Главная » Просмотр файлов » 06 Глава 4 (8-11)

06 Глава 4 (8-11) (1084728), страница 2

Файл №1084728 06 Глава 4 (8-11) (В.М. Сиденко, И.М. Грушко - Основы научных исследований) 2 страница06 Глава 4 (8-11) (1084728) страница 22018-01-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Критерий Пирсона — наиболее широко применяемый критерий, особенно при больших статистических измерениях.

Пусть имеем большую выборку N измерений. Разбиваем статис­тические измерения на т разрядов, в которых х1—х2, Х3—х4, х5—X6, и т. д. По данным измерений в каждом разделе оказалось уэ измере­ний. Так, в диапазоне х1—х2 имеется уэ1 измерений (частота); в xз—x4 —Уэ2 измерений и т. д. Очевидно Eуэi N. Строят экспериментальную кривую частот по у3i f(x) или —г f(x). Эту кривую можно аппроксимировать различной теоре­тической кривой — законом Пуассона, Вейбула, биномиальным, показательным, логарифмическим, нормальным и др. Для теорети­ческой кривой нетрудно установить соответственно частоты ymi.

Р(x2 q) > а = 1 —Ф(х). (4.62)

Здесь а 1 — Ф(х) — уровень значимости, обычно принимаемый

равным 0,01; y2 — критерий согласия Пирсона; q — число степеней свободы, равное

q = т — s, (4.63)

где т — количество групп (серий, разрядов) большой выборки или число измерений в одной серии при анализе односерийного эксперимента; s — коэффициент, принимаемый в зависимости от у.

Значение x2 вычисляют по формуле

Уэi, У mi— количество измерений (частота) в каждой группе серий соответственно по данным эксперимента и по теоретической кривой. В табл. (4.13) приведены значения вероятности р (x22, q) закона Пирсона.

Таблица 4.13

Пример. Произведено 250 измерений некоторой величины лxi, N 250. Экспериментальные данные у3i разбиты на семь групп. Результаты измерений нанесли на сетку в прямоугольных координатах. Кривая близка к закону нор­мального распределения. В качестве аппроксимирующей принята кривая нор­мального распределения, по которой установлены теоретические частоты:

Необходимо установить степень соответствия экспериментальных данных гипотезе.

Согласно формуле (4.64) вычисляем критерий согласия X2 =

Критерий Романовского

Здесь число степеней свободы q вычисляют с помощью (4.63). Адекватность удовлетворяется при Кр < 3. Для рассмотрен-

2,56—5

ного примера 2 Кр = ----—— < о, т. е. адекватность удовлетворяется.

Критерий Колмогорова Кк применяется для оценки адекватно­сти при большей статистической выборке N.

Чтобы определить этот критерий, статистическую кривую частот преобразовывают в статистическую интегральную функцию. Нахо­дят наибольшую разность частот между экспериментальной статисти­ческой интегральной кривой и соответствующей теоретической ин­тегральной кривой:

Do = max E Уэi — E gmi)' (4.66) Затем вычисляют величину

Л = Do yn. (4.67)

По значению Л (табл. 4.14) находят вероятность p(A) = 1 —k{A) Таблица 4.14

Адекватность удовлетворяется, если P(A) > 0,05.

Пример. Пусть выполнено 200 измерений. Результаты расчетов, необходи­мых для оценки сходимости теории с экспериментом, приведены в табл. 4.15.

Анализ последней графы табл. 4.15 показал, что наибольшее значение раз­ности оказалось при xi = 5—Do = 0,032. Следовательно, Х = 0,028 /200=0,43.

Таблица 4.15

Для A = 0,40 по табл. 4.14 необходим 1 — k (A) = 0,9926 > 0,05. Таким об­разом, адекватность удовлетворяется, т. е. экспериментальные данные подтверж­дают теоретические разработки.

§ 10. Основные принципы оптимального планирования эксперимента

Основным из традиционных методов экспериментального иссле­дования является определение требуемых зависимостей при измене­нии одного фактора и постоянстве остальных (однофакторный экс­перимент). Так, прочность бетона зависит от многих факторов, глав­ными из которых являются активность цемента, водоцементное отношение, количество песка, щебня и т. д. Обычно же изучают зависимость прочности бетона от одного из этих факторов, например активности цемента, затем водоцементного отношения и т. д. При таком методе устанавливается степень влияния каждого перемен­ного фактора в отдельности на исследуемое явление или объект. В отличие от традиционных форм выполнения экспериментов в по­следние годы все чаще применяются методы математического плани­рования, позволяющие одновременно изучать влияние ряда факто­ров (многофакторный эксперимент). Они основаны на математиче­ской теории эксперимента, которая определяет условия оптималь­ного проведения исследования, в том числе и при неполном знании физической сущности явления. Для этого можно использовать мате­матический аппарат не только на стадии обработки результатов изме­рений. как было раньше, но также при подготовке и проведении опытов. Математические методы планирования эксперимента явля­ются методами системного анализа. Они позволяют исследовать и оп­тимизировать сложные системы и процессы, обеспечивая высокую эффективность эксперимента и точность определения исследуемых факторов. Планирование позволяет построить оптимальную страте­гию исследования, обеспечивающую наибольшую эффективность минимума затрат.

Среди методов математического планирования широко распро­странен метод полного факторного эксперимента. Он представляет систему опытов, содержащих все возможные неповторяющиеся ком­бинации выбранных факторов в заданных уровнях их варьирования. Этот метод позволяет одновременно изучать влияние многих факто­ров на исследуемый процесс и дает возможность получить полином n-и степени (функцию отклика) для математического описания иссле­дуемого процесса в некоторой локальной области многофакторного пространства, лежащего в окрестности выбранной точки с коорди­натами (zo1, Zo2, ..., zоn). Полученную функцию отклика можно ис­пользовать также для оптимизации процессов, т. е. определять параметры, при которых явление или процесс будет протекать наи­более эффективно.

Метод полного факторного эксперимента основан на положении о том, что исследуемую непрерывную функцию у = f{z1, z2, ..., zn), имеющую все производные в заданной точке с координатами Zo1, zо2, ......, z0n, можно разложить в ряд Тейлора:

где Bо — значение функции отклика в начале координат Zo1,

z02, ....., zо2

(4.70)

Ряд Тейлора аналогичен уравнению регресии;

Здесь aо, аai, ai, aii—коэффициенты регрессии; xi,—кодирован­ная переменная, веденная в целях упрощения арифметических рас­истов И равная xi=г1z01 Azi=zimax zi max 2i mln

чет OB И равная Xi Zi щах — Zi niin, zqСледовательно, a'( является относительной величиной: макси­мальному значению zi mах соответствует xi- = + 1 минимальному

Zi min-xi =I

Функция (4.71) точно описывает искомую поверхность, соответ­ствующую исследуемому процессу. При этом ограничиваются обыч­но полиномами первой или второй степени. В дальнейшем проана­лизируем только полный двухфакторный эксперимент, составляемый с целью описать поверхности отклика второго порядка (рис. 4.12).

Допустим, что необходимо исследовать явление в зависимости от изменения двух факторов Zi и z2 методом полного двухфакторного эксперимента. Обычно в начале предполагают, что оно описывается линейным полиномом, т. е. поверхность отклика представляет собой плоскость, характеризуемую полиномом

у = aо+. a1x1+ а2x2. (4.72)

Чтобы построить поверхности отклика в виде плоскости, доста­точно провести четыре опыта. Наиболее удобно выбранные факторы варьировать в максимальном или минимальном уровне, что соответ­ствует Xi = +1 и Xi = —1. Для удобства планирования экспери­

Рис. 4. 12. Виды поверхностей откликов: а — парабол-лоида; б — стационарной возвышенности; в — «хребет»;

г —«седло».

мента составляют план (рис. 4.13) и матрицу (табл. 4.16) двухфак­торного эксперимента, в соответствии с которыми и проводят иссле­дования.

Как следует из матрицы, первый опыт проводят при минималь­ных значениях факторов z1 и z2 четвертый — при максимальных зна­чениях z1 и Z2, второй — при минимальном значении z1 и максималь­ном z2, а третий — наоборот.

Аналогично составляют полином, план и матрицу планированиядля проведения 3-х, 4-х и большего количества факторов. План трех­факторного эксперимента представлен на рис. 4.14, матрица—в

табл. 4.17.

Как следует из табл. 4.16 и 4.17, принцип построения матриц планирования полного факторного эксперимента заключается в том, что уровни варьирования первого фактора чередуются от опыта к опыту, частота смены уровней верьирования каждого последующего фактора вдвое меньше, чем у последующего. У последнего фак­тора уровни изменяются всегда два раза.

Матрица планирования полного факторного эксперимента в этом случае обладает следующими свойствами:

(4.73)

Здесь т - число опытов полного факторного эксперимента; j -номер опыта; i, е, и — номер факторов

Рис. 4. 13. Планы для функций у = f (х1 x2). Рис. 4. 14. Планы для функций у = f (x1, x2, x3).

Таблица 4.16 Таблица 4.17

на080x25x2 выраженное Уравнениями (4.73), вызывается ортого­нальностью, а матрица - ортогональной. Для этой матрицы вычисляют коэффициенты регрессии линейного полинома

(4.74)

x2 /=1

Формулы (4.74) применимы только для вычисления коэфйициен тов линейного полинома. В самом же общем виде коэффиценты регрессии вычисляют с помощью многочленов Чебышева вающих минимум суммы квадратов отклонений, лепечи Некоторые из коэффициентов регрессии могут оказаться незна­чимы, т. е. пренебрежимо малыми. Коэффициент регрессии значим и им пренебрегать нельзя, если

|a|>Dat, (4.75)

где t—критерий Стьюдента (см. табл. 4.2); Da—дисперсия, с ко­торой определялся коэффициент регрессии, вычисляется так: Da == —-^=, Dy — дисперсия среднего значения фактора. Полученные таким образом уравнения линейной регрессии про­веряют на условие адекватности (например, по критерию Фишера). Адекватность линейного полинома можно определить и путем вычис­ления коэффициентов регрессии а12, ...., а(n-1)n, которые при адек­ватности линейного полиномаравны нулю.

Таблица 4.18

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
712 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6381
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее