Гриншпон И.Э., Гриншпон Я.С. - Элементарные функции и их графики (1081341), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Из этого следует, что для получения графика функцииy = f ( x) все точки графика функции y = f (x ) , лежащиевыше или на оси ОХ, нужно оставить на месте, а все точки, лежащие ниже оси ОХ, отобразить симметрично относительноэтой оси.Пример 12. Постройте график функции y = x − 3 − 4 .Решение.
Построение графика будем выполнять последовательно. Сначала строим график функции y = x . Затемсдвигаем его на 3 единицы вправо и на 4 единицы вниз. Заметим, что при этом вершина графика окажется в точке скоординатами x0 = 3 и y0 = − 4 (рис. 35).2Пример 13. Постройте график функции y = x − 3 x − 4 .Решение. Построение графика будем выполнять последовательно.Сначаластроим график функцииy = x 2 − 3x − 4 как параболу с вершиной в точкеx0 = 1,5 , y0 = − 6, 25 и ветвями,направленнымивверх.
Затем точки графика, расположенные ниже оси ОХ, –это точки, у которых координата x принадлежит интервалу(− 1; 4) , – отображаем симметрично относительно этой оси(рис. 36).44Пример14.Постройтеграфикфункцииy = 2x2 − 4 x + 1 .Решение.Функцияy = 2 x − 4 x + 1 – четная.2Ее график симметричен относительно оси OY, причемпри неотрицательных x онсовпадаетспараболойy = 2 x 2 − 4 x + 1 , имеющей вершину x0 = 1 , y0 = − 1 и ветви,направленные вверх. Сначала построим часть данной параболы при неотрицательных х, а затем полученную кривую симметрично отобразим относительно оси OY (рис. 37).Упражнения12. Постройте графики функций:а) y = | x 2 − 7 x + 10 | ;б) y = | x 2 − x − 6 | ;в) y = | x 2 − 7 x + 12 | ;г) y = | x 2 − 3x − 10 | ;д) y = | x 2 − 2 x − 8 | ;е) y = | x 2 + 3 x − 4 | .13.
Постройте графики функций:а) y = x 2 − 2 | x | − 4 ;б) y = x 2 − 4 | x | − 1 ;в) y = x 2 + 2 | x | − 3 ;г) y = x 2 − 6 | x | + 1 ;д) y = x 2 − 8 | x | + 4 ;е) y = x 2 − 6 | x | + 2 .14. Постройте графики функций:а) y = | x 2 − 7 | x | + 6 | ;б) y = | x 2 − 3 | x | − 4 | ;в) y = | x 2 − 6 | x | + 5 | ;г) y = | x 2 + 2 | x | − 8 | ;45д) y = | x 2 − 6 | x | + 8 | ;е) y = | x 2 − | x | − 6 | .15. Постройте графики функций:б) y = 2|x − 1| − 4 ;а) y = 1 + log2 | x − 3 | ;в) y = 2 | cos x | − 1 ;г) y = | log2 ( x + 1) | − 2 ;д) y = | 2 x + 3 − 6 | ;е) y = 4 sin | x | − 2 .§ 11. Гармонические колебанияТригонометрические функции используются для описания различных колебательных процессов: колебания груза,подвешенного на пружине, вокруг положения равновесие, закон изменения переменного тока в цепи, колебания маятника, распространение звуковых и цветовых волн и т.д.Формулы y = A sin(ω x + ϕ ) и y = A cos(ω x + ϕ ) , с помощью которых описываются такие процессы, называютсяформулами гармонических колебаний.
Положительная величина А называется амплитудой колебания, положительнаявеличина ω – частотой колебания, величина ϕ – начальнойфазой колебания. Амплитуда характеризует размах колебания, частота – количество колебаний в единицу времени.Построение графиков гармонических колебаний (гармоник) y = A sin(ω x + ϕ ) , y = A cos(ω x + ϕ ) производится внесколько этапов.Рассмотрим алгоритм построения графика функцииy = A sin(ω x + ϕ ) : а) строим график функции y = sin x ;б) строим график функции y = sin( x + ϕ ) , сдвигая графикфункции y = sin x на |ϕ| единиц по оси ОХ (если ϕ > 0 , то46сдвигаем влево, если ϕ < 0 , то сдвигаем вправо); в) строимграфик функции y = sin(ω x + ϕ ) , сжимая его в ω раз к осиOY; г) строим график функции y = A sin(ω x + ϕ ) , растягиваяего в A раз от оси ОХ.y = A sin(ω x + ϕ )Заметим,чтофункциииy = A cos(ω x + ϕ ) , описывающие гармонические колебания,2π.
Они ограниωчены сверху и снизу, их наибольшее и наименьшее значенияравны ± A .Пример 15. Постройте график гармонического колебаявляются периодическими с периодом T =2π цжния y = 3cos з 2 x −ч.3 шиРешение. Дляэтой гармоники амплитуда A = 3 , частота– ω = 2 , начальная фаза2π.3Строим график функ-–ϕ = −2πции y = cos x ; сдвигаем наединиц по оси ОХ вправо;3сжимаем график к оси OY в 2 раза; растягиваем от оси OX в 3раза (рис. 38).47Пример 16. Постройте график гармонического колеба-π цжния y = 3cos 2 з x − ч .6шиРешение.
Преобразуем формулу, раскрыв в аргументеπ цжкосинуса скобки: y = 3cos з 2 x − ч . Следовательно, для этой3шигармоники амплитуда A = 3 , частота – ω = 2 , начальная фазаπ.3Строим графикфункции y = cos x ;–ϕ = −π3единиц по оси ОХ вправо; сжимаем график к оси OY в 2 раза; растягиваем от оси OXв 3 раза (рис. 39).Пример 17. Постройте график гармонического колебасдвигаем график наπ ния y = − 3 cos 2 x − .3Решение. Эта формула не задает гармоническое колебание, так как A = − 3 < 0 . Применив формулу приведенияcos( x + π ) = − cos x ,преобразуемформулуквиду:π цжy = 3cos з 2 x + ч .3шиСледовательно, для48этой гармоники амплитуда A = 3 , частота – ω = 2 , начальнаяфаза – ϕ =π.3πСтроим график функции y = cos x ; сдвигаем наеди3ниц по оси ОХ влево; сжимаем график к оси OY в 2 раза; растягиваем от оси OX в 3 раза (рис. 40).Упражнения16.
Постройте графики функций:2π б) y = − cos x +3 жx π ца) y = 3sin з + ч ;и2 4ш2π в) y = 2 cos 2 x −;3 3π г) y = 3 cos 3x −;4 π д) y = 4 sin 2 x + ;6π е) y = 2 sin 3x − ;45π ж) y = 1,5 cos 4 x +;3 x 5π з) y = 4 cos +.2 8 49Литература1. Абрамов А.М., Виленкин Н.Я., Дорофеев Г.В. Избранныевопросы математики. Факультативный курс. / А.М. Абрамов, Н.Я. Виленкин, Г.В. Дорофеев.
М.: Изд-во «Просвещение», 1980.2. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа длявтузов / A.Ф. Бермант. – М.: Изд-во физ-мат. литературы,1963.3. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа, т.1 / К.А. Бохан, И.А. Егорова, К.В. Лащенов. – М.: Изд-во «Просвещение», 1972.4. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы / В.А. Гусев, А.Г. Мордкович. – М.: Изд-во «Просвещение», 1988.5.
Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьныйкурс алгебры и начал анализа / В.С. Крамор. – М.: Изд-во«Просвещение», 1990.6. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшейматематики / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. – М.: Издво «Наука», 1986.7. Потапов М.К., Александров В.В., Пасиченко П.И. Алгебра и анализ элементарных функций. / М. К. Потапов, В.В. Александров, П. И. Пасиченко. – М.: Изд-во «Наука»,1980.8.
Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики / Д.Я.Стройк. – М.: Изд-во «Наука», 1984.9. Туманов С.И. Элементарная алгебра. Пособие для самообразования / С.И. Туманов. – М.: Изд-во«Просвещение», 1970.10. Факультативный курс по математике. Учебное пособиедля 7-9 классов средней школы / Сост. И.Л. Никольская.
–М.: Изд-во «Просвещение», 1991.5011. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. – М.: Изд-во «Наука», 1966.12. Шувалова Э.З., Агафонов Б.Г., Богатырев Г.И. Повторимматематику / Э.З. Шувалова, Б.Г. Агафонов, Г.И. Богатырев. – М.: Изд-во «Высшая школа», 1969.51ОглавлениеВведение.......................................................................................4§ 1.
Множества. Операции над множествами. Числовые множества............................................................................................7§ 2. Понятие функции................................................................10§ 3. Сложная функция...............................................................13§ 4. Обратная функция..............................................................14§ 5. Свойства функций..............................................................16§ 6.
Основные элементарные функции....................................20§ 7. Линейные преобразования графиков функций................35§ 8. Линейные и квадратичные функции.................................39§ 9. Построение графиков ........................................................42дробно-линейных функций.......................................................42§ 10. Построение графиков функций, содержащих модуль.
.44§ 11. Гармонические колебания...............................................47Литература.................................................................................5152.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
