Гриншпон И.Э., Гриншпон Я.С. - Элементарные функции и их графики (1081341), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Функция y = f ( x) называется четной,если ее область определения симметрична относительно начала координат, и f ( − x ) = f ( x ) для любого x ∈ D( f ) .Определение 10. Функция y = f ( x ) называется нечетной, если ее область определения симметрична относительноначала координат, и f ( − x ) = − f ( x ) для любого x ∈ D( f ) .График четной функции имеет ось симметрии: так какточки ( x; f ( x )) и ( − x; f ( x )) принадлежат графику функции,то он симметричен относительно оси ординат.
График нечетной функции имеет центр симметрии: так как точки( x; f ( x )) и ( − x; − f ( x )) принадлежат графику функции, тоон симметричен относительно начала координат.Четные и нечетные функции обладают следующимисвойствами:181) сумма двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная);2) произведение двух четных (нечетных) функций естьфункция четная; произведение четной и нечетной функцийесть функция нечетная;3) если нечетная функция f ( x) определена в нуле, тоf (0) = 0 ;4) всякая функция, определенная на множестве Х, симметричном относительно начала координат может бытьпредставлена в виде суммы двух функций, определенных наХ, причем одна из этих функций является четной, а другая –нечетной.Определение 11. Функция y = f ( x ) называется периодической, если существует такое число T > 0 , что для любого x ∈ D( f ) точка x + T ∈ D( f ) и справедливо равенствоf ( x + T ) = f ( x) .Наименьшее из чисел Т в определении 11 называют периодом.
Периодическая функция имеет бесконечно многопериодов, все они кратны числу Т.Все введенные в этом параграфе определения используются при исследовании функций и построении графиков.§ 6. Основные элементарные функцииВ этом параграфе мы рассмотрим основные элементарные функции. Для каждой функции запишем ее свойства иначертим график.Степенные функцииy = xα , где α О Ў .
Рассмотримнесколько частных случаев степенной функции.19Функции y = x 2 n ( n О Ґ ). Функции определены на всейчисловой прямой, D( f ) = Ў . Они принимают только неотрицательные значения, E ( f ) = [0; + ∞ ) . Функции являются четными, их графики симметричны относительно оси ординат.Эти функции ограничены снизу.
В точке x = 0 они имеютминимум и принимают наименьшее значение, равное 0, сверху функции не ограничены(рис. 5).Функции y = x 2 n − 1 ( n О Ґ ). Функции определены навсей числовой прямой, D( f ) = Ў . Множества их изменения –также вся числовая ось E ( f ) = Ў , то есть эти функции неограничены ни сверху, ни снизу. Функции являются нечетными, их графики симметричныотносительно начала координат(рис. 6).1− 2n= 2 n ( n О Ґ ). Функции определеныФункции y = xxдля всех значений х, отличных от 0, то есть D( f ) = Ў \{0} .ОнипринимаюттолькоположительныезначенияE ( f ) = (0; + ∞ ) .
Эти функцииограничены снизу, но они непринимают свое наименьшеезначение. Функции являютсячетными, их графики симмет20ричны относительно оси ординат. При x > 0 функции убывают, при x < 0 функции возрастают. Графики функций непересекают оси координат (рис. 7).1− 2n+ 1= 2 n − 1 ( n О Ґ ). Функции опредеФункции y = xxлены для всех значений х, отличных от 0, то естьD( f ) = Ў \{0} .
Множества их изменения также все значенияу, отличные от 0, то естьE ( f ) = Ў \ {0} . Эти функциине ограничены ни сверху, ниснизу. Функции являются нечетными, их графики симметричны относительно начала координат. Функции убываютпри x < 0 и при x > 0 . Точка x = 0 – точка разрыва функции.Графики функций не пересекают оси координат (рис. 8).Функции y =2nx=12x n( n О Ґ ). Функции определеныдля всех неотрицательных значений х, то естьD( f ) = [0; + ∞ ) . Множества их изменения также все неотрицательные значения у, то есть E ( f ) = [0; + ∞ ) . Эти функцииограничены снизу и не ограничены сверху. Наименьшее значение у = 0 функции принимаютпри х = 0. Функции возрастаютна всей области своего определения.
Графики функций расположены в первой четверти(рис. 9).21Функции y = x 2 n и y =2nx взаимнообратны при x ≥ 0, а значит, их графики симметричны относительно биссектрисы первой четверти.Функции y =2n − 1x=12nx −1( n О Ґ ). Функции определе-ны для всех значений х, тоесть D( f ) = Ў . Множестваих изменения – также всезначения у, то есть E ( f ) = Ў.Эти функции не ограниченыни сверху, ни снизу. Функции возрастают на всей областисвоего определения. Функции являются нечетными, их графики симметричны относительно начала координат (рис.
10).Функции y = x 2 n − 1 и y =2n − 1x взаимнообратны. Ихграфики симметричны относительно биссектрисы первой итретьей четвертей.Функции y = x−12n=1( n О Ґ ). Функции определеныx2nдля всех положительных значений х, то есть D ( f ) = (0; + ∞ ) .Множества их изменения – также все положительные значения у, то есть E ( f ) = (0; + ∞ ) .Эти функции ограничены снизу и не ограничены сверху, ноони ни в одной точке не принимают свое наименьшее значение. Функции убывают на22всей области своего определения. Графики функций расположены в первой четверти (рис.
11).1Функции y = x − 2 n и y = x − 2 n взаимнообратны приx > 0 , и их графики симметричны относительно биссектрисыпервой четверти.Функции y = x−12n− 1=12n− 1x( n О Ґ ).Функции определе-ны для всех значений х, отличных от 0, то есть D( f ) = Ў \{0}. Множества их изменения – также все значения у, отличныеот 0, то есть E ( f ) = Ў \ {0} .
Эти функции не ограничены нисверху, ни снизу. Функции являются нечетными, их графикисимметричны относительноначала координат. Функцииубывают при x < 0 и приx > 0 . Точка x = 0 – точкаразрыва функции. Графикифункций не пересекают осикоординат (рис. 12).1Функции y = x − 2 n + 1 и y = x − 2 n − 1 взаимнообратны. Ихграфики симметричны относительно биссектрисы первой итретьей четвертей.Тригонометрические функции.Функция y = sin x . Область определения функции – всячисловая прямая, D( f ) = Ў .
Она принимает значения,удовлетворяющие условиюy Ј 1 , то есть E ( f ) = [ − 1; 1] .23Функция ограничена и сверху и снизу. Наименьшее значениеπ+ 2π n ( n О ў ), и2эти точки являются точками минимума. Наибольшее значеy = − 1 функция принимает в точках x = −π+ 2π m ( m О ў ),2и эти точки являются точками максимума. График функцииy = sin x пересекает ось абсцисс в точках x = π k ( k О ў ).Функция y = sin x является периодической, ее периодние y = 1 функция принимает в точках x =T = 2π . Функция y = sin x яв-ляется нечетной,ее график симметричен относительно начала координат.
Функция не является монотонной на всей области определения, но она возрастает на каж-π πдом промежутке − + 2π n; + 2π2 2n ( n О ў ) и убывает на3ππ+ 2π m ( m О ў ). Графиккаждом промежутке + 2π m;22этой функции называется синусоидой. Учитывая периодичность, достаточно построить график на отрезке длиной 2π ,например [0; 2π ] , а затем копировать его (рис.
13).Функция y = cos x . Область определения функции всячисловая прямая:D( f ) = Ў . Она принимает значения,удовлетворяющие условиюy Ј 1 , то есть E ( f ) = [ − 1; 1] .24Функция ограничена и сверху и снизу. Наименьшее значениеy = − 1 функция принимает в точках x = π + 2π n ( n О ў ), иэти точки являются точками минимума. Наибольшее значение y = 1 функция принимает в точках x = 2π m ( m О ў ), иэти точки являются точками максимума. График функцииy = cos x пересекает ось абсцисс в точках x = π + π k ( k О ў2y=cosx). Функцияявляется периодической, ее периодy=cosx является четной, ее график симT = 2π . Функцияметричен относительно оси ординат. Функция не являетсямонотонной на всей области определения, но она возрастаетна каждом промежутке [π + 2π n; 2π + 2π n ] ( n О ў ) и убываетна каждом промежутке [ 2π m; π + 2π m] ( m О ў ).
График этойфункции называется косинусоидой. Учитывая периодичность, достаточно построить график на отрезке длиной 2π ,например [0; 2π ], а затем копироватьего(рис. 14).Функцияy = tg x . Область определения функции все действительныезначениях,x=кромеπ+πm2( m О ў ):мπьD( f ) = Ў \ н + π m m О ў э . Множество ее изменения – всяо2ючисловая прямая, E ( f ) = Ў . Функция y = tg x не ограничена25ни сверху, ни снизу. Она не имеет точек экстремума и непринимает ни наименьшее, ни наибольшее значения.
Графикфункции y = tg x пересекает ось абсцисс в точках x = π k (k О ў ). Функция y = tg x является периодической, ее периодT = π . Функция y = tg x является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат. Функция не является монотонной на всей области определения, но она воз-π πрастает на каждом промежутке − + π n; + π n ( n О ў ), в2 2точкахπ+πn(2n О ў ) функцияимеет разрывы.График этой функции называется тангенсоидой. Учитываяпериодичность, достаточно построить график на отрезке длиx= π π ной π , например − ; , а затем копировать его (рис. 15). 2 2Функция y = ctg x . Область определения функции всеx = π m ( m О ў ):действительные значения х, кромеD( f ) = Ў \ { π m m О ў } . Множество ее изменения – вся чи-словая прямая, E ( f ) = Ў . Функция y = ctg x не ограниченани сверху, ни снизу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
