А.С.Косолапов, А.И.Сенин Методические указания к лабораторной работе Исследование характеристик случайных сигналов (2009) (1092043)
Текст из файла
Московский государственный технический университетимени Н. Э. БауманаМетодические указанияА.С. Косолапов, А.И. СенинИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИКСЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВИздательство МГТУ им. Н. Э. БауманаМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаА.С. Косолапов, А.И. СенинИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИКСЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВМетодические указанияк лабораторной работе по курсу«Статистическая радиотехника»Под редакцией А.И. СенинаМоскваИздательство МГТУ им.
Н.Э. Баумана2009УДК 621.396ББК 32.84К715Рецензент Масленникова С.И.К715Косолапов А.С., Сенин А.И.Исследование характеристик случайных сигналов: Метод.указания к лабораторной работе по курсу «Статистическаярадиотехника» / Под ред. А.И.
Сенина – М.: Изд-во МГТУим. Н.Э. Баумана, 2009. – 16 с.: ил.Oписана лабораторная установка для исследования одномерной плотности вероятности случайного процесса; изложены порядок выполнения работы и требования к отчету; приведены необходимые математические соотношения; дана методика определения плотности вероятности на выходе нелинейного преобразователя.Для студентов, изучающих курс «Статистическая радиотехника».УДК 621.396ББК 32.84c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009Цель работы — исследование характеристик случайных сигналов (процессов) на выходе нелинейных неинерционных устройств.ЗАДАНИЕ1. Проработать теоретический материал по [1, 2] и методическим указаниям.2.
Изучить функциональную схему лабораторной установки.3. Выполнить экспериментальную часть работы.4. Ответить на контрольные вопросы.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬСлучайные процессыВ радиотехнике под случайным процессом понимают электрическую величину, изменяющуюся во времени случайным образом.В отличие от детерминированных процессов он характеризуетсятем, что его протекание во времени нельзя однозначно предсказать. Примером случайных процессов являются шумы в радиотехнических устройствах.Случайный процесс описывается случайной функцией ξ(t),значение которой в любой момент времени t представляет случайную величину с определенным законом распределения. Конкретное протекание случайного процесса (рис.
1) называетсяреализацией случайного процесса. Она описывается детерминированной функцией. Множество возможных реализаций совместно сзаконами, характеризующими это множество, и задают случайныйпроцесс.3Рис. 1. Реализация эргодического случайного процессаВероятностные характеристики случайного процессаДля описания основных свойств случайных процессов используют следующие вероятностные (статистические) характеристики:плотность вероятности (законы распределения), функцию распределения вероятности, характеристическую функцию и моментнуюфункцию [1].Одномерная функция распределения F (x1 , t1 ) определяет вероятность того, что случайный процесс ξ(t) в момент времени t1принимает значения ξ(t1 ) < x1 , т.
е. F (x1 , t1 ) = P {ξ(t1 ) < x1 }.Термин «одномерная» подчеркивает тот факт, что рассматриваются значения случайного процесса в один фиксированный моментвремени.Производная от функции распределения вероятностей∂F (x1 , t1 ), если она существует, называется одноW (x1 , t1 ) =∂x1мерной плотностью вероятности случайного процесса. ВеличинаW (x1 , t1 )dx1 равна вероятности того, что случайная величинаξ(t1 ) будет заключена в интервале x1 6 ξ(t1 ) < x1 + dx1 .Одномерные плотность вероятности и функция распределенияявляются важными, но не полными характеристиками случайного процесса. Они характеризуют процесс в отдельные, фиксированные моменты времени и не содержат информации о динамикеразвития процесса.Более полными характеристиками случайного процессаявляются двумерная функция распределения вероятностей4F2 (x1 , x2 ; t1 , t2 ) = P {ξ(t1 ) < x1 ; ξ(t2 ) < x2 } и двумерная плот∂2F2 (x1 , x2 ; t1 , t2 ),ность вероятности W2 (x1 , x2 ; t1 , t2 ) =∂x1 ∂x2которые описывают вероятностную связь между значениями процесса в два произвольных момента времени t1 и t2 .Наиболее полными характеристиками случайного процессаявляются n-мерная функция распределения вероятностейи n-мерная плотность вероятности.
Однако при решении рядазадач довольно часто используют другие, более простые характеристики. К ним относятся так называемые моментные функции.В общем виде n-мерную моментную функцию порядка ν == ν1 + ν2 + ... + νn определяют как математическое ожиданиепроизведения [ξ(t1 )] ν1 [ξ(t2 )] ν2 . . . [ξ(tn )] νn , т. е.M ν1 , ν2 , ..., νn (t1 , t2 , . . . , tn ) = M{[ξ(t1 )] ν1 [ξ(t2 )] ν2 .
. . [ξ(tn )] νn } =Z∞Z∞=...(x1ν1 , x2ν2 , . . . , xnνn )Wn (x1 , x2 , . . . , xn ;−∞−∞t1 , t2 , . . . , tn )dx1 dx2 . . . dxn .На практике наибольшее распространение получили:1) одномерная начальная моментная функция первого порядZ∞ка μ1 (t) =xW1 (x; t)dx = mx (t) — математическое ожидание−∞случайного процесса;2) одномерная центральная моментная функция второго поZ∞рядка μ2 (t) =[x − mx (t)]2 W1 (x; t)dx = Dx (t) — дисперсия−∞случайного процесса;3) двумерная центральная моментная функция второго поZ∞[x1 − mx (t1 )] [x2 − mx (t2 )] W2 (x1 , x2 ;рядка μ1, 2 (t1 , t2 ) =−∞t1 , t2 )dx1 dx2 = R ξ (t1 , t2 ) — корреляционная функция случайного процесса.Дисперсия характеризует разброс значений случайного процесса относительно среднего. Для электрических процессов она равна мощности случайного процесса, выделяемой на сопротивлении,5равном 1 Ом.
Корреляционная функция характеризует степень линейной статистической зависимости между значениями процесса,взятыми в два произвольныx момента времени.Стационарность и эргодичность случайных процессовСлучайный процесс называется стационарным, если его n-мерная плотность вероятности не зависит от сдвига начала отсчетавремени, т.
е.Wn (x1 , x2 , . . . , xn ; t1 , t2 , . . . , tn ) == Wn (x1 , x2 , . . . , xn ; t1 − τ, t2 − τ, . . . , tn − τ).Для таких процессовW2 (x1 , x2 ; t1 , t2 ) = W2 (x1 , x2 ; t2 − t1 );W1 (x1 ; t1 ) = W1 (x);m ξ (t) = m ξ = const;D ξ (t) = D ξ = const;R ξ (t1 , t2 ) = R ξ (t2 − t1 ) = R ξ (τ).Случайный процесс называется эргодическим, если любая еговероятностная характеристика, полученная усреднением по множеству реализаций с вероятностью, равной единице, совпадает ссоответствующей характеристикой, полученной из одной достаточно длинной реализации ξ(k) (t) временным усреднением. Длятаких процессов1m ξ = limT →∞ 2T1T →∞ 2TD ξ = lim1R ξ (τ) = limT →∞ 2TZT h−TZT−ThZT−Tξ(k) (t) − m ξξ(k) (t) − m ξ1W1 (x) = limΔx→0 TT →∞6ξ(k) (t)dt;ihi2dt;iξ(k) (t − τ) − m ξ dt;Tx.ΔxЗдесь T — длительность реализации; Tx — суммарная продолжительность нахождения значений реализации в интервале от x до(x + Δx) за время наблюдения T (см.
рис. 1).Нелинейные неинерционные преобразованияслучайных процессовСреди нелинейных преобразований случайных процессов наиболее простым является преобразование вида η(t) = ϕ [ξ(t)] , прикотором значение выходного случайного процесса η(t) в любоймомент времени t определяется только значением входного случайного процесса в тот же момент времени. Здесь ϕ(ξ) — некотораянелинейная функция.
Такое преобразование называется нелинейным неинерционным.Плотность вероятности процесса на выходе нелинейногонеинерционного устройства в случае, когда обратная функцияξ= ψ(η) является однозначной, находят как W (η) = W [ψ(η)] × d ψ( η ) . При k-значной обратной функции W (η) =× dη kX d ψi ( η) , где ψ (η)−i-я ветвь обратной функции.=W [ψi (η)] idη i=1При вычислении моментных функций случайного процесса навыходе нелинейного неинерционного устройства приходится прибегать к различным способам аппроксимации его характеристики.Часто используют полиномиальную и кусочно-линейную аппроксимации.При полиномиальной аппроксимации характеристику нелинейного устройства представляют в виде ряда Тейлора η = ϕ(ξ) == α0 + α1 (ξ−c)+α2 (ξ−c)2 +. . .+ αk +.
. .+ αn (ξ−c)n , где αk =k1 d ϕ( ξ) , c — константа. Функция ϕ(ξ) должна быть анали=k! d ξk ξ=cтической в окрестности точки ξ = c. Число членов ряда определяется точностью аппроксимации. При c = 0 ряд Тейлора переходитв ряд Маклорена.Моментную функцию порядка ν = ν1 + ν2 + .
. . + νnслучайногопроцессаη(t),описываемуювыражением7M ν1 , ν2 , ..., νn (t1 , t2 , . . . , tn ) = M{[ϕ(ξ1 )] ν1 [ϕ(ξ2 )] ν2 . . . [ϕ(ξn )] νn },находят заменой функций ϕ(ξi ), i = 1, 2, . . . , n рядами Тейлораили рядами Маклорена с последующим вычислением математических ожиданий. В частности, математическое ожидание выходногопроцесса находят как M η (t) = α0 + α1 M{ξ(t)}+ α2 M{ξ2 (t)}+. . .. . . + αn M{ξn (t)}.При кусочно-линейной аппроксимации используют сами нелинейные характеристики, а статическое усреднение осуществляютнепосредственно с плотностями вероятностей. При этом областиинтегрирования разбивают на ряд подобластей, в каждой из которых нелинейную функцию записывают в явном виде.На рис. 2 представлены характеристики нелинейных элементов.
Математическое ожидание случайного процесса на выходеодного из нелинейных устройств, например с характеристикой,Рис. 2. Характеристики нелинейных элементов:а – одностороннего ограничителя, б – двухстороннего ограничителя, в – полупроводникового диода, г – квантователя на два уровня, д – квантователя на четыреуровня8изображенной на рис. 2, б, определяют как m η =+Zβ−αsξW (ξ)dξ +Z∞Z−α−∞−сW1 (ξ)dξ+bW (ξ)dξ, где c, s, b — некоторые значения.βПример. На вход безынерционного ограничителя с характеристикой −с при ξ < −αsξ при −α 6 ξ 6 βη = ϕ(ξ) =при ξ > βbвоздействует стационарный гауссовский случайныйпроцессс1( ξ − m)2exp −. Опреплотностью вероятности W (ξ) = √2 σ22 πσделить плотность вероятности W (η) процесса η(t) на выходеограничителя при s > 0.Решение.
Все значения ξ > β преобразуются ограничителем в одно значение η = b, а все значения ξ < −α — в однозначение η = −с. Поэтому при η > b и η < −с плотностьвероятности W (η) = 0; при η = b W (η) = s1 δ(η − b); приη = −c W (η) = s2 δ(η + с).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
