Управление роботами и РТС (1089005), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Сферическая система координат. Допускает единственный сдвиг вдоль радиуса сферы при наличии вращений. Удобна для описания роботов, имеющих в соединении звеньев шаровой шарнир.Преобразование координат. Абсолютная или базовая система координат наглядно отображает геометрию, таким образом, как еевидит наблюдатель. Связанная система координат отображает приращение координат относительно осей связаннойсистемы. При наличии нескольких звеньев и нескольких, связанных с ними системами координат значениякоординат точек в связанной системе не совпадают с соответствующими значениями координат этихже точек в абсолютной системе координат. Преобразование системы координат позволяет находить по координатам заданной точки в связаннойсистеме координат этой точки в базовой системе (Обратное так же справедливо).Преобразование координат на плоскости.Преобразование координат из одной системы в другую физическую соответствующую процессусовмещения таких систем координат. На плоскости совместить связанные системы с базовой можно за 3 движения: 1 поворот и 2 сдвига. Поворот связанной системы вокруг начала координат угол α параллельно осей связанной и базовойсистем. Сдвиг связанной системы вдоль оси Y на расстояние OY1O до полного совпадения связанной ибазовой систем.Координаты точки «А». В связанной системе.A(((X’AO1·cosα + Y’AO1·sinα) + OX1O),((Y’AO1·cosα – X’AO1·sinα) + OY1O)) В базовой системе.A(X0AO, Y0AO)Преобразование координат в пространстве.Правила преобразования в декартовой системе координат. Поворот вокруг оси zo на угол Θi до параллельности оси xo с осью x1. Сдвиг вдоль оси zo на расстояние di до совмещения оси xo с осью x1. Сдвиг вдоль оси x1 на расстояние ai до совмещения начала координат. Поворот вокруг оси x1 на угол αi до полного совпадения системы координат.Правила преобразования в цилиндрической системе координат. Поворот вокруг оси zo на угол αi до параллельности оси xo с осью x1. Сдвиг вдоль оси zo на расстояние di до совмещения оси xo с осью x1. Сдвиг вдоль оси xo на расстояние ri до начала координат.Правила преобразования в сферической системе координат. Сдвиг вдоль оси zo на расстояние ri до совмещения начала координат. Поворот вокруг оси yo на угол βi до попадания оси xo в плоскости x1y1. Поворот вокруг оси zo на угол αi до совпадения систем координат.1.2.3.Матричный метод описания кинематики роботов.От условий установки угла манипулятора мы можем в определенную позицию поставить робота.

Поэтому намнеобходимо рассматривать различные системы координат и делать выбор между ними и в соответствии проводить преобразования одной в другую для нашего удобства.Уравнение проективных преобразований координат при совмещении разных систем координат удобнопредставлять с помощью матриц. Матрицы дают наглядный способ записи формул. Операции с матрицами удобны для численных расчетов. Матрицы единообразно позволяют анализировать кинематику как замкнутых, так и разомкнутыхкинематических цепей. В эквивалентном пространстве движения описываются линейным преобразованием вида:y = Ux + b(x,y)где y – координаты нового положения.x – координаты прежнего положения.U – ортогональная матрица поворота 3х3.b – вектор параллельного переноса 3х3.Элементарные матрицы поворота. Координаты точки «Р» при поворотеP(x, y, z) = RP(U, V, W) или P(xi-1, yi-1, zi-1) = RP(xi, yi, zi)где R – элементарная матрица поворота, ее мы берем из пунктов написанных ниже:Поворот вокруг оси «Х» на угол αzRx,α =αxyПоворот вокруг оси «Y» на угол φ1000Cos αSin α0-Sin αCos αzRy,φ =φxCos φ0-Sin φ010Sin φ0Cos αyПоворот вокруг оси «Z» на угол ΘzyΘRz,Θ =Cos ΘSin Θ0-Sin ΘCos Θ0001xЭлементарная матрица параллельного сдвига.Координата точки «Р» при сдвиге:P(xi-1, yi-1, zi-1) = SP(xi, yi, zi)где S – элементарная матрица сдвига; на самом деле это вектор.dxS=dydzЕдинообразно можно описать все проективные операции с помощью однородных координат.Однородные координаты. Обычные декартовы координаты в пространстве.x = (x1, x2, x3) Однородные координаты.R = (r1, r2, r3, r4), такие что: r12 + r22 + r32 + r42 ≠ 0 (r1, r2, r3, r4) ≡ (λr1, λr2, λr3, λr4), для всех λ ≠ 0 Связь однородных и декартовых координат.r4 ≠ 0x1 = r1/r4x2 = r2/r4x3 = r3/r4(r1, r2, r3, r4) ≡ (r1/r4, r2/r4, r3/r4, 1) ≡ (x1, x2, x3, 1) = R/r4Благодаря введению четвертой координаты однородные координаты единообразно описываются все операции впроективном пространстве (повороты, сдвиги, локальные растяжения, изменения глобального масштаба).Основные операции над векторами в однородных координатах.4.5.6.7.8.9.Сложение и вычислениеСкалярное произведениеВекторное умножениеУмножение на скаляр λДлина вектораЗадание плоскости10.

Линейные преобразования задаются произведением матрицы 4х4.11. Вращение:0Aвр =U00000 1где U – здесь описывается поворот, это квадратная матрица 3х3.При вращении, начала координат остается на месте, а элементы матрицы U, являющимися направляющимикосинусами осей старой системы координат по осям новой системы координат.12. Сдвиги:Aсд =Eb000 1где Е – единичная матрица 3х3.b = (b1, b2, b3)T трехмерный вектор.13. Обратное преобразование.UT-UTbA-1 =000 1где А-1 – матрица обратного однородного преобразования.В кинематических задачах для роботов наибольший интерес представляют вращения и параллельные сдвиги,поэтому однородные координаты эффективно используются в задачах кинематики.Общая матрица преобразования в однородных координатах.R3x3P3x1Т=поворотсдвигпреобразов.перспективыпреобразов.масштаба=f1x31x1Преобразование перспективы характерны для компьютерной графики и системы автоматического проектирования.

Для роботов f1x3 = (0, 0, 0).Преобразование масштаба отсутствует в роботах -| x | = 1Для кинематики роботов играет значение 1-ая строка матрицы Т.Матрицы вращения. Вокруг оси Х на угол α1000Cos α-Sin αТх,α =0Sin αCos α000 Вокруг оси Y на угол φCos φ0Sin φ010Тх,φ =-Sin φ0Cos α000 Вокруг оси Z на угол ΘCos Θ-Sin Θ0Sin ΘCos Θ0Тх,Θ =0010002.

Матрицы сдвига.100dxТсдв =010dy1.000100010001001dz0001Если есть сдвиги то в последнем столбце в элементах dx, dy, dz будут присутствовать свои значения.3. Матрицы преобразования перспективы (локального растяжения).a 0 0 0xax0 b 0 0yby*=0 0 c 0zcz0 0 0 111Матрицы глобального масштабирования1 0 0 0xx0 1 0 0yy*=0 0 1 0zz0 0 0 s1sгде s – это значение изменения масштаба.4.Кинематика: прямая и обратная задачиАнализ кинематики робота сводится к исследованию геометрии манипулятора в виде векторного уравнения:x = F(q), где х – декартовы координаты манипулятора. ( в частности, схвата); q – обобщенные координаты (углыв шарнирах или перемещения).F(q) – функция связи координат.При известных обобщенных координат q может определить неизвестные декартовы координаты x, и, наоборот.При известных декартовых координатах можно определить неизвестные обобщенные координаты – прямые иобратные задачи кинематики.В робототехнике, есть две основные задачи кинематики:прямая и обратная.Рассмотрим эти задачи на стандартном примере манипулятора.Прямая задача — это вычисление положения (X, Y, Z) рабочего органа манипулятора по его кинематической схеме и заданной ориентации (A1, A2… An)его звеньев (n — число степеней свободы манипулятора, A — углы поворота).Обратная задача — это вычисление углов (A1, A2… An) по заданному положению (X, Y, Z) рабочего органа иопять же известной схеме его кинематики.Т.о., решение прямой задачи говорит — где будет находиться рабочий орган манипулятора, при заданных углахего суставов, а обратная задача, наоборот, говорит: как нужно «вывернуться» манипулятору, чтобы его рабочийорган оказался в заданном положении.Очевидно, что более распространённой и важной является именно обратная задача кинематики.Но нужно иметь в виду, что эта задача редко может быть решена однозначно.Дело в том, что хотя для углов (A1, A2, ..., An) всегда существует ЕДИНСТВЕННОЕ положение (X, Y, Z) рабочего органа, но не факт, что для положения (X, Y, Z) отыщется такая же единственная комбинация углов (A1,A2, ..., An).Скорее всего, достичь заданного положения (X, Y, Z) возможно и при другой комбинации углов (A1', A2', ...,An').При решении обратной задачи аналитически, эта неоднозначность проявляется в явном виде (например, черезквадратные корни).Рассмотрим пример прямой задачи кинематики.у нас есть манипулятор, способный работать только в одной плоскости и имеющий два сустава.Первый сустав L1 закреплён на основании и повёрнут на угол Q1,второй сустав L2, крепится к концу первого сустава и повёрнут относительно него на угол Q2.Рабочий орган манипулятора находится на конце второго сустава.Прямая задача кинематики состоит в нахождении координат рабочего органа (x, y) по заданным L1, L2, Q1, Q2.L1 и L2 — это, соответственно, длины плеча и локтя манипулятора; определены конструкцией манипулятора.Решение:здесь, мы имеем две системы отсчёта — первая, связанная с точкой крепления плеча L1 — O, а вторая — с началом координат в точке крепления локтя — A.Найдём смещение второй системы относительно первой (координаты точки A в системе отсчёта O):XA = L1*cos(Q1)YA = L1*sin(Q1)Координаты (x, y) в системе отсчёта локтя:x'' = L2*cos(Q2)y'' = L2*sin(Q2)По рисунку видно, что в системе O, локоть L2 повёрнут относительно плеча на Q1+Q2:x' = L2*cos(Q1+Q2)y' = L2*sin(Q1+Q2)т.о.:x = XA + x' = L1*cos(Q1) + L2*cos(Q1+Q2)y = YA + y' = L1*sin(Q1) + L2*sin(Q1+Q2)Теперь, рассмотрим пример обратной задачи кинематики.тот же рисунок, но теперь нужно найти такие углы Q1 и Q2, которые позволят манипулятору с плечом L1 илоктем L2 поместить рабочий орган в заданную точку (x, y)Проведём прямую B, соединяющую начало координат O с заданной точкой (x, y).B^2 = x^2 + y^2x = B*cos(q1)y = B*sin(q1)q1 — угол между осью OX и прямой Bq2 — угол между прямой B и плечом L1отсюда:Q1 = q1 - q2q1 = arccos( x/B ) или q1 = arctg( y/x ), а q2 находим при помощи теоремы косинусов, которая говорит:Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом alpha, противолежащим стороне a, справедливо соотношение:a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos(alpha)в нашем случае, по теореме косинусов:L2^2 = B^2 + L1^2 - 2*B*L1*cos(q2)=> q2 = arccos( L1^2 - L2^2 + B^2 / 2*B*L1 )Q1 = q1 - q2 = arccos( x/B ) - arccos( L1^2 - L2^2 + B^2 / 2*B*L1 )по той же теореме косинусов найдём угол Q2:как видно по рисунку, угол Q2 равен 180 — угол OAxВ^2 = L1^2 + L2^2 - 2*L1*L2*cos(PI - Q2)Q2 = PI - arccos( L1^2 + L2^2 - B^2 / 2*L1*L2 )Очевидно, что руку можно расположить и по-другому:формулы для Q1 и Q2 не изменятся, но изменятся знаки углов:Q1 = q1 + q2а Q2 нужно брать с противоположным знаком.1Методы решения задач кинематики.Прямая задача кинематики устанавливает связь однородных координат точки, соответствующиесхвату робота, связанной со схватом системе координат однородными координатами этой точки вабсолютной системе координат, при известных углах и сдвигах звеньев робота. Такая связь обеспечивается матрицами преобразования координат.Pi-1 = i-1Ai·Piгде Pi – координаты схвата в i-ой связанной точке.Pi-1 – координаты схвата в (i – 1) системе.i-1Ai – матрица преобразования от i-ой к (i – 1) системе. При наличии нескольких звеньев матрица преобразования получается путем последовательногоперемножения матриц для отдельных звеньев.0Ti = 0A1·1A2·…·i-1Ai =i AjTij1 Операция умножения матриц некоммутативна (результат зависит от перестановкисомножителей), поэтому имеет значение порядок перемножения матриц звеньев.Общее правило умножения матриц.Переместить можно матрицы, у которых для А·В = С число столбцов А равно числу строк В, приэтом результирующая матрица С имеет число строк как у А и число столбцов как у В.Аmxn·Bnxp = Cmxp Нахождение элементов результирующей матрицы Сmxp.nCij aikbkjk1Суммируется произведения элементов i-ой строки.Пример умножения матриц.Матрица перехода от системы координат OXYZ к системе O1X1Y1Z1 сдвигом на «b» относительноY1 и поворотом на α относительно X.10001 0 0 0 00Cos α-Sin α00 1 0 0 bT = Тхα1·TbY12 =·=0Sin αCos α00 0 1 0 000010 0 0 0 110000Cos α-Sin αb·Cosα=0Sin αCos αb·Sinα0001Порядок перемножения матриц.Если подвижная система координат O1X1Y1Z1 совершает поворот/сдвиг относительно системыOXYZ, то однородную матрицу предыдущего преобразования надо умножить слева на матрицуэтого поворота/сдвига.Если подвижная система координат O1X1Y1Z1 совершает поворот/сдвиг относительно одной изсобственных осей, то однородную матрицу предыдущего преобразования надо умножить справа наматрицу этого поворота/сдвига.Проверка результата умножения матриц. Приведем матрицу к более удобному виду:С = А·В2C11C21C31C41C12C22C32C42C13C23C33C43C14C24C34C44=1000Cij = Σajk·bkj =a11a21a31a41a12a22a32a420Cos αSin α0a13a23a33a43a14a24a34a440-Sin αCos α00001b11b21b31b41··1000b12b22b32b420100b13b23b33b430010b14b24b34b4400000b01=10000Cos α-Sin αb·Cosα=0Sin αCos αb·Sinα0001С11 = (а11·b11) + (a12·b21) + (a13·b31) + (a14·b41) = 1+0+0+0 = 1С12 = (а11·b12) + (a12·b22) + (a13·b32) + (a14·b42) = 0+0+0+0 = 0И так далее.Параметры манипулятора РМ-01 (PUMA).Шарнир iΘiαiaidi12345690090000-90090-909000431,8 мм-20,32 мм0000149,09 мм0433,07 мм056,25 ммПределы изменения-160 ± 160-225 ± 45-45 ± 225-110 ± 170-100 ± 100-226 ± 226Обычно манипулятор в начальном положении, находится в вытянутом состоянии.

Характеристики

Список файлов учебной работы