06 Глава 4 (8-11) (1084728), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Общее число опытов т в мат­рице планирования полного фак­торного эксперимента равно т = 2n, (4.76) где n — число факторов. В случае линейного полинома для нахождения коэффициентоврегрессии можно уменьшить количество опытов, воспользовавшись методом дробных реплик, которые представляют собой часть матрицы полного факторного эксперимента (например, 1/2, 11/4 часть и т. д.). Так, чтобы найти коэффициенты регрессии уравнени

необходимо провести восемь опытов согласно матрице планирования полного трехфакторного эксперимента. Однако их можно найти и при уменьшении количества опытов до четырех, реализовать половину матрицы, поскольку план трехфакторного эксперимента представ­ляется в форме куба, параметры которого полностью определены, если зафиксирована диагональная плоскость и вершины куба, ле­жащие на ней (рис. 4.14), В этом случае основу матрицы составляет матрица двухфакторного эксперимента, а варьирование третьего фактора соответствует произведению x1x2 (табл. 4.18).

Это преобразование допустимо, если коэффициент регрессии а121 незначим или равен нулю; в противном случае определяют сумму коэффициентов регрессии а12+ а3.

Такое планирование эксперимента, когда некоторые факторы приравнивают к произведению нескольких факторов, называется планированием со смешиванием. Его обозначают 2n~p, где л — число факторов; р — число факторов, приравниваемых к произведениям. Например, описанное выше планирование (табл. 4.18) обозначают 23-11

При ортогональном ЦКП количество опытов определяют по формуле

где 2л — количество опытов, образующих полный факторный эксперимент при определении линейного полинома; 2л—число так назы­ваемых «звездных» точек в факторном пространстве, имеющих коор­динаты (а,0,0...; 0±а,0...0; 0,0+...+а) Здесь величина а называется звездным плечом. С учетом сказанного матрица ортогонального ЦКП для двух фак­торов выглядит так (табл. 4.20).

В принятой матрице «О» показывает, что значение гi принимается в начале координат (рис. 4.14). Коэффициенты регрессии в этом слу­чае вычисляют с помощью формул:

где j—номер опыта; i, n—номера факторов.

Для расчета оценки дисперсий в определении коэффициентов регрессии используют следующие выражения:

Коэффициенты а0, ai аiu значимы, если выполняется условие (4.75). Адекватность полученного уравнения регрессии проверяется с помощью критерия Фишера. Вследствие громоздкости вычис­ления по этим формулам целесо­образно проводить с помощью ЭВМ.

В пределах трехфакторного эксперимента вычисления можно производить и вручную:

Таблица 4.21

где с и т — коэффициенты, кото­рые сведены в табл. 4.21.

Последняя соответствует толь­ко второй серии опытов плана эксперимента (рис. 4.13). Если выполняется вторая серия опытов по плану трехфактор­ного эксперимента, то значение коэффициентов с и т определяется из табл. 4.22. При проведении опытов с четырьмя и более факторами для вы­числения коэффициентов полинома по формулам (4.81) — (4.84) необходимо использовать ЭВМ. С учетом изложенного последовательность оптимального плани­рования эксперимента сводится к следующему.

1. Выбирают из л действующих в системе факторов наиболее важные Z1, Z2, ...,Zi, ..., Zn.

2. Устанавливают пределы измерений выбранных факторов Ztmin и Zirnax, вычисляют основной уровень Z0i и интервал варьирования Аzi;, заменяют переменные Zi на кодированные Xi.

3. Находят комбинации факторов zi,, при которых будет изучать­ся заданная система.

4. Разрабатывают методику измерения выбранных факторов, определяют погрешности и число повторений в каждой из выбран­ных комбинаций факторов.

Таблица 4.22

5. Измеряют объем эксперимента, чтобы установить исследуемые величины и вычислить по экспериментальным данным коэффициенты регрессии изучаемой зависимости, а также ее адекватность.

6. Проводят эксперимент, одновременно корректируя его с уче­том полученных данных в ходе эксперимента. Если линейная мо­дель не согласуется с экспериментом, то проводят опыты в «звезд­ных» точках.

7. Определяют уравнение регрессии, проверяют его адекват­ность, анализируют и делают соответствующие выводы.

Пример. Необходимо исследовать изменение прочности мелкозернистого бе­тона в зависимости от состава и водоцементного отношения. Состав бетона из­менялся от П/Ц = 1,5 до П/Ц = 3,5, водоцементное отношение — от В\Ц = 0,4 до В/Ц=0,.

Обусловливают основные характеристики плана экспери­мента (табл. 4.23).

Таблица 4.23

Кодированные переменные

2. Проверяют применяемость линейного полинома: ур = a0+ + а1x1+ a2x2+ a12x12. Для ведения эксперимента применяют план, приведенный на рис. 4.13, составляют рабочую таблицу планирова­ния и в соответствии с ней проверяют эксперимент, результаты кото­рого записывают в табл. 4.24.

Таблица 4.24

3. Находят коэффициенты линейного полинома: ao=1/4(410+ + 416 + 88 + 306) = 920/4 =230; а1 = 1/4(—410+116—306 + 88) = = —512/4 = —128; a2 = 1/4(—410 — 116 + 306 + 88) = —132/4 = —33; a12 = 1/4 (+410 — 116 — 306 + 88) = 76/4 = 19. Следовательно, Ур = 230 — 128x1 — 33x2 + 19x1x2. Коэффициент a12 значим, им пренебрегать нельзя.

4. Контрольный эксперимент в точке X1 = О, Х2 = 0 показал, что уэ = .175 кг/см2, что почти на 25% меньше величины ур = аО. Значит, искомая зависимость не может быть описана линейным полиномом. Продолжают эксперимент, представив исследуемую зависимость в виде квадратного полинома у = a0 + а1x1+ а2 x2 +a11x1 2 +a22 x22 +a12 x1x2.

5. Проводят опыты в 6, 7, 8, 9 точках (рис. 4.13). Для этого составляют новую рабочую таблицу, в которую заносят данные измерений в 1—5 точках (табл. 4.25).

6. С помощью формулы (4.89) и табл. 4.21 определяют коэф­фициенты регрессии: a0 = 1/9 (—410 — 116 — 88 — 306 + 5 • 175 +2•161 +20187+2•101+2•350)=1553/9=172; а1=1/6-(—410+ + 116—88—306+ 101— 350)=761/6=—127; а2=-1/6(—410— —116+88+306+161 —187)=158/6 =—26; а11 = 1/6(88 + 116+ 306+410-2. 175+2. 161-2. 187 + 101 + 350) = 325/6 = 54; a22(88 + 116 +306 +410—2 • 175— 161 + 187—2. 101 -2 • 350) = 16/6 = 2.8; a 12 = 1/4(410- 116-306 + 88) = 19.

Коэффициент a22 незначим, им можно пренебречь. Следовательно, имеем полином у 1 =172 — 127x1 — 26x2 +54x1 2 + 19x1x2.

Таблица 4.25

7. По формуле (4.60) вычислим оценку дисперсии адекватности: Da=1/(9-6)/(ll2 +l02 +22+42+32+122+ II2 +22+32)=528/3= 176. огласно данным эксперимента Dcp = 256; критерий Фишера K0 256/176 = 1,44 < Кфт.

Таким образом, полученный полином адекватно характеризует искомую зависимость. Этот полином можно перевести в физиче­ские (натуральные) значения факторов в/ц и п/ц : Rо=172

Важное место в теории планирования эксперимента занимают вопросы оптимизации исследуемых процессов или свойств многоком­понентных систем. Качество процесса обычно характеризуется не­сколькими функциями отклика. Как правило, нельзя найти такое сочетание значений влияющих факторов, при котором одновременно достигается экстремум всех функций отклика. Например, макси­мальная производительность экскаватора и минимальная стоимость копания грунта достигается при различных режимах работы экска­ватора. Критерием оптимальности может быть лишь одна из функций отклика, характеризующих процесс. Оптимизацию процессов обычно осуществляют в условиях огра­ничений на влияющие факторы и исследуемые функции отклика, поскольку как факторы, так и функции могут изменяться только в определенных границах. Покажем, как можно использовать результаты полного фактор­ного эксперимента для оптимизации процесса методом крутого вос­хождения или наискорейшего спуска. Допустим, что в некоторой окрестности точки гi с координатами Z1 и Z2 исследуемая функция отклика, характеризующая процесс, описывается полиномом у=a0+ а1x1 а2x2 а12х1x2. Один из факторов, выраженный в физических величинах, прини­мают за базовый, например, х1. Вычисляют для него произведение a1 z1 где а1— коэффициент регрессии; z1— интервал варьирова­ния первого фактора. Далее для базового фактора выбирают шаг движения z01, с которым планируется оптимизация. Обычно z1> > z1. После этого определяют

Характеристики

Список файлов книги