06 Глава 4 (8-11) (1084728), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Критерий Пирсона — наиболее широко применяемый критерий, особенно при больших статистических измерениях.
Пусть имеем большую выборку N измерений. Разбиваем статистические измерения на т разрядов, в которых х1—х2, Х3—х4, х5—X6, и т. д. По данным измерений в каждом разделе оказалось уэ измерений. Так, в диапазоне х1—х2 имеется уэ1 измерений (частота); в xз—x4 —Уэ2 измерений и т. д. Очевидно Eуэi N. Строят экспериментальную кривую частот по у3i f(x) или —г f(x). Эту кривую можно аппроксимировать различной теоретической кривой — законом Пуассона, Вейбула, биномиальным, показательным, логарифмическим, нормальным и др. Для теоретической кривой нетрудно установить соответственно частоты ymi.
Р(x2 q) > а = 1 —Ф(х). (4.62)
Здесь а 1 — Ф(х) — уровень значимости, обычно принимаемый
равным 0,01; y2 — критерий согласия Пирсона; q — число степеней свободы, равное
q = т — s, (4.63)
где т — количество групп (серий, разрядов) большой выборки или число измерений в одной серии при анализе односерийного эксперимента; s — коэффициент, принимаемый в зависимости от у.
Значение x2 вычисляют по формуле
Уэi, У mi— количество измерений (частота) в каждой группе серий соответственно по данным эксперимента и по теоретической кривой. В табл. (4.13) приведены значения вероятности р (x22, q) закона Пирсона.
Таблица 4.13
Пример. Произведено 250 измерений некоторой величины лxi, N 250. Экспериментальные данные у3i разбиты на семь групп. Результаты измерений нанесли на сетку в прямоугольных координатах. Кривая близка к закону нормального распределения. В качестве аппроксимирующей принята кривая нормального распределения, по которой установлены теоретические частоты:
Необходимо установить степень соответствия экспериментальных данных гипотезе.
Согласно формуле (4.64) вычисляем критерий согласия X2 =
Критерий Романовского
Здесь число степеней свободы q вычисляют с помощью (4.63). Адекватность удовлетворяется при Кр < 3. Для рассмотрен-
2,56—5
ного примера 2 Кр = ----—— < о, т. е. адекватность удовлетворяется.
Критерий Колмогорова Кк применяется для оценки адекватности при большей статистической выборке N.
Чтобы определить этот критерий, статистическую кривую частот преобразовывают в статистическую интегральную функцию. Находят наибольшую разность частот между экспериментальной статистической интегральной кривой и соответствующей теоретической интегральной кривой:
Do = max E Уэi — E gmi)' (4.66) Затем вычисляют величину
Л = Do yn. (4.67)
По значению Л (табл. 4.14) находят вероятность p(A) = 1 —k{A) Таблица 4.14
Адекватность удовлетворяется, если P(A) > 0,05.
Пример. Пусть выполнено 200 измерений. Результаты расчетов, необходимых для оценки сходимости теории с экспериментом, приведены в табл. 4.15.
Анализ последней графы табл. 4.15 показал, что наибольшее значение разности оказалось при xi = 5—Do = 0,032. Следовательно, Х = 0,028 /200=0,43.
Таблица 4.15
Для A = 0,40 по табл. 4.14 необходим 1 — k (A) = 0,9926 > 0,05. Таким образом, адекватность удовлетворяется, т. е. экспериментальные данные подтверждают теоретические разработки.
§ 10. Основные принципы оптимального планирования эксперимента
Основным из традиционных методов экспериментального исследования является определение требуемых зависимостей при изменении одного фактора и постоянстве остальных (однофакторный эксперимент). Так, прочность бетона зависит от многих факторов, главными из которых являются активность цемента, водоцементное отношение, количество песка, щебня и т. д. Обычно же изучают зависимость прочности бетона от одного из этих факторов, например активности цемента, затем водоцементного отношения и т. д. При таком методе устанавливается степень влияния каждого переменного фактора в отдельности на исследуемое явление или объект. В отличие от традиционных форм выполнения экспериментов в последние годы все чаще применяются методы математического планирования, позволяющие одновременно изучать влияние ряда факторов (многофакторный эксперимент). Они основаны на математической теории эксперимента, которая определяет условия оптимального проведения исследования, в том числе и при неполном знании физической сущности явления. Для этого можно использовать математический аппарат не только на стадии обработки результатов измерений. как было раньше, но также при подготовке и проведении опытов. Математические методы планирования эксперимента являются методами системного анализа. Они позволяют исследовать и оптимизировать сложные системы и процессы, обеспечивая высокую эффективность эксперимента и точность определения исследуемых факторов. Планирование позволяет построить оптимальную стратегию исследования, обеспечивающую наибольшую эффективность минимума затрат.
Среди методов математического планирования широко распространен метод полного факторного эксперимента. Он представляет систему опытов, содержащих все возможные неповторяющиеся комбинации выбранных факторов в заданных уровнях их варьирования. Этот метод позволяет одновременно изучать влияние многих факторов на исследуемый процесс и дает возможность получить полином n-и степени (функцию отклика) для математического описания исследуемого процесса в некоторой локальной области многофакторного пространства, лежащего в окрестности выбранной точки с координатами (zo1, Zo2, ..., zоn). Полученную функцию отклика можно использовать также для оптимизации процессов, т. е. определять параметры, при которых явление или процесс будет протекать наиболее эффективно.
Метод полного факторного эксперимента основан на положении о том, что исследуемую непрерывную функцию у = f{z1, z2, ..., zn), имеющую все производные в заданной точке с координатами Zo1, zо2, ......, z0n, можно разложить в ряд Тейлора:
где Bо — значение функции отклика в начале координат Zo1,
z02, ....., zо2
(4.70)
Ряд Тейлора аналогичен уравнению регресии;
Здесь aо, аai, ai, aii—коэффициенты регрессии; xi,—кодированная переменная, веденная в целях упрощения арифметических расистов И равная xi=г1z01 Azi=zimax zi max 2i mln
чет OB И равная Xi Zi щах — Zi niin, zqСледовательно, a'( является относительной величиной: максимальному значению zi mах соответствует xi- = + 1 минимальному
Zi min-xi =I
Функция (4.71) точно описывает искомую поверхность, соответствующую исследуемому процессу. При этом ограничиваются обычно полиномами первой или второй степени. В дальнейшем проанализируем только полный двухфакторный эксперимент, составляемый с целью описать поверхности отклика второго порядка (рис. 4.12).
Допустим, что необходимо исследовать явление в зависимости от изменения двух факторов Zi и z2 методом полного двухфакторного эксперимента. Обычно в начале предполагают, что оно описывается линейным полиномом, т. е. поверхность отклика представляет собой плоскость, характеризуемую полиномом
у = aо+. a1x1+ а2x2. (4.72)
Чтобы построить поверхности отклика в виде плоскости, достаточно провести четыре опыта. Наиболее удобно выбранные факторы варьировать в максимальном или минимальном уровне, что соответствует Xi = +1 и Xi = —1. Для удобства планирования экспери
Рис. 4. 12. Виды поверхностей откликов: а — парабол-лоида; б — стационарной возвышенности; в — «хребет»;
г —«седло».
мента составляют план (рис. 4.13) и матрицу (табл. 4.16) двухфакторного эксперимента, в соответствии с которыми и проводят исследования.
Как следует из матрицы, первый опыт проводят при минимальных значениях факторов z1 и z2 четвертый — при максимальных значениях z1 и Z2, второй — при минимальном значении z1 и максимальном z2, а третий — наоборот.
Аналогично составляют полином, план и матрицу планированиядля проведения 3-х, 4-х и большего количества факторов. План трехфакторного эксперимента представлен на рис. 4.14, матрица—в
табл. 4.17.
Как следует из табл. 4.16 и 4.17, принцип построения матриц планирования полного факторного эксперимента заключается в том, что уровни варьирования первого фактора чередуются от опыта к опыту, частота смены уровней верьирования каждого последующего фактора вдвое меньше, чем у последующего. У последнего фактора уровни изменяются всегда два раза.
Матрица планирования полного факторного эксперимента в этом случае обладает следующими свойствами:
(4.73)
Здесь т - число опытов полного факторного эксперимента; j -номер опыта; i, е, и — номер факторов
Рис. 4. 13. Планы для функций у = f (х1 x2). Рис. 4. 14. Планы для функций у = f (x1, x2, x3).
Таблица 4.16 Таблица 4.17
на080x25x2 выраженное Уравнениями (4.73), вызывается ортогональностью, а матрица - ортогональной. Для этой матрицы вычисляют коэффициенты регрессии линейного полинома
x2 /=1
Формулы (4.74) применимы только для вычисления коэфйициен тов линейного полинома. В самом же общем виде коэффиценты регрессии вычисляют с помощью многочленов Чебышева вающих минимум суммы квадратов отклонений, лепечи Некоторые из коэффициентов регрессии могут оказаться незначимы, т. е. пренебрежимо малыми. Коэффициент регрессии значим и им пренебрегать нельзя, если
|a|>Dat, (4.75)
где t—критерий Стьюдента (см. табл. 4.2); Da—дисперсия, с которой определялся коэффициент регрессии, вычисляется так: Da == —-^=, Dy — дисперсия среднего значения фактора. Полученные таким образом уравнения линейной регрессии проверяют на условие адекватности (например, по критерию Фишера). Адекватность линейного полинома можно определить и путем вычисления коэффициентов регрессии а12, ...., а(n-1)n, которые при адекватности линейного полиномаравны нулю.
Таблица 4.18