А.С.Косолапов, А.И.Сенин Методические указания к лабораторной работе Исследование согласованного фильтра (2009) (1092042)
Текст из файла
Московский государственный технический университетимени Н. Э. БауманаМетодические указанияА.С. Косолапов, А.И. СенинИССЛЕДОВАНИЕСОГЛАСОВАННОГО ФИЛЬТРАИздательство МГТУ им. Н. Э. БауманаМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаА.С. Косолапов, А.И. СенинИССЛЕДОВАНИЕСОГЛАСОВАННОГО ФИЛЬТРАМетодические указанияк лабораторной работе по курсу«Статистическая радиотехника»Под редакцией А.И.
СенинаМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана2009УДК 621.396ББК 32.84К715Рецензент Масленникова С.И.К715Косолапов А.С., Сенин А.И.Исследование согласованного фильтра: Метод. указанияк лабораторной работе по курсу «Статистическая радиотехника» / Под ред. А.И. Сенина – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009.
– 20 с.: ил.Описана лабораторная установка; изложены порядок выполненияработы и требования к отчету; приведены математические соотношения, необходимые для решения задачи синтеза оптимального фильтрав условиях действия аддитивной помехи; предложено домашнее задание для самостоятельной работы студентов.Для студентов, изучающих курс «Статистическая радиотехника».УДК 621.396ББК 32.84c МГТУ им.
Н.Э. Баумана, 2009Цель работы — ознакомление с принципом действия согласованного фильтра и исследование его помехоустойчивости.ЗАДАНИЕ1. Проработать теоретический материал по [1, 2] и методическим указаниям.2. Изучить функциональную схему лабораторной установки.3. Выполнить экспериментальную часть работы.4. Ответить на контрольные вопросы.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬОсновные теоретические сведенияИз теории оптимальных методов радиоприема известно, что вусловиях действия гауссовской помехи типа белого шума алгоритмработы оптимального приемника сводится к вычислению интеграла видаZT2u(t)s(t)dt,(1)q=N00где q — отношение сигнал/шум; N0 — односторонняя спектральнаяплотность мощности шума; t — время; Т — длительность сигнала;u(t) — принятый сигнал; s(t) — полезный сигнал.Интеграл (1) можно рассматривать как меру взаимной корреляции сигналов u(t) и s(t).
Чтобы реализовать выражение (1), используют корреляционный приемник. Интеграл (1) можно также3рассматривать как свертку сигнала u(t) с импульсной характеристикой некоторого фильтра. В этом случае необходимо использовать согласованный фильтр.Рассмотрим задачу синтеза оптимального фильтра в условияхдействия аддитивной помехи. Пусть принятый сигнал имеет видu(t) = s(t) + n(t),(2)где s(t) — полезный сигнал известной формы со спектральнойплотностью мощности Fs (j ω); n(t) — стационарный случайныйпроцесс со спектральной плотностью мощности Fn (ω). Здесь ω —частота; j — мнимая единица.Отыщем оптимальный фильтр в классе линейных фильтров.Сигнал на выходе фильтра с учетом принципа суперпозиции можно представить какuвых (t) = sвых (t) + nвых (t).(3)Найдем отношение ρ мощности полезного сигнала s2вых (t0 ) кмощности помехи σ2nвых на выходе фильтра в некоторый моментвремени t0 .
Полезная составляющая выходного сигнала имеет вид1sвых (t) =2πZ∞Ksвых (j ω)ej ωt dω =−∞1=2πZ∞K(j ω)Fs (j ω)ej ωt dω,(4)−∞где K(j ω) — комплексная частотная характеристика фильтра.Соответственно в момент времени t01sвых (t0 ) =2πZ∞K(j ω)Fs (j ω)ej ωt0 dω.(5)−∞Мощность помехи на выходе фильтраσ2nвых41=2πZ∞−∞1Fnвых (ω)dω =2πZ∞−∞|K(j ω)|2 Fn (ω)dω.(6)В (4) и (6) через Fsвых (j ω) и Fnвых (ω) обозначены спектральная плотность полезного сигнала и спектральная плотность мощности помехи на выходе фильтра.С учетом (5) и (6) выражение для ρ в момент времени t0 записывают как ∞2ZK(j ω)Fs (j ω)ej ωt0 d ωρ=2 (t )sвых10=2σnвых2π−∞Z∞−∞.(7)|K(j ω)| Fn ( ω)d ω2Известно, что при действии гауссовской помехи помехоустойчивость приема зависит только от отношения сигнал/помеха (чембольше значение ρ, тем выше помехоустойчивость приема).
Исходя из этого определим фильтр, который обеспечивал бы на выходемаксимальное отношение сигнал/помеха.Воспользуемся неравенством Буняковского — Шварца — Коши:2 ∞ZZ∞Z∞2A(ω)B(ω)dω 6|A(ω)| dω|B(ω)|2 dω, (8)−∞−∞−∞справедливым для любых функций A(ω) и B(ω), для которыхинтегралы в (8) имеют смысл.
Заметим, что неравенство (8) превращается в строгое равенство, еслиA(ω) = αB ∗ (ω),(9)где α — постоянная; B ∗ (ω) — функция, комплексно-сопряженнаяс B(ω). С учетом (8) можно записать ∞2ZK(j ω)Fs (j ω)ej ωt0 dω 6−∞6Z∞−∞|K(j ω)| Fn (ω)dω2Z∞−∞|Fs (j ω)|2dω. (10)Fn ( ω)5Используя (7) и (10), получаем1ρ62πZ∞−∞|Fs (j ω)|2dω.Fn ( ω)(11)С учетом (9) находим, что максимальное отношение сигнал/помехаZ∞ hi1ρmax =|Fs (j ω)|2 /Fn (ω) dω достигается при2π−∞K(j ω) = αe−j ωtoFs∗ (j ω),Fn ( ω)(12)где Fs∗ (j ω) — комплексно-сопряженный спектр сигнала.Таким образом, фильтр с комплексной частотной характеристикой, определяемой формулой (12), является наилучшим в класселинейных фильтров, а при гауссовских помехах также наилучшими в классе нелинейных фильтров.Из (12) следует, что коэффициент передачи фильтра зависитот отношения спектральной плотности сигнала к спектральнойплотности мощности помехи (коэффициент передачи тем больше,чем больше это отношение).
Следовательно, оптимальный фильтризбирательно пропускает те или иные частотные составляющие.Очевидно, что отношение сигнал/помеха будет тем больше, чемсильнее отличается спектр сигнала от спектра помехи.Рассмотрим случай, когда помеха представляет собой белыйшум с двухсторонней спектральной плотностью мощности N0 /2.В этом случае комплексная частотная характеристика оптимального фильтра описывается выражениемK(j ω) = αe−j ωt0Fs∗ (j ω)= ce−j ωt0 Fs∗ (j ω),N0 /2(13)где c — константа, а максимальное отношение сигнал/помеха —Z∞Z∞2E1|Fs (j ω)|21ρmax =|Fs (j ω)|2 dω =,dω =N0 /2πN02πN0−∞где Е — энергия сигнала.6−∞(14)Фильтр с характеристикой (13), оптимальный для помехи типа белого шума, называется согласованным.
Из (14) следует, чтомаксимальное отношение сигнал/помеха на выходе такого фильтра определяется только энергией сигнала и спектральной плотностью мощности помехи и не зависит от формы сигнала. Позначению это отношение совпадает с максимальным отношением сигнал/помеха на выходе корреляционного приемника. Отсюда,в частности, следует, что в условиях действия помехи типа белогошума помехоустойчивость корреляционного приемника и согласованного фильтра одинакова.Рассмотрим более подробно комплексную частотную характеристику согласованного фильтра. Представим спектральную плотность полезного сигнала в виде Fs (j ω) = |Fs (j ω)| ej ϕs (ω) , где|Fs (j ω)| и ϕs (ω) — амплитудный и фазовый спектры сигнала соответственно.ТогдаFs∗ (j ω) = |Fs (j ω)| e−j ϕs (ω) ,аK(j ω) = ce−j ωt0 |Fs (j ω)| e−j ϕs (ω) =В то же время= c |Fs (j ω)| e−j[ωt0 +ϕs (ω)] .(15)K(j ω) = |K(j ω)| ej ψ(ω) ,(16)|K(j ω)| = α |Fs (j ω)| ,(17)где |K(j ω)| — амплитудно-частотная характеристика фильтра;ψ(ω) — фазовая характеристика фильтра.Сравнивая (15) и (16), находимψ(ω) = −[ϕs (ω) + ωt0 ].(18)Из (17) следует, что амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра с точностью до постоянной совпадает с амплитудным спектром сигнала.Фазовая характеристика согласованного фильтра определяетсядвумя слагаемыми.
Первое из них (−ϕs (ω)) равно фазовому спектру сигнала, взятому с противоположным знаком. Его назначение7заключается в компенсации фазовых сдвигов различных составляющих сигнала. В результате в некоторый момент времени t = t0все составляющие выходного сигнала будут совпадать по фазе и,складываясь, давать максимум выходного сигнала. Если бы фазовая характеристика фильтра не компенсировала фазовые сдвигисоставляющих сигнала, то максимумы гармонических составляющих сигнала не совпадали бы во времени, а это привело бы куменьшению выходного напряжения.Второе слагаемое (−ωt0 ) обеспечивает задержку момента совпадения фаз составляющих сигнала на величину t0 .
Понятно, чтозначение t0 не может быть меньше длительности обрабатываемогосигнала.Напряжение на выходе согласованного фильтра описываетсявыражением1uвых (t) =2πZ∞Fsвых (j ω)ej ωt dω =−∞1=2π=c2πZ∞K(j ω)Fs (j ω)ej ωt dω =−∞Z∞Fs∗ (j ω)Fs (j ω)ej ωt e−j ωt0 dω =−∞c=2πZ∞−∞|Fs (j ω)|2 ej ω(t−t0 ) dω.
(19)Из (19) следует, что выходное напряжение определяется толькоамплитудным спектром сигнала и не зависит от фазового спектра.Это объясняется тем, что взаимные фазовые сдвиги составляющих сигнала скомпенсированы фазовой характеристикой фильтра.Максимальное значение напряжение uвых (t) принимает в моментвремени t = t0 .Еще раз подчеркнем, что значение t0 должно быть больше илиравно длительности сигнала, т. е.
максимум uвых (t) достигаетсятолько после обработки всего принятого сигнала.8Рассмотрим импульсную характеристику h(t) согласованногофильтра. Учитывая, что импульсная характеристика h(t) любогофильтра связана с комплексной частотной характеристикой K(j ω)преобразованием Фурье, находим1h(t) =2πZ∞K(j ω)ej ωt−∞=c2πcdω =2πZ∞−∞Z∞Fs∗ (j ω)ej ω(t−t0 ) dω =−∞Fs (j ω)ej ω(t0 −t) dω = cs(t0 − t). (20)Из (20) следует, что импульсная характеристика согласованногофильтра является зеркальным отображением сигнала s(t) относительно прямой t = t0 /2 (рис. 1).Рис.
1. Полезный сигнал s(t) и импульсная характеристика h(t)согласованного фильтраУчитывая условие физической реализуемости фильтра h(t) = 0при t < 0, обнаруживаем, чтопри t ≤ t0 s(t0 − t) = 0,при t > t0 s(t) = 0.(21)Условие (21) показывает, что значение t0 надо выбирать равнымили большим длительности сигнала tc . На практике обычно дляуменьшения задержки реакции фильтра берут t0 = tc .Найдем форму напряжения на выходе фильтра. Для этого воспользуемся интегралом Дюамеля:9uвых (t) =0где τ — время.С учетом (20) получаемuвых (t) = cZtZt0u(τ)h(t − τ)dτ,(22)u(τ)s(t0 − t + τ)dτ.(23)В момент времени t = t0uвых (t0 ) = cZt0u(τ)s(τ)dτ.(24)0Видно, что (24) совпадает по структуре с (1), т. е.
согласованный фильтр, как и корреляционный приемник, вычисляет взаимную корреляцию принятого и полезного сигналов. Если при корреляционном приеме копия ожидаемого сигнала вырабатывается наприемной стороне с помощью специального генератора, то при согласованной фильтрации информация о сигнале заключена в комплексной частотной характеристике.Если перенести начало отсчета времени в точку t = t0 , то изZt0(23) следует, что uвых (t0 ) = cu(τ)s(t0 + τ)dτ, т. е.
напряжение−t0на выходе согласованного фильтра в отсутствие помех совпадает скорреляционной функцией полезного сигнала.В заключение отметим, что согласованный фильтр в отличие откорреляционного приемника обладает свойством инвариантностиотносительно момента прихода сигнала. Фильтр, согласованныйс некоторым сигналом s(t), имеет импульсную характеристику,определяемую выражением (20). Очевидно, что этот же фильтрбудет согласованным с сигналом s(t − t1 ), сдвинутым по времениотносительно сигнала s(t) на время t1 .
Изменение времени прихода сигнала приводит только к смещению момента достижениявыходным сигналом его максимального значения.10Согласованный фильтр для М-сигналовФормирование М-сигналов. В последнее время в радиолокации и связи все более широко применяют сложные широкополосные сигналы. Одним из способов получения таких сигналовявляется изменение фазы высокочастотных колебаний по законуМ-последовательностей, строящихся, в свою очередь, на основелинейных рекуррентных последовательностей.Линейной рекуррентной последовательностью называетсяпериодическая последовательность символов x1 , x2 , . .
. , xn , . . . ,xi , . . . , xL , удовлетворяющая рекуррентному правилуα0 xi = α ⊕ α1 xi−1 ⊕ α2 xi−2 ⊕ . . . ⊕ αn xi−n ,(25)где ⊕ — операция суммирования по mod 2; символы последовательности и коэффициенты αi принимают значения из областиG(0, 1, . . .
, p − 1), а сложение и умножение производится по модулю р. Предполагается, что р есть простое число. Здесь число n —память последовательности, число р — основание последовательности, а наименьшее число L, при котором xL+i = xi — период,или длина последовательности. Коэффициент α в дальнейшем будем считать равным нулю.Соотношение (25) называется правилом кодирования. В случаедвоичной последовательности значения ее символов и коэффициентов αi равны либо единице, либо нулю, а суммирование ведетсяпо mod 2, которое определяется так: 0 ⊕ 0 = 0; 0 ⊕ 1 = 1; 1 ⊕ 0 = 1;1 ⊕ 1 = 0.Из определения линейной рекуррентной последовательностивытекает, что для ее построения необходимо знать первые n членов последовательности и правило кодирования (см.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
