Вакин С. А., Шустов Л. Н. Основы противодействия и радиотехнической разведки. М., Сов. радио, 1968 (1083408), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Рассматриваемые ниже условия радиотехнической разведки являются типовыми. Заков распределения времени непрерывной работы разведуемых РЭС, так же как и закон распределения времени обслуживания, для удобства вычислений будем считать экспоненциальным. Это значит, что вероятность непрерывной работы разведуемого РЭС в течение времени 1 равна Р1ч(Г)=1 — е Здесь ! Х== тон 373 — среднее время непрерывной работы разведуемых радиоэлектронных средств, среднее время ожндания. Соответственно плотность распределения времени непрерывной работы равна гУз( ( П вЂ”;> г>г В теории массового обслуживания аналогом подобного рода схемы разведки является система с ограниченным временем ожидания обслуживаемого средства в сисгеме обслуживания. Причем речь идет об ожидании именно в системе обслуживания, а не в очереди, обслуживаемой отдельным каналом.
Пусть система разведки имеет и независимых каналов, каждый из которых может обслужить любой сигнал из заданного пуассоиовского потока сигналов на входе. Возможны следующие состояния системы радиотехнической разведки: А0 — сигналы на входе системы отсутствуют, все каналы свободны; А| — на вход системы поступил один сигнал и обслуживается в одном из каналов, остальные и†1 каналы свободны.
Очереди нет; А; — иа вход системы радиотехнической разведки поступило 7 сигналов и все они обслуживаются 7 каналами, произвольно выбранными из п. Очереди нет; А, — обслуживается п сигналов и очереди иа входе системы разведки нет; А„+> — все и каналов заняты обслуживанием и на входе системы радиотехнической разведки имеется один сигнал. Среднее время пребывания сигнала в системе 1 >ин;— х' А„чд — все каналы запяты обслуживанием и, кроме того, на входе имеется й сигналов, ожидающих обслуживания ограниченное время. Количество возможных состояний системы бесконечно велико в силу неограниченности во времени потока разведуемых сигналов.
Предполагая пуассоновский характер потока сигналов на входе системы разведки, определим вероятности того, что в момент времени 7+Лг система будет находиться соответственно в ка>кдом из указанных состояний, если в предшествующий фиксированный момент времени г она находилась в каком-либо из возможных для иее в данных условиях со- 374 стояний. К моменту времени 1+Л1 состояние Ав может быть достигнуто двумя несовместными путямп: — в момент времени 1 система была свободна (состояние А,) п за время Лг не пришло ни одного сигнала; — в момент времени 1 система находилась в состоянии А, и за время Л1 обслуживание закончено. Проведенные рассуждения позволяют записать следующсе равенство: Р, (1+ Л() — -: Р, (1) (1 — З.Л1) + Р, (1) р М, Отсюда получаем дифференциальное уравнение для Р,(1): Перейдем к определению вероятности состояния А, многоканальной системы разведки.
К состоянию А; в момент времени 1+Ж система разведки может прийти в результате наступления следующих трех несовместных событий: — в момент времени 1 система находилась в состоянии А„за время Л1 ни в одном из 1 каналов обслуживание не закончилось и за это же время не поступило ни одного нового сигнала; вероятность совместного наступления всех этих трех событий равна Р;(1)(е ен)'е ' ' 11 — (Л+>и)М) Р,(1); — в момент времени 1 система обслуживала 1 — 1 сигналов (состояние А;,), за время Л1 поступил еще один сигнал на обслуживание п не закончилось обслуживание >и одного пз > — 1 сигналов, принятых радиоразведывательным устройством; вероятность совместного наступления этих событий, с точностью до бесконечно малых более высокого порядка. чем Лй равна Рг (() (1 -"~) е-«-'"" .
Р,, (1) 1Л1; — в момент времени ! система находилась в состоянии А;„, за время Л1 в одном пз 1+! каналов обслу>кивание закончено и пе поступило ни одного сигнала на вход разведывательного приемника; соответственно вероятность совместного наступления этих трех событий Рг,„(1) С'«„(1 — е ем)е "' = Р;,(г)(1+1)рЛ(, 375 Полная вероятность наступления интересуюшего нас со. бытия Р (~+М() =Р;(() Р— (1+1р) Д(!+ + Р;, (() 7 б(+ Р, Я 0 + 1) 1~а ~. Отсюда после очевидных преобразований и перехода к пределу получим дифференциальное уравнение =ЛР; (7) — (а+7р) Р;(г)+(1+1)рР;, (7).
Определим вероятность А„-го состояния системы в момент времени 1+И. Оно может иметь место в результате наступления следующих трех несовместных событий: — в момент времени 7 система находилась в состоянии А„ь за время Л1 поступил один сигнал на обслуживание и ни один из а,— 1 сигналов не был обслужен; — в момент времени 1 система находилась в состоянии А„за время Л( ни одного сигнала не поступило и не было закончено обслуживание ни одного из ранее принятых и сигналов; — в момент времени 7 система находилась в состоянии А„ы, т. е.
л сигналов обслуживалось и один присутствовал на входе, не будучи принятым к обслуживанию (стоял в очереди). За время Л1 на вход не поступило дополнительных сигналов на обслуживание, и система переходит в состояние А„ либо за счет того, что сигнал принимается к обслуживанию одним из освободившихся каналов, либо ввиду того, что сигнал уходит из системы, не будучи обслуженным.
Вероятности двух первых событий были определены выше. Вероятность последнего (третьего) события определится следующей суммой вероятностей частных событий: +Р„,(1)е ™(1 — е '") = Р„,(г)(яр+у)в(. Дифференциальное уравнение для Р„с учетом вероятностей двух первых несовместных событий из общего числа, определяющего состояние А„, имеет вид лр»1В хр (() (х+ Р)Р (1)+(пр+/)Р (1) Определим, наконец, вероятность того, что в момент времени Г+Лг система будет находиться в состоянии А ~м Состояние А„+~ может быть достигнуто следующими несовместными путями: — в момент времени г система находилась в состоянии А„~~ ь за время Л1 прибывает ровно одна заявка; — - в момент времени г система находилась в состоянии А„чы за время Лг не поступало на вход ни одного сигнала, не закончено обслуживание нн одного нз а сигналов, нн один пз Й сигналов не ушел пз очереди; — в момент времени 1 система находилась в состоянии А„,ьз.ь за время Л1 новых сигналов не поступает, и система переходит в состояние А„~„либо за счет освобождения одного из каналов, либо ввиду ухода одного нз )г+1 сигналов.
Полная вероятность наступления события А„~~ в момент времени Г+ЛГ будет соответственно равна +Р„,а(1)е ~~~е "~ ~е гц ~+ или Р». к( +Л1) Ри+х. 1( )йЛ1+ +Р +.Я)'11 — Я+н +йХ)1Л1+ + Р„, д+, (1) (лр. + (и+ 1) у) Ы, Отсюда после предельного перехода получим искомое дифференциальное уравнение "~,' '= тР...,(1) — (1+~и+ Ь) Р„И)+ + [пи+(и+ 1) у) Р„~х, (1) Таким образом, мы получили следующую бесконечную, но счетную систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний многоканальной системы, осуществляющей радиотехническую разведку радиоэлектронных средств, работающих ограниченное время: ~~' —— — зР,(1)+ иР,Я, (Π— (и+Ф) Р И)+(1+1)ИРг+в(1) (10.15) 377 '~~" ОΠ— ХР (г) (1+, )Р (1)+(ли+- )Р.
(1) — =хР„~к,(() — (1+ ля+ йу) Р„+х (()+ +/й'+(й+1)Х! Р ех+ (() Начальные условия полученной системы уравнений (10.15) имеют внд Р.Я~~,=1, Р;((),~.,=О (1=-1, 2,,н+К...). В установившемся режиме радиотехнической разведки все вероятности Р;(1'=О, 1, ..., в+юг) можно считать постоянными, соответственно система дифференциальных уравнений преобразуется в систему алгебраических уравнений: — хР,-(-„Р,=О, ХРг, — Я+(я) Р;+(ю+1) вР;,, =О, (10.16) ДР„,— (А+пв)Р„+(яр+ т) Р„,=О, ъР и, — Я+пн+йу)Р„~я+ + (ир. + (й+ 1) т( Р„и+, — — О, К атой системе уравнений необходимо еще добавить очевидное равенство ~Р,=1, (1О.
17) я=а Сигнал, поступивший на вход системы разведки, может быть обнаружен и обработан (обслужен) и может быть пропущен, может уйти из очереди, не будучи обслужеиным. Если обозначить через Рр вероятность того, что пришедший сигнал или группа сигналов будут приняты и обработаны в приемнике радиотехнической разведки, а через Р„ — вероятность пропуска сигнала (вероятность того, что принятый сигнал уйдет из очереди, не будучи обслуженным), то всегда Р„+Р„= 1, (10.18) Обычно нас интересует величина Р~, характеризующая пропускную способность системы. Чтобы ее найти, определич вначале вероятность пропуска разведуемого сигнала Р„. Вероятность Р„ можно определить как от- 378 Р = — Р.
1 р а Из второго уравнения Лх Р = — Р, 2 ' из 1-го уравнения (! (л) Л' Р, = —,. Р. з — ~; ч. ! !х' (!0.19) для !=я+ 1 с помощью соответствующего уравнения находим Лч+~ л! ил (и!х + Х) В общем случае имеем Ля+ ь Р„+а = Рч ° л! ии П (ли+ !Х) 1=! (10.20) Подставив полученные значения для Рг и Р„ч а в (!О.!7), получим л сч ч Рф+~л Р ч„=! (10.2!) !=о Здесь л л Лч !=о г=о 379 ношение среднего числа сигналов, уходящих из очереди, к среднему числу сигналов, поступающих в систему в единицу времени. Чтобы определить указанные математические ожидания, необходимо решить систему уравнений (10.16) и (10.17) относительно вероятностей Ро Р1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
