Гриншпон И.Э., Гриншпон Я.С. - Элементарные функции и их графики (1081341), страница 5
Текст из файла (страница 5)
25).Постройте графики функций y = f ( x ) − 2 и y = f ( x − 2) .Решение. Перенесем заданный график функции на двеединицы вниз или вправо соответственно (рис. 26).3. Построение графикафункции y = f ( x − a ) + b осуществляется последовательнымвыполнением параллельных переносов графика функцииy = f (x ) вдоль осей координат.Пример 6. Постройте график функции y =x + 5 + 1.Решение.Известный график степеннойфункцииy=x (рис. 9) пере-несем на единицувверх и на пять единиц влево (рис.
27).4.«Растяжение»графикафункции y = f (x ) от оси OХ, тоесть построение графика функцииy = Af (x ) . Если A > 1 , то ординатакаждой точки графика увеличивает35А>10<A < 1ся в А раз (растяжение графика функции от оси OХ) и уменьшается в1раз, если 0 < A < 1 (сжатие графика функции кAоси OХ).5.
Симметрия относительно осиОХ, то есть построение графика функциихy = − f (x ) . При этом каждаяА = –1точка графика функции отображаетсяв точку, симметричную относительно оси OХ.6. Построение графика функции y = Af (x ) , если A < 0 ,проводится как последовательное выполнение двух преобразований – симметрии относительно оси OХ и растяженияот оси OХ.Пример 7. Заданграфикфункцииy = f (x ) (рис. 25). Постройтеграфикифункций y = 3 f ( x ) иy = − 0,5 f ( x ) .Решение.
График функции y = 3 f ( x ) получим растяжением в три раза графика функции y = f (x ) от оси OX.Чтобы построить график функции y = − 0,5 f ( x ) необходимоисходный график сначала отразить относительно оси OХ, азатем сжать его в два раза вдоль оси OY(рис. 28).0<k<17. «Сжатие» графика функцииy = f (x ) к оси OY, то есть построениеk>136графика функции y = f (kx ) . При k > 1 абсциссы точек графика функции уменьшаются в k раз, происходит сжатие графика функции к оси OY.
При 0 < k < 1 абсциссы точек графика функции увеличиваются в1раз, происходит растяжениеkграфика функции от оси OY.8. Симметрия относительно оси ОY, тоесть построение графика функции y = f ( − x )у. При этом каждая точка графика функцииk = –1отображается в точку, симметричную ей относительно оси OY.9. Построение графика функции y = f (kx ) , если k < 0 ,проводится как последовательное выполнение двух преобразований – симметрии относительно оси OY и сжатия к осиOY.Пример 8. Задан график функции y = f (x ) (рис.
25).Постройте графики функций y = f (2 x ) и y = f ( − 0,5 x) .Решение. График функции y = f (2 x ) строится путемсжатия графика функции y = f (x ) в два раза к оси OY. Дляпостроенияграфикафункции y = f (− 0,5 x)нужносимметричноотразить график исходной функции относительно оси OY и растянуть его вдоль осиOX в два раза (рис.
29).37Заметим, что, так как график функции y = f (x ) симметричен относительно оси OY, то есть функция f ( x ) являетсячетной, то отражение относительно OY не меняет вид графика.Пример 9. Постройте график функции y = 2 4 − x .Решение.Запишем функцию в видеy = 2 − ( x − 4) . Следовательно,построениеграфика производитсяпоследовательным выполнением преобразований известногографика функции y =x (рис. 9): симметричное отражениеотносительно оси OY, параллельный перенос на четыре единицы вправо и растяжение графика от оси OХ в два раза(рис. 30).§ 8.
Линейные и квадратичные функцииy = kx + b . Функция определенана всей числовой прямой, D( f ) = Ў . Множество ее изменения – также множество всех действительных чисел,E ( f ) = Ў . Функция не ограничена. Она не имеет точек эксЛинейная функциятремума. При k > 0 функция является возрастающей, приk < 0 – убывающей.При k = 0 функция является постоянной. Графиком линейной функции является прямая.38Угловой коэффициент k прямой равен тангенсу угла междупрямой и положительным направлением оси абсцисс,k = tg α (рис. 31). Из аксиом геометрии известно, что еслидве точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямаяпринадлежит плоскости.
Поэтому для построения графикалинейной функции достаточно задать две точки.Квадратичная функцияy = ax 2 + bx + c( a ≠ 0 ).Функция определена на всей числовой прямой. Графикомквадратичной функции является парабола.Для построения графика квадратичной функции целесообразно преобразовать формулу, выделив полный квадрат:2b ц 4ac − b2жy = ax + bx + c = a з x += a ( x − x0 ) 2 + y 0 ,ч +2a4aиш2гдеb4ac − b 2, y0 =. Таким образом, получаем, что вер2a4aшина параболы находится в точке с координатамиx0 = −x0 = −b4ac − b 2.
График квадратичной функции сим, y0 =2a4aметричен относительно прямой x = x0 .При a > 0 ветви параболы направлены вверх. В точкеx0 функция имеет минимум и принимает в этой точке наименьшее значение. При x > x0 функция возрастает, приx < x0 функция убывает. В этом случае квадратичная функция ограничена снизу и не ограничена сверху.39При a < 0 ветви параболы направлены вниз.
В точке x0функция имеет максимум и принимает в этой точке наибольшее значение. При x > x0 функция убывает, при x < x0функция возрастает. В этом случае квадратичная функцияограничена сверху и не ограничена снизу.Если дискриминант соответствующего квадратногоуравнения положителен, то парабола пересекает ось абсциссв двух точках.
Если дискриминант равен нулю, то параболакасается оси абсцисс. Если дискриминант отрицателен, топарабола расположена выше оси абсцисс, если a > 0 , и нижеоси абсцисс, если a < 0 .Пример 10. Постройте графики функций y = x 2 − 2 x − 3и y = 2 x − x2 − 2 .Решение. Вершина параболыкоординатыx0 = 1y = x2 − 2 x − 3имеетиy0 = − 4 . Так как старшийкоэффициент a = 1 положителен, то ветви параболынаправлены вверх. Также,решивуравнениеx 2 − 2 x − 3 = 0 , можно найти точки пересечения с осью абсцисс:x1 = − 1 и x2 = 3 (рис. 32).Дляпараболыy = 2 x − x − 2 аналогично полу2чаем, что x0 = 1 и y0 = − 1 , и ветви ее направлены вниз. Дан40ная парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс, таккак дискриминант соответствующего квадратного уравненияотрицателен (рис.
33).§ 9. Построение графиковдробно-линейных функцийax + b, где c ≠ 0 и ad ≠ bc , назыcx + dвается дробно-линейной. Графиком этой функции являетсягипербола.Частным случаем дробно-линейной функции являетсяФункция вида y =k. График этойxфункции состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. При k > 0 гипербола расположена впервой и третьей четвертях, при k < 0 – во второй и четвертой четвертях.3x + 10Пример 11. Постройте график функции y =.2x + 4Решение.Выделимцелуючастьдробифункция обратной пропорциональности y =3x + 10 3x + 6 + 4 1,5( 2 x + 4) + 42=== 1,5 +.2x + 42x + 42x + 4x+ 2Таким образом, уравнение, которым задается график функy=ции, примет вид y = 1,5 +2.
График заданной функции поx+ 2лучается из графика функции y =411сдвигом на 2 единицы поxоси OX влево, растяжением вдоль оси OY в 2 раза и сдвигомна 1,5 единицы по оси OY вверх.Заметим, что график функции не пересекает прямыеx = − 2 и y = 1,5 , хотя и приближается к ним достаточно близко. Такие прямые называются асимптотами графика функции. График дробно-линейной функции имеет две асимптоты– вертикальную x = − 2 и горизонтальную y = 1,5 .
Построение графика удобно начинать именно с нахождения асимптот:для нахождения вертикальной асимптоты приравниваем знаменательдроби нулю, а для нахождения горизонтальнойасимптоты выделяем целую часть дроби (рис. 34).Построение графика произвольной дробно-линейнойax + bвыполняется по алгоритмам, разобранcx + dным в примере 11.Упражнения8. Постройте графики функций:функции y =9.а) y = 2 3x − 1 ;б) y =4 x + 10 − 3 ;в) y = 2 +3− x ;г) y = 2 x + 5 − 3 ;д) y = 2 −x+ 4;е) y = 3 −2x + 9 .Постройте графики функций:а) y = 3 ⋅ 2 x − 1 ;б) y = 0,52 x + 3 − 6 ;в) y = 20,5 x − 4 ;г) y = log2 ( x + 3) − 1 ;42x− 2;е) y = 2 cos 3 x + 3 ;2ж) y = − log0,5 ( x + 5) ; з) y = log3 ( 2 x − 1) + 4 .д) y = 3 sin10.
Постройте графики функций:а) y = x 2 − 7 x + 2 ;б) y = 2 x 2 − 10 x − 1,5 ;в) y = − x 2 + 4 x + 6 ;г) y = 0,5 x 2 − 3x − 3 ;д) y = − x 2 − 6 x + 1 ;е) y = − 0,5 x 2 + 2 x + 5 .11. Постройте графики функций:4x − 12x + 5а) y =;б) y =;x+ 3x− 25 − 4x3 − 2xг) y =;д) y =;x− 4x− 13x + 5;x− 47 − 2xе) y =.x+ 2в) y =§ 10. Построение графиков функций,содержащих модуль x, x ≥ 0По определению x = − x, x < 0 . Исходя из этого, получаем, что график функции y = x состоитиз двух лучей: y = x при неотрицательныхx и y = − x при отрицательных x. Построение этого графика можно проводить также,используя преобразование симметрии относительно оси ОХ.Так как модуль любоговыражения неотрицателен,то все точки графика43хy = f ( x) расположены выше оси абсцисс, или на оси абсцисс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
