Гриншпон И.Э., Гриншпон Я.С. - Элементарные функции и их графики (1081341), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Она не имеет точек экстремума и непринимает ни наименьшее, ни наибольшее значения. Графикфункции y = ctg x пересекает ось абсцисс в точках26π+ π k ( k О ў ). Функция y = ctg x является периодиче2ской, ее период T = π . Функция y = ctg x является нечетной,ее график симметричен относительно начала координат.Функция не является монотонной на всей области определения, но она убывает на каждомпромежутке( π n; π + π n )(x=n О ў ), в точкахx = π n ( n О ў ) функция имеет разрывы.
График этой функции называется котангенсоидой. Учитывая периодичность,достаточно построить график на отрезке длиной π , например ( 0; π ) , а затем копировать его (рис. 16).Обратные тригонометрические функции.Напомним определения обратных тригонометрическихвыражений. Арксинусом числа а называется угол α такой, π π что sin α = a и α ∈ − ; . Арккосинусом числа а называ 2 2ется угол α такой, что cos α = a и α ∈ [0; π ] . Арктангенсом π π числа а называется угол α такой, что tg α = a и α ∈ − ; 2 2.
Арккотангенсом числа а называется угол α, такой, чтоctg α = a и α ∈ (0; π ) .27Функция y = arcsin x является обратной к функцииy = sin x . Используя свойства прямой функции, получимсвойства обратной. Для этого рассмотрим часть графикафункции y = sin x , на которой синус каждое свое значениепринимает только один раз (промежуток монотонности π π функции) – отрезок − ; . Функция y = arcsin x каждому 2 2значению синуса ставит в соответствие его аргумент. Такимобразом, область определения функции y = arcsin x – отре π π зок [–1; 1], множество изменения – отрезок − ; .
Функ 2 2ция ограничена и сверху и снизу. Наименьшее значениеy= −πфункция принимает в точке2π2функция принимает в точке x = 1 .Функция y = arcsin x является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат. Функция является монотонновозрастающей на всей области определения. График функции y = arcsin x симметричен рассмотренной выше частиграфика функции y = sin x относительно биссектрисы перx = − 1 , наибольшее значение y =вой и третьей координатных четвертей (рис. 17).Функция y = arccos x является обратной к функцииy = cos x . Используя свойства прямой функции, получим28свойства обратной.
Для этого рассмотрим часть графикафункции y = cos x , на которой косинус каждое свое значениепринимает только один раз (промежуток монотонности функции) – отрезок [ 0; π ] . Функцияy = arccos x каждому значениюкосинуса ставит в соответствиеего аргумент. Таким образом,область определения функции y = arccos x – отрезок [–1; 1],множество изменения – отрезок [ 0; π ] . Функция ограниченаи сверху и снизу. Наименьшее значение y = 0 функция принимает в точке x = 1 , наибольшее значение y = π функцияпринимает в точке x = − 1 . Функция y = arccos x не являетсяни четной, ни нечетной.
Функция является монотонно убывающей на всей области определения. График функцииy = arccos x симметричен рассмотренной выше части графика функции y = cos x относительно биссектрисы первой итретьей координатных четвертей (рис. 18).Функция y = arctg x является обратной к функцииy = tg x .
Используя свойствапрямой функции, получимсвойства обратной. Для этогорассмотрим одну ветвь графика функции y = tg x , на которой тангенс каждое свое значение принимает только один раз (промежуток монотонно-29 π π сти функции) – интервал − ; . Функция y = arctg x каж 2 2дому значению тангенса ставит в соответствие его аргумент.Таким образом, область определения функции y = arctg x –вся числовая прямая, D( f ) = Ў , множество изменения – ин π π тервал − ; . Функция ограничена и сверху и снизу, но 2 2она не принимает ни наименьшего, ни наибольшего значений.
Функция y = arctg x является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат. Функция являетсямонотонно возрастающей на всей области определения. График функции y = arctg x симметричен ветви графика функции y = tg x относительно биссектрисы первой и третьейкоординатных четвертей (рис.
19).Функция y = arcctg x является обратной к функцииy = ctg x . Используя свойства прямой функции, получимсвойства обратной. Для этого рассмотрим одну ветвь графика функции y = ctg x , на которой котангенс каждое свое значение принимает только одинраз (промежуток монотонностифункции) – интервал ( 0; π ) .Функция y = arcctg x каждомузначению котангенса ставит в соответствие его аргумент. Таким образом, область определения функции y = arcctg x –вся числовая прямая, D( f ) = Ў , множество изменения – интервал ( 0; π ) .
Функция ограничена и сверху и снизу, но она30не принимает ни наименьшего, ни наибольшего значений.Функция y = arcctg x не является ни четной, ни нечетной.Функция является монотонно убывающей на всей областиопределения. График функции y = arcctg x симметричен ветви графика функции y = ctg x относительно биссектрисыпервой и третьей координатных четвертей (рис. 20).Показательная функция y = a x , где a > 0 и a № 1 .Область определения функции – вся числовая прямая,D( f ) = Ў .
Функция принимает только положительныеE ( f ) = (0; + ∞ ) .значения:Функция ограничена снизу ине ограничена сверху. Она не принимает ни наименьшего, нинаибольшего значений, неимеет точек экстремума.Показательная функция неявляется ни четной, ни нечетной. График функциипересекает ось ординат вточке (0; 1) , ось абсцисс онне пересекает. При a > 1 функция является возрастающей(рис.
21), а при 0 < a < 1 – убывающей (рис. 22) на всей области определения.Логарифмическая функция y = loga x , где a > 0 иa ≠ 1 . Логарифмическая функция является обратной к показательной. Поэтому ее область определения – множество по-31ложительных чисел, D( f ) = (0; + ∞ ) , область изменения –множество действительных чисел, E ( f ) = Ў . Функция неограничена ни сверху, ни снизу. Она не принимает ни наименьшего, ни наибольшегозначений, не имеет точек экстремума. Логарифмическая функция не является ни четной,ни нечетной. График функциипересекает ось абсцисс в точке(1; 0) , ось ординат график непересекает. При a > 1 функцияявляетсявозрастающей(рис.
23), а при 0 < a < 1 – убывающей (рис. 24) на всей области определения. График функции y = loga x симметричен графику функции y = a x относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей.1.УпражненияНайдите области определения функций:x+ 1а) y = 2;б) y = 14 − 5 x − x 2 ;x − 5x + 6x− 715 + 2 x − x 2 ;в) y =;г)y=x 2 − 9 x + 20xx+ 9д) y = 3;е) y = ( x + 1)( x 2 − 4 x − 12) ;x − 4x32ж) y =x2 − 9 ;x− 6з) y = log3 ( 4 x − 7) ;x+ 1.5Найдите множества изменения функций:к) y = arcsinи) y = log2 (12 + 4 x − x 2 ) ;2.а) y = x 2 − 10 x + 17 ;б) y =в) y = log2 ( x 2 − 6 x + 13) ;г) y = 4 sin 2 x ;12 + 4 x − x 2 ;е) y = 3 ⋅ 24 x + 1 − 7 .3x + 22 − 3xДокажите, что функции y =и y=яв2x + 32x − 3ляются взаимно обратными.Какие из данных функций будут четными, какие нечетными:д) y = − 5 sin x + 2 ;3.4.5.6.а) y = x 4 − 3x 2 − 7 ;б) y = 2 x 5 + 7 x 3 − 8 x ;в) y = x ⋅ sin x + 2 cos x ;г) y =x2 + 9 + 2 | x |;x− 1д) y = ( x 2 + x ) ⋅ cos x ;е) y = lg.x+ 1Определите, какие функции будут периодическими инайдите их периоды:π x 3π а) y = 4 sin 2 x + ;б) y = 5 cos +;42 8 5π 2π в) y = 2 tg 3 x −;г) y = ctg 4 x −.12 3 Представьте сложную функцию в виде цепочки элементарных функций:а) y =x 3 − 3x 2 + 11 ;б) y =3335x2− 9x+ 1+ 21 ;в) y = sin( x 2 +x + 2) ;г) y =sin 3 x 2 + 9 ;е) y = sin 6 (lg(3x + 4)) .Составьте суперпозиции f ( g ( x )) и g ( f ( x )) , если:а) f ( x ) = x 3 , g ( x ) = x + 3 ; б) f ( x ) = cos x , g ( x ) = x 2 ;д) y = lg(cos( 2 x + 1)) ;7.в) f ( x ) =x , g ( x) = x2 + x + 1;г) f ( x ) = x − 1 , g ( x ) = 2 x − 1 .§ 7.
Линейные преобразования графиковфункцийВ этом параграфе мы рассмотрим основные линейныепреобразования графиков функций – параллельный переносграфика функции и растяжение графика функции.1. Параллельный перенос графикафункции y = f (x ) вдоль оси OY, то естьb<0 b>0построение графика вида y = f ( x ) + b .Если b > 0 , то ординаты всех точек графика функции увеличиваются на b единиц, а если b < 0 , тоординаты всех точек графика функции уменьшаются на bединиц.2. Параллельный перенос графикафункции y = f (x ) вдоль оси OХ, то естьпостроение графика вида y = f ( x − a ) . a <0 a >0Если a > 0 , то график функции сдвигаетсяна а единиц вправо, а если a < 0 , то график функции сдвигается на a единиц влево.34Пример 5. Задан график функции y = f (x ) (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
