинаются с О, а цифры 5 — 9 — с 1.
В табл. 3.9 приведена еще одна разновидность двоично-десятичного кода — код с избытком 3 [51. Этот код не является взвешенным, так как отдельным двоичным разрядам представления десятичной цифры нельзя приписать фиксированный вес. Код с избытком 3 применяется в тех случаях, когда желательно получить дополнение до 9 (обратный код) однозначного десятичного числа, представленного при помощи данного кода.
Обратный код такого десятичного числа х задается следующим образом: Р(х)=х, х> О, (3.4а) ' =9 — !х(, х<0: (3.46) 86 Глава 3 В качестве примера использования кода с избытком 3 рассмотрим построение обратного кода десятичного числа — 4. Из (3.46) следует, что Р( — 4) =9 — 4=5. При другом способе получения этого результата используется свойство самодополняемости. В коде с избытком 3 имеем 0111=4. Дополнив до единицы каждый двоич.ный разряд, найдем 1000=5, что является обратным кодом десятичного числа — 4.
Таким образом, обратный код десятичного чис.ла получается путем дополнения каждого, разряда этого числа .в,коде с избытком 3. Обратный код десятичного числа аналогичен обратному коду двоичного числа, что очень удобно при выполне.нии десятичного вычитания. Подобное свойство самодополняемости существует и для кода 2'421, что может легко проверить читатель. Иевзвешенным кодом, имеющим большое значение, является также код Грея (рефлексный код) [3 — 6]. Из табл. 3.9 можно заключить, что при переходе от одного числа к другому изменяется один лишь двоичный разряд кода. Данный код часто применяется в некоторых преобразователях из аналоговой формы в цифро.вую, в частности в шифраторах углового положения, так как прн этом ошибки не превышают единицы. 3.7.
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ДЕСЯТИЧНЫМИ ЧИСЛАМИ СО ЗНАКОМ В ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ КОДЕ В обычной десятичной арифметике числа представляют в прямом коде (например, +47 или — 81). Однако, как и в случае двоичных чисел, десятичное число можно представить и в дополнительном коде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
