7-8 (1083149)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

29

7.2. Классическая теплоемкость кристаллов по Дюлонгу и Пти

В классической теории теплоемкости кристаллов Дюлонга и Пти считают, что

1) каждый атом кристалла движется независимо от соседей;

2) каждый атом имеет 3 колебательные степени свободы, на каж­дую из кото­рых приходится энергия kТ ( kT/2 в виде кинетической и kT/2 в виде потенциальной).

Энергия одного атома кристалла: .

Энергия одного моля: , где R – газовая постоянная.

Теплоемкость 1 моля кристалла: (закон Дюлонга и Пти) (7.1)

Итак, по классической модели теплоемкость простых кристаллов одинакова, не зависит от температуры и равна 3R. (Эксперимент показывает, что при низких температурах это не выполняется).

Эйнштейн подправил классическую теорию, отказавшись от условия 2. Он учел квантование колебательной энергии атомов, считая их квантовыми осцилляторами. Это позволило получить качественное согласие с экспериментом. Однако наилучшую теорию, согласующуюся с опытом, предложил Дебай.

7.3. Квантовая теория теплоемкости Дебая

Дебай учел, что движение атомов в решетке не является независимым. Смещение одного атома приводит к смещению соседних, в результате по кристаллу распространяется волна колебаний – звуковая волна. (При отражении от границ кристалла получается стоячая волна).

Дебай впервые связал теплоемкость с возбуждением звуковых волн в кристалле.

Упругие волны в кристалле квантуются. Существует наименьшая порция – квант энергии колебаний (W=h, где  – частота колебаний, h – постоянная Планка).

Кванты (порции) звуковых колебаний решетки называют фононами. Фононы – квазичастицы, они существуют только в кристалле.

Энергия фонона W=h , квазиимпульс фонона Р= h/v_зв направлен вдоль направления распространения звуковой волны. v_зв – скорость звука.

Число независимых (нормальных) стоячих волн равно 3N – числу степеней свободы кристалла, где N – число атомов.

И з рис.7.1. видно, что минимально возможная длина волны в решетке соответствует случаю, когда два соседних атома колеблются в противофазе λ_min=2d=2(V/N)^1/3, где V – объем кристалла. Самой короткой длине волны λ_min соответствует самая высокая частота: _max= v_зв/λ_min= v_зв(N/8V)^1/3– верхняя граница частот фононов.

Более точная формула имеет вид: _max=v_зв(3N/4πV)^1/3. Спин фонона равен нулю. Они являются бозонами. Химический потенциал (могут испускаться и поглощаться без изменения внутренней энергии U). Следовательно, их распределение по энергиям:

f_T

f = [e^W/kT – 1]^-1=[exp (h/kT) – 1] ^–1 (7.2)

где W=h - энергия фонона. Если с учетом функции распределения рассчитать внутреннюю энергию кристалла , а затем взять производную и вычислить теплоемкость одного моля C=∂U/dT, то получается:

C=3N_AkT(T/θ)³Ф(T/θ), (7.3)

где N_A – количество атомов в одном моле, k–постоянная Больцмана, Ф – некоторая функция (интеграл).

Величина θ=hυ_max/k называется характеристической температурой Дебая. (Ее физический смысл в том, что при низких температурах начинают проявляться квантовые эффекты и теплоемкость отличается от классической).

Рассмотрим частные случаи для формулы (7.3):

1. При T<< θ: функция Ф(T/θ)=const и мы получаем, что теплоемкость решетки С~T ³ , что сильно отличается от классической теории, но согласуется с экспериментом;

2. При T>> θ: Ф(T/θ)  (θ/T)³ и мы получаем для теплоемкости решетки C=3N_Ak=3R. Это соответствует классической теплоемкости Дюлонга и Пти.

7.4. Теплоемкость электронного газа в металлах

В металлах теплоемкость складывается из теплоемкости решетки (см. п. 7.3) и теплоемкости электронного газа. Оценим теплоемкость газа электронов в металле.

1. В теплоемкости участвуют лишь малая часть (∆N) электронов вблизи уровня Ферми W_F=μ (слой толщины kT см. рис.7.2).

∆N/NkT/ W_F следовательно ∆N=N(kT/W_F)

2 . Внутренняя энергия с точностью до константы определяется возбуждением N электронов на величину kT.

U kT ^.N=N[(kT)²/ W_F]

3. Отсюда теплоемкость электронного газа:

Ce=∂U/∂TNk²T/ W_F (7.4)

Из рис.7.3 видно, что при малых температурах основной вклад в общую теплоемкость металла дает теплоемкость электронного газа. С ростом температуры вклад решетки в теплоемкость быстро растет, как Т³ и становится определяющим. При больших температурах теплоемкость металлов близка к классической С ≈ 3R

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций