Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

NOK(q_k; k=)=u ]b(x)=ua(x) – с целыми коэффициентами, т.е. Z[x].

NOD=v ]c(x)=b(x)=a(x) a(x), c(x) – ассоциированные.

=1 c(x) – примитивный, т.е. a(x) ассоциативный с ним примитивный с(х).

2. Докажем единственность: ] два таких многочлена: a(x)==; c(x), c'(x) – примитивные многочлены с целыми коэффициентами c'(x)=

c'(x)=; c(x)= c_k'=wc_k, wQ. w=, (α,β)=1; βc_k'=αc_k, k.

NOD(c_k'β;k=)=β=β

¦ ¦

NOD(c_kα; k=)=αNOD(c_k; k=)=α

α=β, (α,β)=1 (α,β)=1=α=β w==1 c'(x)=c(x) ч.т.д.

Лемма: ]a(x), b(x) – примитивные многочлены с целыми коэффициентами (старший коэффициент >0) их произведение – примитивный многочлен, т.е. a(x), b(x) – примитивные многочлены a(x)b(x) – примитивный многочлен.

Доказательство: a(x)b(x)=. Покажем, сто для произвольного р – простого найдется с_к : р†с_к.

] p – простой, т.к. а(х) – примитивный a_k : p†a_k: s={k : a_k не?0 (mod p)} p|a₀,…,p|a_s-1,p†a_s; b(x) : t={k : b_k не?0 (mod p)} p|b₀,…,p|b_t-1,p†b_t c_s+t=a₀b_s+t+a₁b_s+t-1+…+a_s-1b_t+1+a_sb_t+a_s+1b_t-1+…+a_s+tb₀, где только a_sb_t не делится на p с_s+t=a_sb_t (mod p), а a_sb_t не=0(mod p), т.е. p†a_sb_t p†c_s+tc(x) – примитивный. ч.т.д.

Теорема: a(x)?0 над полем Q – неприводим ассоциированный с ним многочлен над кольцом Z – неприводим.

Доказательство: от противного

"" ] a(x) – приводим a(x)=b(x)c(x) над Q примитивный. ] b*(x) – ассоциативный с b(x), c*(x) – примитивный ассоциативный с c(x); b*(x)c*(x) – примитивный многочлен (по лемме). b*(x)=ub(x); c*(x)=vc(x); u,vQ b*(x)c*(x)=uvb(x)c(x)= =uva(x), т.е. b*(x)c*(x) – ассоциативный с a(x) и примитивный b*(x)c*(x) – определен однозначно, т.е. b*(x)c*(x)=a*(x) – с целыми коэффициентами a*(x) – приводим над кольцом Z.

"" a*(x) – примитивный ассоциативный с a(x) – приводим. a*(x)=b(x)c(x) над Z.

a*(x)=ua(x), uQ. a(x)= c(x) a(x) – приводим. ч.т.д.

Теорема: ] a(x)?0 с целыми коэффициентами, примитивный р – простой, из приводимости а(х) в кольце Z его приводимость по mod p;

a(x)=; ZZp, если a_ka_k(mod p).

Доказательство: a(x)=b(x)c(x) над Z a(x)= b(x)c(x) (mod p), а примитивность, чтобы имело смысл, т.е. a(x) не?0 (mod p)

Следствие: ] a(x) – многочлен над Z. Если р – простое : многочлен a(x) по (mod p) неприводим, то он неприводим над кольцом Z (т.е. отрицание формулировки теоремы).

Пример: x¹⁹⁹⁸+2x⁷⁰⁰+12x¹⁹+1999x+2001 – неприводим, т.к. (x¹⁹⁹⁸+x+1)(mod 2) неприводим по таблице.

Теорема(Признак Эйзенштейна):]a(x) с целыми коэффициентами:a(x)= ] р – простое : p²†a₀,p|a₁,…,p|a_n-1,p†a_n a(x) – неприводим над Z.

Доказательство: от противного : пусть а(х) – приводим, т.е. a(x)=b(x)c(x), т.к. p†a_n s : p†c_s, t : p†b_t. b(x)=, c(x)=, т.к. a_n=b_mc_l. Выберем min m, min l с таким свойством : s': p|c₀,…,p|c_s'-1,p†c_s'; t': p|b₀,…,p|b_t'-1,p†b_t'. a_s'+t'=b₀c_s'+t'+b₁c_s'+t'-1+…+b_t'-1c_s'+1+b_t'c_s'+b_t'+1c_s'-1+…+b_s'+t'c₀ a_s'+t'=b_t'c_s' (mod p) не=0 (mod p) s'+t'=n, т.к. только р†a_n s'=l, t'=m, т.к. a_n=b_mc_l.

b(x) : p|b₀,p|b₁,…,p|b_m-1,p†b_m; c(x) : p|c₀,p|c₁,…,p|c_l-1,p†c_l. a₀=b₀c₀ p²|a₀.

Следствие: Над полем Q неприводимые многочлены -ой степени (их -ое число).

Доказательство: По "признаку Эйзенштейна": xⁿ-p, n1, p – простое- неприводимое, т.к. a₀=p, a₁=…=a_n-1=0, a_n=1, а -ое, т.к. множество р – бесконечно. ч.т.д.

Доказательство (свойства производной многочлена): a(x)=, a'(x)=.

1. (a(x)+b(x))'=a'(x)+b'(x). Доказательство: (a(x)+b(x))'=ч.т.д.

2. (a(x)b(x))'=a(x)b'(x)+a'(x)b(x). Доказательство: (a(x)b(x))'=(). a(x)b'(x)+a'(x)b(x)=(j+1)a_j+1, т.к. ] i-1=j ={ ] t=k+1}={ ] k=i-t t=i-k}

Задача: Обратный элемент в кольце многочленов: . -? a(x)^-1(x+1)= 1 (mod (x³+x-1)) f(x)u+a(x)v=1;

=x²-x+2 с остатком –3. 1) x³+x-1=(x²-x+2)(x+1)-3 v₁ - ?

v₀=1, v₁=-q₁=-x²+x-2

Проверка: (-x²+x-2)(x+1)=-x³+x²-2x-x²+x-2=-x³-x-2

=-1 с остатком –3=2 в GF(5). f(x)u+a(x)v=-3.

(x²)^-1 - ?

=x с остатком 11) x³+x-1=x^.x²+x-1; =x+1 с ост. 1 2) (x+1)(x-1)+1 v₂-? v₀=1, v₁=-q₁=-x, v₂=v₀-q₂v₁=1+(x+1)x=x²+x+1x²= 1(mod(x³+x-1)) Проверка: (x²+x+1)x²=x⁴+x³+x². =x+1 с остатком 1 (верно).

Задача: GF(3)[x], a(x)=(x⁴+x+2), b(x)=(x²-x-1). Представить их NOD в виде линейной комбинации.

Решение: =x²+x+2 с остатком 4x+4=x+1.

1) x⁴+x+2=(x²+x+2)(x²-x-1)+(x+1); 2) x²+x+1=(x-2)(x+1)+.

u₀=0, u₁=1, u₂=u₀-q₂u₁=0-(x-2)=2-x;

v₀=1, v₁=-q₁=-(x²+x+2), v₂=v₀-q₂v₁=1+(x²+x+2)(x-2)=1+x³+x²+2x-2x²-2x-4=x³-x²-= =x³-x²

u(x)a(X)+v(x)b(x)=1

(2-x)(x⁴+x+2)+(x³-x)(x²-x-1)=1, 2x⁴-x⁵+2x-x²+4-2x+x⁵-x⁴-x⁴+x³-x³+x²=4=1 (mod 3). Верно.

Задача: Дан многочлен 15-ой степени над полем GF(3): a(x)=x¹⁵+2x⁹+x⁵+x+1. Могут ли быть у этого многочлена кратные корни?

Решение: 1. a'(x)=15x¹⁴+18x⁸+5x⁴+1=2x⁴+1

2. NOD(a(x),a'(x)) - ?

1. =0.5x¹¹+0.5x⁷+x⁵+0.5x³ с остатком x³+x+1 (т.к. деление на 2 – это изменение знака).

1. =2x с остатком –2x²-2x+1=x²+x+1

1. =x-1 с остатком x+2

1. =x-1 с остатком 3=0 x+2 из 3) – NOD, его корень x=-2=1.

Задача: x⁶⁶+x³⁸+x¹⁴+x²+1; GF(2). Есть ли кратные корни?

66x⁶⁵+38x³⁷+14x¹³+2x=a'(x)=0 NOD(a(x),a'(x))=a(x) ?, но если есть корни, то они кратные, а в GF(2)={0,1}, где 0 – не корень, 1 – не корень корней нет.

Задача: Являются ли многочлены над различными полями неприводимыми?

1. (x³+x+1) над GF(5). Многочлен deg<4 – неприводим, если нет корней

1. (x⁶+2x³+1) над GF(3). x₀=-1 приводим.

!Если NOD(a_x,a'_x)=a_x, то делитель многочлена является кратным.

(x⁶+3x²+15) над полем Q[x]. Признак Эйзенштейна: р=3 неприводим.

2) – противоречит тому, что Р – поле, следовательно наше предположение о том, что Р=n₁ n₂ – ошибочно, значит Р – простое число.

Опр.: Пусть Р – поле следовательно множество Q P – подполе Р, если Q P и Q – поле.

Пример: Q < R < C

Опр.: Поле называется простым, если оно не содержит собственных подполей, т.е. если Q<P значит Q=P (более простых полей, чем Р в нем нет).

Теорема: В каждом поле существует, причем единственное, простое подполе.

Доказательство:

1) Пусть char P=0, e P

Пусть Q<P. Тогда рассмотрим множество Q*=Q\0 – множество ненулевых элементов подполя Q – это мультипликативная группа, а Q* P*. Тогда Q*<P*, а е – подгруппа Q* совпадает с е в Р*, т.к. ab^-1 Q*; пусть a Q*, b=a и е=аа^-1 Q*, т.е. е Q* - единица принадлежит подполю Qэ{0,e}, а т.к. Qэe , то 2e, 3e, … Q – в силу замкнутости по сложению. а т.к. (Q,+) – группа, то -е, -2е, -3е, … Q n \0, (ne)^-1 Q – существование обратного по умножению m , n \0, (me)(ne)^-1= e Q – в силу замкнутости по умножению

Вывод: если char P=0, то { e Q P, m , n \0}=P₀, т.е. если Q – подполе, то P₀ Q, для Q<P.

Теперь покажем, что Р₀ – поле:

1. = операции сложения и умножения замкнуты

2. ассоциативность, коммутативность следуют из ассоциативности, коммутативности Р

3. дистрибутивность

4. обратное по сложению

5. обратное по умножению

Р₀ – поле.

Покажем, что Р₀ – простое поле: Пусть существует Q'<P₀, а по доказанному P₀<Q' следовательно Q'=P₀ ч.т.д.

Замечание: из доказательства следует, что простое подполе поля с характеристикой равной нулю изоморфно полю рациональных чисел, т.к. { Q P, m , n \0}=P₀ (е – опускаем).

2) Пусть char P=Р

а) т.к. Q<P значит e Q (было доказано выше), следовательно е,2е,…,(р-1)е, ре=0, следовательно {0, e, 2e, …, (p-1)e}=P₀

Рассмотрим Z_p: пусть : P₀ Z_p

(a,e)=[a]_p – взаимно однозначное отображение

(ae be)= (ae) (be), где

следовательно P₀ Z_p (т.е. изоморфны), значит т.к. Р₀ - поле, т.к. Z_p – поле.

б) Р₀ – простое, т.к. Q' P₀ и P₀ Q' следовательно Q'=P₀ ч.т.д.

Теорема: Пусть P – конечное поле, тогда существует Р : ord = -1; (ord - по умножению в мультипликативной группе Р*).

Опр.: В конечном поле элемент с таким свойством называется примитивным

Т.е. в конечном поле существует примитивный элемент, где 0, ¹, ², …, ^|P|-1 – все различные элементы поля Р

{В абелевой группе существует : ord =expG}

expG=min{t : G, ^t=e}

1) expP*=|P|-1

expP*/|P*|=|P|-1

Пусть expP*<|P|-1 следовательно X^expP*-1=0 – это уравнение имеет в поле Р (|P|-1)-решений, т.е. ненулевой элемент в поле – решение. противоречие: решений > степени уравнения (что противоречит теореме Безу) expP*<|P|-1

2) P* - абелева группа, значит существует : ord =expP*

Из 1) и 2) следует утверждение теоремы.

10

Характеристики

Список файлов лекций