Вакин С. А., Шустов Л. Н. Основы противодействия и радиотехнической разведки. М., Сов. радио, 1968 (1083408), страница 5
Текст из файла (страница 5)
е. С'('.,) = С(1,). Уравнение этой прямой получается пз формулы (1.25), если в нее вместо множителей 1, и (1 -- $,) подставить соответственно 1 и (1 — — $): Г(1)=1СД,(о„(1,))+(1 — Е)С,О,[о,(1,)(. (!.26) Чтобы не допустить потерь, больших чем С(;-„е), соответствующих максимуму кривой С(~), принимающий решение должен ориентироваться на значение априорной вероятности ч=ьм В этом случае прямая, опредетяющая значения среди~го риска С'(;-з) для значений ',ээ4м будет параллельна осн абсцисс, т. е, средний риск нп прп каких значениях й не превысит С(~~а).
Поскольку С Да) есть минимальный средний риск, соответствующий априорной вероятности З=Зш и, кроме того, максямальный среди всех минимизированных по априорным вероятностям средних рисков, его условились называть минимаксным средним риском. Йитке этот термин будет еще раз встречаться в связи с рассмотрением некоторых теоретико-игровых задач. Чтобы найти пороговое значение отношения правдоподобия и соответствующее ему граничное значение в= =и, для минимаксного критерия, необходимо продифференцировать выражение для среднего риска (1.22) по Ц и приравнять производную нулю. Полученное трансцендентное уравнение ~оЯО (ов) — С~91 (оо) (1.27) позволяет найти искомое значение о„, соответствующее максимуму минимизированного среднего риска и определяющее пороговое отношение правдоподобия Очевидно, что, ориентируясь на априорную вероятность ~=$м создающий помехи предполагает работу в наибо- лее выгодных для себя условиях.
1(оэффициепт подавле- 25 иия, соответствующий $», может оказаться меньшим, чем для любых других значений $. Применение минимаксного критерия не снимает неопределенности в расчетах коэффициента подавления, поскольку создающему помехи, как правило, неизвестны значения цен С» и С„ на которые ориентируется подавляемая сторона.
Критерий Котельникова — Зигерта («идеального наблюдателя») предполагает равенство цен ошибок первого и второго рода (С,= С,). В этом случае минимизация среднего риска эквивалентна минимизации полной вероятности принятия ошибочного решения Р, . «Идеальный наблюдатель» выбирает границу между областями Р» и Р~ таким образом, чтобы минимизировать среднюю вероятность ошибочного решения Р, =й,+(1 — ЦЯ,. (1. 28) Критерий Котельникова — Зигерта применяется в системах радиосвязи. Так же как и в случае критерия Байеса, организующий помехи, рассчитывая коэффициент подавления по критерию «идеального наблюдателя», может допустить ошибку в силу неточного знания априорной вероятности ~, на которую ориентируется подавляемый.
Если в радиосвязи допустимо оценивать одинаково ошибки первого и второго рода, то в радиолокации ложная тревога и пропуск цели — события принципиально разной значимости. Кроме того, в радиолокации встречаются трудности с определением, а зачастую и с однозначным толкованием априорных вероятностей. В силу указанных обстоятельств в радиолокации основным критерием для определения порогового отношения правдоподобия и соответствующего ему коэффициента различимости является критерий Неймана — Пирсона.
Критерий Неймана — Пирсона требует так выбирать границу раздела между областями К, и Рь чтобы обеспечить минимум вероятности пропуска сигнала при заданной вероятности ложной тревоги. Математически задача сводится к определению условного экстремума функции многих переменных Я~(оь ..., о,) при наличии ограничения вида Я» (о ..., в„) = сопз1. 26 условный экстремум обычно находят методом неопреде- ленных множителей Лагранжа.
В рассматриваемом слу- чае одного ограничивающего условия исходная линейная комбинация имеет вид Я, (й,)+ 2Я. (й,), (1.29) здесь л — неопределенный множитель Лагранжа. Необходимо найти границу между областями )г, и)т1 таким образом, чтобы обеспечивался минимум линейной комбинации (1.29). Линейная комбинация (1.29) совпадает с выражением для среднего риска (!.20), если положить Сз=2)„ С,=2 и $=1/2. Ранее было установлено, что минимум среднего риска имеет место, если граница между областями Ра и )г, выбрана так, что имеет место равенство (1.23) для отношения правдоподобия.
Если имеет место эквивалентность выражений (1.29) и (1.20) при указанных выше условиях, можно однознач. но утверждать, что минимум линейной комбинации (1.29) будет иметь место, когда граница между областями Ра и й, обеспечит выполнение следующего равенства; Р' ( ' ' ' ', ) — — Л, (О„..., о„) = х.
(1.30) Величина ),=Ла(оь ..., о,) выбирается таким образом, чтобы обеспечить заданное значение вероятности ложной тревоги Оо =- ~ Ро(Л)~(Л. (1.31) Л (о„..., а„) = Р' (~' ' ' ' ") . Ро("~ ° ° ч ) 27 ха Последняя формула непосредственно вытекает из уравнения (!.18), если учесть, что отношение правдоподобия Л(о„..., о„) является величиной случайной, изменяющейся от реализации к реализации при условии справедливости одной и той же гипотезы, а именно гипотезы о том, что имеют место только помехи. Плотность распределения Рв(Л) можно определить, если учесть, что Л является функцией Ра(оь ..., о„), а именно: Отсюда следует, что прн справедливости первой гипо- тезы Р, (А) дА =. Р, (о „..., о,) гЬ,...
г(а,. З,алее, с помощью уравнения (1.18) с учетом (!.30) получаем формулу (!.31). Наблюдатель Неймана — Пирсона функционирует стедуюпщм образом. По данной выборке (реализации) определяется отношение правдоподобия Л. Если Л больше Ла, определяемого по заданной вероятности ложной тревоги Оа с помощью формулы (!.31), то принимается вторая гипотеза, в противном случае считается справедливой первая гипотеза. Создающий помехи, рассчитывая коэффициент подавления в соответствии с критерием Неймана — Пирсона, может допустить ошибку за счет неточного знания принятого на подавляемой стороне значения вероятности ложной тревоги.
В практических расчетах коэффициента подавления никогда не следует ориентировать на самые легкие условия. Ве.тичнна коэффициента подавленна должна выбираться с таким расчетом, чтобы обеспечить подавление соответствующего радиоэлектронного средства в наиболее неблагоприятных для создающего помехи условиях, если вероятность существования тзкнх условий достаточно велика (не мене 0,5), Естественно, возникает вопрос о возможности установления связи между информационными критсрпямп качества маскирующих помех и критериями теории решений, позволяющими рассчитывать величину коэффициента подавления для данного вида помехового сигнала. Информационные критерии качества помеховых сигналов и энергетические критерии различны по своей природе н между ними нет непосредственной функциональной зависимости.
Однако знание некоторых информационных критериев качества помеховых сигналов накладывает вполне определенные ограничения на возможный диапазон значений соответствующих критериев теории статистических решений. Так, например, при заданной средней вероятности ошибки Р,, определяемой критерием Котельникова— 28 Зигерта, максимальная энтропия определяется зависимостью 13, 9) уумакь (Ром) = Рош 1оК Рчш — (1 — Рчм) 1ов (1 — Р щ) + + Р„!о~~(п — 1), 11.32) где и — число элементов соответствующей вероятностной схемы, определяющей Н(Рмч). Проведенное рассмотрение указывает на необходимость применения в радиопротиводействии как информационных критериев, так и критериев теории решений, в отличие от радиолокации, где предпочтение отдается критериям теории решений.
Критерии теории регненпй в радиолокации более удобны, особенно когда речь идет об обнаружении сигнала на фоне собственного шума, статистические характеристики которого известны, и может быть какпм-то образом определен средний риск или допустимая вероятность ложных тревог. Однако уже в случае умышленных помех с неизвестным априори распределением вероятностей применение этих критериев затруднительно.
Даже при наличии электронных вычислительных машин отношение правдоподобия при априори неизвестном распределении помехи определяется далеко не всегда. Следует также иметь в виду, что в условиях умышленных помех решение о наличии цели иа экране РЛС, как правило, будет принимать оператор. В настоящее время не представляется возможным однозначно утверждать, что оператор оценивает именно величину отношения правдоподобия. Представляется более оправданным считать, что оператор в основном руководствуется априорными знаниями о полезном сигнале и помехах. Приведенные соображения позволяют считать информационные критерии приемлемымн характеристиками качества приема сигналов в РЛС, находящихся под воздействием организованных помех.
Тем более оправданным является применение этих критериев для оценки качества помеховых сигналов. Вместе с тем следует еще раз подчеркнуть необходимость иметь энергетические характеристики оптимизированных по информационному критерию помеховых сиг- 29 налов, позволяющие производить соответствующие рас- четы помеховых средств. В4.
Особенности критериев качества помеховых сигналов, предназначенных для подавления систем автоматического управления В настоящее время с точки зрения создающего помехи все системы автоматического управления могут быть разделены на четыре основные группы: — детерминированные; — статистически определенные; — системы с адаптацией; — игровые или минимаксные. К детерминированным мы будем относить такие системы управления, алгоритм функционирования которых известен либо априори, либо может быть определен в процессе создания помех, и, кроме того, известно множество допустимых помеховых сигналов*. Оно, так же как и алгоритм функционирования, может быть определено либо априори, либо с помощью аппаратуры радиотехнической разведки.
В соответствии с определением создающему помехи считается известным алгоритм функционирования детерминированной системы управления. Обычно алгоритм функционирования детерминированной системы представляет собой совокупность обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процесс движения управляемого объекта. В нормальной форме указанная система дифференциальных уравнений имеет следующий внд: охт — „=у,(хм..., х„; и„..., и,.), ~КЗЗ1 ох„ Здесь хь ..., х, — фазовые координаты управляемого е К допустимым относятся такие помеховые сигналы, которые могут оказывать на унранляемый объект такое же воздействие, как и полезные унравляющие сигналы. 30 объекта в и-мерном фазовом пространстве (они являются искомыми функциями времени); иь ..., и„— положения регулирующих органов, обеспечивающих возможность управления объектом.
На координаты и„..., и„накладываются ограничения. Каждая из координат и,(1'=1,, г) должна принадлежать к множеству допустимых управлений Уд(и;(-Уд), т. е. она не может быть больше или меньше некоторых экстремальных значений и;и„„~ и; < и!„,„„,„Функции )~(х„..., х„; и„..., и„) определены на всех возможных для данной системы значениях фазовых координат х;(1=1, 2, ..., п) и значеннях и! (1=1, 2, ..., г), принадлежащих к множеству допустимых управлений. В теории оптимального управления (1О, 11, 12) качество управления оценивается с помощью интегральных функционалов следующего вида: Я= ') 0(х„...,х„; и„...,и„) Л, (1.34) Здесь б(хь ..., х„; иь ...
и,) — некоторая заданная функция. Для каждого допустимого управления и, (!), ..., и,(!), заданного на интервале времени т, < ! ~ Т, однозначно определяется ход управляемого процесса, а соответствующий этому ходу процесса интегральный функционал принимает некоторое значение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
