Управление роботами и РТС (1089005), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

9.2):ixi y ri  i (xi,yi,zi,1)Tzi  1r.Обозначим черезi 1Ai0ri(9-10)координаты этой же точки относительно базовой системы координат. Матрицаобозначает матрицу преобразования однородных координат, определяющую пространственное поло-жение системы координат i-го звена относительно системы координат (i-1)-го звена, аделяющую связь между системой координат i-го звена и базовой системой координат.0Ai -матрицу, опре-7Рисунок 9.2.

ТочкаiriТогда связь междуi-го звена0riиiriопределяется соотношением:0гдеri 0Ai i ri ,(9-11)0 1i1AiA1A2...Ai.0(9-12)Если i-е сочленение – вращательное, то матрицаi 1Aiимеет вид:    coscossinai isiniisiniicosisincoscossincosasiniiiiiiii1A,(9-13)i0sincosdiii0010Если i-ое сочленение – поступательное, то матрицаi 1Aiимеет вид:coscossin0i isiniisinisincoscossincos0iiiiii1A.i0sincosdiii0010В общем все ненулевые элементы матрицы0Aiявляются функциями величинaj1,2, ...,i), причём в зависимости от типа j-го сочленения  jj((9-14)j , dj , j иилиdjпредставляет со-бой присоединенную переменную этого сочленения, а остальные величины – известны (задаются конструкцией манипулятора). В выводах уравнений движения, как вращательных, так и поступательных, использует-8ся обобщённые координатыqi , (qi   i , если i-е сочленение – вращательное и qi  d i , если i-есочленение – поступательное).Скорость точкиiriотносительно базовой системы координат (приiri  0 ):d0d0 ivv(r)(Aiiiri)dt dt01i1 i0 1i1 i0i10 i...irA...AAA...A...A1A2iri1A2iri1i i Airi.

(9-15)0i0i Aiiqrjiqj1j0 1 0 01 0 0 0Qi 0 0 0 00 0 0 00Частные произведение матрицы Ai по переменным d i легко вычисляется с помощью матрицыкоторая для вращательного сочленения имеет вид:,(9-16а)а для поступательного сочленения:.(9-16б)Используя эту матрицу, можно написать:i1i1(9-17)i.0 0 0 00 0 0 0Qi  0 0 0 10 0 0 0Qi ,AQAqiНапример, для манипулятора с вращательными сочленениямиимеем:qi   i . Используя равенство(9-13), sincoscossincosasin0100iiiiiii  i1coscossinsinsinacos1000д Aiiiiiii iдi 0 0 0 0 000di  0000 0 0 0 0coscossinsinsinacosiiiiiiii cosi cosi sini cosi ai sini sini1AiiQ0sinicosidi 0001Таким образом, дляi 1, 2,...,n901i2i1i1AA...AQA...A,еслиji;12j1jjiA(9-18)q0,еслиji.j0iПо смыслу равенство (9-18) описывает изменение положения точек i-го звена, вызванное движением в jм сочленении манипулятора.

Для упрощения формул введём обозначение UijдAq, с учетом которого равенство (9-18) можно представить для i1,2.n:00j1AQAji;j1ji, еслиUij0,еслиji.Используя введённое обозначение, формулу дляUi(9-19)можно записать в форме:iiUUqi i j jri.j1(9-20)Определяем величину, характеризующую эффект взаимодействия сочленений:0j1k1QAQikj;j1jk1k Ai, еслиA0k1i1QQijk;UAk1k Aj1j Ai, еслиijUi jk qk0,еслиij илиik.Например, для манипулятора вращательными сочленениями приимеем:(9-21)i  j k 1 и qi   iU011  0(Q)QQ.1A111A11 1 ДИНАМИКА МАНИПУЛЯТОРА.Пространственные движения робота во времени, где робот представляет собой систему звеньев.Основная задача динамики – это математическое описание связей между действующими на манипуляторысилами и моментами (причины) и параметрами движения звеньев (следствия).Модель динамики робота – это дифференциальные уравнения, в которых время представлено в явном виде,а параметры движения звеньев описываются с помощью фазовых координат/положений, скоростей, ускорений и других производных более высокого порядка.Динамика определяет устойчивость и качество движения робота.Преобразование динамических параметров.10Последовательная кинематическая цепь из пятого класса (вращательные и поступательные звенья).Y33Y2YoY4X32X44rcX21Y10FNMX1XoN систем координат Oi Xi Yi ZiO0 X0 Y0 Z0O1 X1 Y1 Z1………………….ON XN YN ZNЦентр масс звена rci, к которому приложена сила веса Gi, к центру схвата rcN приложены внешняя сила F имомент M.В основе дифференциального динамического уравнения лежит второй закон Ньютона.Вывод уравнений динамики манипулятора.Динамическая модель манипулятора может быть построена на основе законов Ньютоновой илиЛагранжевой механики.Второй закон Ньютона связывает силы и ускорения для массы:F = m·aгде F – сила (причина), приложенная к массе ma – ускорение (следствие), движение массы под действием силы F. Если во втором законе Ньютона время представить в явном виде, то получим математическоеописание динамики в виде дифференциального уравнения. Методы описания:1.

Второй закон Ньютона.2. Уравнение Лагранжа второго рода.3. Принцип Даламбера.4. Принцип наименьшего принуждения Гаусса.Принцип стационарного действия Гамильтона.Вывод уравнений динамики на основе уравнений Лагранжа и Рода.Система с голономными связями и степенями свободыd d dL Ldt dq'kdqkFkk = 1, …, nгде dL/dq`k и dL/dqk – это частные производные;L = кинетическая – потенциальная энергия; qk –обобщенная координата положения; q`k – обобщенная координата скорости; Fk – обобщенная сила.Кинетическая энергия манипулятора с грузом.Элемент энергии для элемента массы dmi dki = 0.5·(ri)2dmi.

Радиус вектор точки ri = Ti·rii, где Ti – матрицаперехода к инерциальной системе. Частная производная матрицы Ti:UijdГidqiГ1 Г2 ...ГiФ11Отсюда элемент энергии равенdki = 0.5·Tr(Гi`·rii·rii·T·Гi`T)dmiПолная кинетическая энергия i-го звена:ki = ∫dki = 0.5·Tr(Гi`·(∫rii·rii·Tdmi)Г`T)Матрица инерции звена Hi = ∫rii·rii·TdmiКинетическая энергия звена ki = 0.5·Tr(Гi`·Hi·Гi`T)Полная кинетическая энергия манипулятора с грузом:N2 1kTTr Г'iHiГ'i i 1Элементы матрицы инерции манипулятора:Hi =∫(x1ii)2dmi∫(x2ii·x1ii)dmi∫(x3ii·x1ii)dmi∫x1iidmi∫(x1ii·x2ii)dmi∫(x2ii)2dmi∫(x3ii·x2ii)dmi∫x2iidmi∫(x1ii·x3ii)dmi∫(x2ii·x3ii)dmi∫(x3ii)2dmi∫x3iidmi∫x1iidmi∫(x1ii)2dmi∫(xi1i)2dmimiКинетическая энергия с учетом частной производной матрицы перехода к инерциальной системеUij = дГi/дqj = Г1·Г2·…·Гi·Ф.Потенциальная энергия маниNNii1T  пулятора:kkii 12  i 1 j  1 k 1 Tr UijHiUik  q'jq'k NПi 1 m gT Г  r ii ci  iЛагранжиан L = K – ПL12Nii   Tr U  H  U T   q'  q'    ij i ik  j ki1 j 1 k 1Ni1 m  gT  Г  r ii ci  iУравнение Лагранжа dd dL Ldt dq'kdqkk = 1, …, nгде dL/dq`k и dL/dqk – это частные производныеУравнение движения звена манипулятора.fd d d LL dt dq'i dqiNj  Tr U  H  U T  q''  где dL/dq`i и dL/dqi – это частные производfi – усилие, развиваемое при  ik i ji  k ные;водом i-го звена; qi – вектор обобщеннойкоординаты положения звена;NjiNq``k – вектор обобщенного усTj Tr U  H  U   q'  q'   m  g U  r корения; q`k – вектор обобщен  jkm i ji  k m j ji jной скорости; Ujk – частнаяj i k 1 m1j iпроизводная матрицы переходак инерциальной системе; Hj – матрица инерции звена; mj – масса звена; g – ускорение силы тяжести.Если мы опишем эти все составные элементы уравнения, то мы получим реальное передвижение звеньевробота.  j i k 'Fk12Введем обозначения.nDikj  max ( i k)T i, k = 1, 2, …, nTr Ujk Hj Uji  – это матрица массо-инерционных характеристик звена.n= 1,2,…,n– это вектор кориолисовых и центробежныхсил.nci m g U j  r  i ji j hikmj  max ( i k m)T i, m, kTr UjkmHj Uji i = 1, 2, …, n– это вектор гравитационных сил.jinnn– оно бывает однородное и неодноfiDikq''k hikmq'k q'm  ciродное.

Однородная – это, когда налевую часть не приложены силы,k1k1 m1т.е. f(t) = 0, оно описывает собственное движение системы.f ( t) D( q ( t) ) q''( t)  h( g( t) ) q'( t)  c ( q ( t) )Если f(t) ≠ 0, то это будет неоднородное уравнение. Тогда одна часть отвечает за собственное движение, а вторая отвечает за приложеннуюсистему сил.   Динамические коэффициенты дифференциального уравнения манипулятора.Dik – коэффициент, определяющий связь сил и моментов привода с обобщенными координатамиускорения.При i = k – связь момента в i-ом шарнире с ускорением i-ой координаты.При i <> k – связь возникающего момента в i-ом шарнире под действием ускорения k-ой координаты. Hikm – коэффициент, определяющий связь сил и моментов в шарнирах с обобщеннымикоординатами скорости.При k = m – связь угловой скорости в k-ом шарнире с порождаемой центробежной силой в i-ом шарнире.При k <> m – связь угловых скоростей в k-ом и m-ом шарнирах с порождаемой кориолисовой силой в i-омшарнире. Ci – коэффициент, учитывающий действующую на каждое звено силу тяжести.Преимущества метода Ньютона-Эйлера.Время вычисления рекуррентных…Уравнения динамики манипулятора на основе принципа наименьшего принуждения Гаусса.В отличие от уравнений Лагранжа принцип Гаусса позволяет вывести уравнения динамики как дляголономных, так и неголономных систем.Принуждением является величина.р = 1, …, N.Nfp  1fp  Где rp – радиус-вектор материальной точ r'' m p  r'' p   r'' p 2mm p  ки в инерциальной системе координат; mpp– масса; fp – активные действующие наp1точку силы; rp`` - ускорение; φr`` - прину-ждение.Принцип Гаусса ( я его стер, тк там 5 страниц непойми чего)Сравнение вычислительной производительности при решении уравнений динамики манипулятора.Сравнение разных методов удобно вести по числу потребных вычислительных операций на ЭВС, реализующих вычисления в реальном времени.13Время расчета уравнений динамики связано с резонансной частотой привода манипулятора, которая составляет 10 Гц, поэтому расчет модели динамики надо производить с частотой не менее 50 Гц, или каждые 20мили секунд.Если взять старые процессоры: 10-битовый процессор с арифметическим процессором выполняет операциюсложения или умножения за 0.1 мили секунд, следовательно за 20 мили секунд.

Такой процессор может обработать 200 операций сложения или умножения с плавающей запятой.Критерий сравнения разных методов – расчет полной модели динамики за 200 операций сложения или умножения.Приведем сравнение трех методов: Метод Канна-Уикера (уравнения Лагранжа) Метод Хастона-Кейна (уравнения Ньютона-Эйлера) Комбинированного метода (обобщенные уравнения Даламбера)Метод Канна-Уикера.Впервые уравнения Лагранжа были применены для роботов американцами Канном и Уикером.Особенности метода: Использование матриц однородных координат Начала связанных систем координат находятся в узлах звеньев, ось z-вдоль оси вращения илипродольного движения. Использование энергетических соотношений кинетической и потенциальной энергии. Решение в виде дифференциального уравнения в замкнутой форме.Вычислительная эффективность метода: Из-за описания уравнений с помощью матриц однородных координат (4х4) метод имеет низкуювычислительную эффективность.Метод Хастона-Кейна.Уравнения Ньютона-Эйлера были использованы с целью повышения вычислительной эффективности уравнения динамики манипулятора.Особенности метода: Использования связанных координат вместо однородных. Векторная форма записи уравнений. Использование принципа Даламбера. Начала связанных систем координат расположены в центре масс звена, а оси систем координат – понаправлениям уравнений.Вычислительная эффективность метода: Благодаря матрицам 3х3 достигнуты значительные преимущества по сравнению с методомЛагранжа. Зависимость от порядка уравнений доведена до значения (n2). После усовершенствования.Комбинированный метод.Уравнения Ньютона-Эйлера были использованы, как и в методе Хастона-Кейна с целью повышения вычислительной эффективности уравнения динамики манипулятора, но для вывода уравнений вычислялись кинетическая и потенциальная энергия как в методе Лагранжа.Особенности метода: Использование связанных координат вместо однородных Векторная форма записи уравнений Использование энергетических соотношений Решение в виде замкнутой системы дифференциальных уравнений.Результаты сравнения методов.Число операций умноженияУравнения ЛагранжаУравненияНьютона –ЭйлераОбобщенные уравнения Даламбера128/3·n4 + 512/3·n3+ 739n2 + 160/3·n132·n13/6·n3 + 105/2·n2+ 268/3·n + 6914Число операций сложения98/3·n4 + 78/6·n3 +559/3·n2 + 245/6·nКинематикаМатрица 4х4 однородных координатДинамикиЗамкнутая системадифференциальныхуравнений111·n – 4Матрицы поворота 3х3 ивекторы положенияОбратныерекуррентныеуравения4/3·n3 + 44·n2 +146/3·n + 45Матрицы поворота3х3 и векторы пложенияЗамкнутая системадифференциальныхуравнений3.

Характеристики

Список файлов учебной работы