06 Глава 4 (8-11) (1084728), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Критерий Пирсона — наиболее широко применяемый критерий, особенно при больших статистических измерениях.

Пусть имеем большую выборку N измерений. Разбиваем статис­тические измерения на т разрядов, в которых х1—х2, Х3—х4, х5—X6, и т. д. По данным измерений в каждом разделе оказалось уэ измере­ний. Так, в диапазоне х1—х2 имеется уэ1 измерений (частота); в xз—x4 —Уэ2 измерений и т. д. Очевидно Eуэi N. Строят экспериментальную кривую частот по у3i f(x) или —г f(x). Эту кривую можно аппроксимировать различной теоре­тической кривой — законом Пуассона, Вейбула, биномиальным, показательным, логарифмическим, нормальным и др. Для теорети­ческой кривой нетрудно установить соответственно частоты ymi.

Р(x2 q) > а = 1 —Ф(х). (4.62)

Здесь а 1 — Ф(х) — уровень значимости, обычно принимаемый

равным 0,01; y2 — критерий согласия Пирсона; q — число степеней свободы, равное

q = т — s, (4.63)

где т — количество групп (серий, разрядов) большой выборки или число измерений в одной серии при анализе односерийного эксперимента; s — коэффициент, принимаемый в зависимости от у.

Значение x2 вычисляют по формуле

Уэi, У mi— количество измерений (частота) в каждой группе серий соответственно по данным эксперимента и по теоретической кривой. В табл. (4.13) приведены значения вероятности р (x22, q) закона Пирсона.

Таблица 4.13

Пример. Произведено 250 измерений некоторой величины лxi, N 250. Экспериментальные данные у3i разбиты на семь групп. Результаты измерений нанесли на сетку в прямоугольных координатах. Кривая близка к закону нор­мального распределения. В качестве аппроксимирующей принята кривая нор­мального распределения, по которой установлены теоретические частоты:

Необходимо установить степень соответствия экспериментальных данных гипотезе.

Согласно формуле (4.64) вычисляем критерий согласия X2 =

Критерий Романовского

Здесь число степеней свободы q вычисляют с помощью (4.63). Адекватность удовлетворяется при Кр < 3. Для рассмотрен-

2,56—5

ного примера 2 Кр = ----—— < о, т. е. адекватность удовлетворяется.

Критерий Колмогорова Кк применяется для оценки адекватно­сти при большей статистической выборке N.

Чтобы определить этот критерий, статистическую кривую частот преобразовывают в статистическую интегральную функцию. Нахо­дят наибольшую разность частот между экспериментальной статисти­ческой интегральной кривой и соответствующей теоретической ин­тегральной кривой:

Do = max E Уэi — E gmi)' (4.66) Затем вычисляют величину

Л = Do yn. (4.67)

По значению Л (табл. 4.14) находят вероятность p(A) = 1 —k{A) Таблица 4.14

Адекватность удовлетворяется, если P(A) > 0,05.

Пример. Пусть выполнено 200 измерений. Результаты расчетов, необходи­мых для оценки сходимости теории с экспериментом, приведены в табл. 4.15.

Анализ последней графы табл. 4.15 показал, что наибольшее значение раз­ности оказалось при xi = 5—Do = 0,032. Следовательно, Х = 0,028 /200=0,43.

Таблица 4.15

Для A = 0,40 по табл. 4.14 необходим 1 — k (A) = 0,9926 > 0,05. Таким об­разом, адекватность удовлетворяется, т. е. экспериментальные данные подтверж­дают теоретические разработки.

§ 10. Основные принципы оптимального планирования эксперимента

Основным из традиционных методов экспериментального иссле­дования является определение требуемых зависимостей при измене­нии одного фактора и постоянстве остальных (однофакторный экс­перимент). Так, прочность бетона зависит от многих факторов, глав­ными из которых являются активность цемента, водоцементное отношение, количество песка, щебня и т. д. Обычно же изучают зависимость прочности бетона от одного из этих факторов, например активности цемента, затем водоцементного отношения и т. д. При таком методе устанавливается степень влияния каждого перемен­ного фактора в отдельности на исследуемое явление или объект. В отличие от традиционных форм выполнения экспериментов в по­следние годы все чаще применяются методы математического плани­рования, позволяющие одновременно изучать влияние ряда факто­ров (многофакторный эксперимент). Они основаны на математиче­ской теории эксперимента, которая определяет условия оптималь­ного проведения исследования, в том числе и при неполном знании физической сущности явления. Для этого можно использовать мате­матический аппарат не только на стадии обработки результатов изме­рений. как было раньше, но также при подготовке и проведении опытов. Математические методы планирования эксперимента явля­ются методами системного анализа. Они позволяют исследовать и оп­тимизировать сложные системы и процессы, обеспечивая высокую эффективность эксперимента и точность определения исследуемых факторов. Планирование позволяет построить оптимальную страте­гию исследования, обеспечивающую наибольшую эффективность минимума затрат.

Среди методов математического планирования широко распро­странен метод полного факторного эксперимента. Он представляет систему опытов, содержащих все возможные неповторяющиеся ком­бинации выбранных факторов в заданных уровнях их варьирования. Этот метод позволяет одновременно изучать влияние многих факто­ров на исследуемый процесс и дает возможность получить полином n-и степени (функцию отклика) для математического описания иссле­дуемого процесса в некоторой локальной области многофакторного пространства, лежащего в окрестности выбранной точки с коорди­натами (zo1, Zo2, ..., zоn). Полученную функцию отклика можно ис­пользовать также для оптимизации процессов, т. е. определять параметры, при которых явление или процесс будет протекать наи­более эффективно.

Метод полного факторного эксперимента основан на положении о том, что исследуемую непрерывную функцию у = f{z1, z2, ..., zn), имеющую все производные в заданной точке с координатами Zo1, zо2, ......, z0n, можно разложить в ряд Тейлора:

где Bо — значение функции отклика в начале координат Zo1,

z02, ....., zо2

(4.70)

Ряд Тейлора аналогичен уравнению регресии;

Здесь aо, аai, ai, aii—коэффициенты регрессии; xi,—кодирован­ная переменная, веденная в целях упрощения арифметических рас­истов И равная xi=г1z01 Azi=zimax zi max 2i mln

чет OB И равная Xi Zi щах — Zi niin, zqСледовательно, a'( является относительной величиной: макси­мальному значению zi mах соответствует xi- = + 1 минимальному

Zi min-xi =I

Функция (4.71) точно описывает искомую поверхность, соответ­ствующую исследуемому процессу. При этом ограничиваются обыч­но полиномами первой или второй степени. В дальнейшем проана­лизируем только полный двухфакторный эксперимент, составляемый с целью описать поверхности отклика второго порядка (рис. 4.12).

Допустим, что необходимо исследовать явление в зависимости от изменения двух факторов Zi и z2 методом полного двухфакторного эксперимента. Обычно в начале предполагают, что оно описывается линейным полиномом, т. е. поверхность отклика представляет собой плоскость, характеризуемую полиномом

у = aо+. a1x1+ а2x2. (4.72)

Чтобы построить поверхности отклика в виде плоскости, доста­точно провести четыре опыта. Наиболее удобно выбранные факторы варьировать в максимальном или минимальном уровне, что соответ­ствует Xi = +1 и Xi = —1. Для удобства планирования экспери­

Рис. 4. 12. Виды поверхностей откликов: а — парабол-лоида; б — стационарной возвышенности; в — «хребет»;

г —«седло».

мента составляют план (рис. 4.13) и матрицу (табл. 4.16) двухфак­торного эксперимента, в соответствии с которыми и проводят иссле­дования.

Как следует из матрицы, первый опыт проводят при минималь­ных значениях факторов z1 и z2 четвертый — при максимальных зна­чениях z1 и Z2, второй — при минимальном значении z1 и максималь­ном z2, а третий — наоборот.

Аналогично составляют полином, план и матрицу планированиядля проведения 3-х, 4-х и большего количества факторов. План трех­факторного эксперимента представлен на рис. 4.14, матрица—в

табл. 4.17.

Как следует из табл. 4.16 и 4.17, принцип построения матриц планирования полного факторного эксперимента заключается в том, что уровни варьирования первого фактора чередуются от опыта к опыту, частота смены уровней верьирования каждого последующего фактора вдвое меньше, чем у последующего. У последнего фак­тора уровни изменяются всегда два раза.

Матрица планирования полного факторного эксперимента в этом случае обладает следующими свойствами:

(4.73)

Здесь т - число опытов полного факторного эксперимента; j -номер опыта; i, е, и — номер факторов

Рис. 4. 13. Планы для функций у = f (х1 x2). Рис. 4. 14. Планы для функций у = f (x1, x2, x3).

Таблица 4.16 Таблица 4.17

на080x25x2 выраженное Уравнениями (4.73), вызывается ортого­нальностью, а матрица - ортогональной. Для этой матрицы вычисляют коэффициенты регрессии линейного полинома

(4.74)

x2 /=1

Формулы (4.74) применимы только для вычисления коэфйициен тов линейного полинома. В самом же общем виде коэффиценты регрессии вычисляют с помощью многочленов Чебышева вающих минимум суммы квадратов отклонений, лепечи Некоторые из коэффициентов регрессии могут оказаться незна­чимы, т. е. пренебрежимо малыми. Коэффициент регрессии значим и им пренебрегать нельзя, если

|a|>Dat, (4.75)

где t—критерий Стьюдента (см. табл. 4.2); Da—дисперсия, с ко­торой определялся коэффициент регрессии, вычисляется так: Da == —-^=, Dy — дисперсия среднего значения фактора. Полученные таким образом уравнения линейной регрессии про­веряют на условие адекватности (например, по критерию Фишера). Адекватность линейного полинома можно определить и путем вычис­ления коэффициентов регрессии а12, ...., а(n-1)n, которые при адек­ватности линейного полиномаравны нулю.

Таблица 4.18

Характеристики

Список файлов книги