11 - Обратная матрица. Теорема о ее единственности. Критерий существования обратной матрицы. Присоединенная матрица (1080564)
Текст из файла
ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÃÅÎÌÅÒÐÈßÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÌÃÒÓÊîíñïåêò ëåêöèéÔÍ-12ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÀßÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Москва2009ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓЛекция 11Обратная матрица. Теорема о ее единственности. Критерий существования обратной матрицы.
Присоединенная матрица. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединеннойматрицы и с помощью элементарных преобразований. Матрица, обратная произведению двухобратимых матриц. Решение матричных уравнений вида AX = B и XA = B с невырожденной матрицей А. Формулы Крамера.11.1. Обратная матрица и ее свойстваОпределение 11.1. Пусть A — квадратная матрица порядка n. Квадратную матрицу Bтого же порядка называют обратной к A, если AB = BA = E, где E — единичная матрицапорядка n.ÌÃÒÓJ Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть A−1 — матрица, обратная к А. Тогда det(AA−1 ) = det E = 1,но, согласно свойству определителей, det(AA−1 ) = det A det A−1 . Поэтому det A det A−1 = 1 и,следовательно, det A 6= 0.Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть det A 6= 0.
Обозначим через Aij алгебраическое дополнениематрицы А, соответствующее элементу aij , т.е. Aij = (−1)i+j Mij , где Mij — минор этого жеэлемента.Раскрывая определитель матрицы A по i-й строке, получаем равенстваi = 1, n.j=1По свойствам определителей, для любых индексов k 6= i выполнено равенствоnXaij Akj = 0.j=1ÔÍ-12105ÔÍ-12ÔÍ-12aij Aij = det A,ÌÃÒÓnXÌÃÒÓÌÃÒÓТеорема 11.2. Для того чтобы квадратная матрица A порядка n имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы det A 6= 0.ÔÍ-12Квадратная матрица не всегда имеет обратную.
Установить, имеет ли данная матрицаобратную, позволяет следующий критерий.J Предположим, что матрица A имеет две обратные матрицы В и В 0 . Тогда, согласно определению 11.1 обратной матрицы, выполнены, в частности, равенства AB 0 = E и BA = E. Используяассоциативность умножения матриц, получаем B = BE = В (AB 0 ) = (BA)В 0 = EB 0 = B 0 , т.е.матрицы B и B 0 совпадают.
IÌÃÒÓТеорема 11.1. Если квадратная матрица А имеет обратную матрицу, то обратная матрицаединственная.ÔÍ-12Обратную матрицу обозначают A−1 . Она позволяет определить целую отрицательную степень матрицы A. А именно, для n > 0 полагают A−n = (A−1 )n .ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓОБРАТНАЯ МАТРИЦАÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓAjiРассмотрим теперь квадратную матрицу В порядка n с элементами bij =. Матрицаdet AC = AB имеет элементы(nnnXX1, k = i,1 XAkj=aij Akj =cik =aij bjk =aijdet Adet A j=10, k 6= i,j=1j=1т.е. C — единичная матрица.Аналогично матрица C 0 = BA имеет элементыc0kj =nXbki aij =i=1nXi=1nAik1 Xaij=aij Aik =det Adet A i=1(1, j = k,0, j =6 k,следовательно, матрица C 0 также является единичной.Согласно определению 11.1, матрица B является обратной для A: B = A−1 .
IСледствие 11.1. Если квадратная матрица A имеет обратную, то det A−1 = (det A)−1 .J Действительно, det A−1 det A = det(A−1 A) = det E = 1. IКвадратную матрицу с ненулевым определителем называют невырожденной или неособой. В противном случае, когда определитель матрицы равен нулю, ее называют вырожденной. Итак, для существования обратной матрицы A−1 необходимо и достаточно, чтобыматрица A была невырожденной.J В соответствии с определением 11.1 обратной матрицы достаточно доказать два равенства:(AB)B −1 A−1 = E, (B −1 A−1 )(AB) = E. Используя ассоциативность умножения матриц (см.10.4), получаемÌÃÒÓТеорема 11.3. Если квадратные матрицы A и B порядка n имеют обратные матрицы, тои их произведение имеет обратную матрицу, причем (AB)−1 = B −1 A−1 .ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ106ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 11.
ОБРАТНАЯМАТРИЦАТеорема 11.4. Если матрица A порядка n имеет обратную, то и транспонированная маттттрица A имеет обратную, причем (A )−1 = (A−1 ) .ттт тJ Нужно убедиться, что A (A−1 ) = E и (A−1 ) A = E. Используя свойство произведенияматриц относительно операции транспонирования, имеемттттA (A−1 ) = (А−1 A) = E = E,т ттт(A−1 ) A = (AA−1 ) = E = E.I11.2. Вычисление обратной матрицыÔÍ-12Применяют два основных метода вычисления обратной матрицы. Первый вытекает из теоремы 11.2 и состоит в следующем. Пусть дана квадратная матрица A порядка n.
Матрицу A∗ ,транспонированную к матрице (Aij ) алгебраических дополнений, называют присоединенной.Как следует из доказательства теоремы 11.2, если A — невырожденная матрица, то обратнаяк ней имеет вид A−1 = det1 A A∗ .Таким образом, чтобы для квадратной матрицы порядка n найти обратную матрицу, надовычислить один определитель порядка n и составить присоединенную матрицу, т.е. вычислитьn2 определителей порядка n − 1.
Метод присоединенной матрицы эффективен при n = 2 илиn = 3, но при росте n становится слишком трудоемким.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓIÌÃÒÓÔÍ-12(B −1 A−1 )(AB) = B −1 (A−1 A)B = B −1 EB = B −1 B = E.ÔÍ-12ÔÍ-12(AB)(B −1 A−1 ) = A(BB −1 )A−1 = AEA−1 = AA−1 = E,ÌÃÒÓМы рассмотрим два вида матричных уравнений относительно неизвестной матрицы X:AX = B и XA = B, где A и B — известные матрицы, причем матрица A квадратная и невырожденная. Некоторую матрицу называют решением матричного уравнения относительнонеизвестной матрицы X, если при ее подстановке вместо X матричное уравнение превращаетсяв тождество.ÔÍ-1211.3.
Решение матричных уравненийÌÃÒÓПример 11.2. Продемонстрируем изложенный метод нахождения обратной матрицы дляматрицы из примера 11.1. Для этого записываем матрицу (A|E) и выполняем элементарныепреобразования ее строк в следующем порядке:12 1 01 2 1 0∼ (2) → (2) − 3(1) ∼∼ (1) → (1) + (2) ∼3 4 0 10 −2 −3 110 −2 11 0 −21∼∼ (2) → −0,5(2) ∼.0 −2 −3 10 1 1,5 −0,5−21−1Таким образом, A =.1,5 −0,5ÔÍ-12Второй метод вычисления обратной матрицы состоит в преобразовании исходной матрицык более простому виду с помощью элементарных преобразований строк.
Чтобы найти матрицу A−1 , обратную к A, фактически надо решить матричное уравнение AX = E. Отметим,что если над матрицей A выполняется какое-либо элементарное преобразование строк, то этоже преобразование осуществляется и над матрицей AX, поскольку любое элементарное преобразование строк матрицы эквивалентно умножению ее слева на соответствующую матрицуспециального вида (см. 10.5). Таким образом, если в уравнении AX = E над матрицами A иE одновременно выполнить какое-либо элементарное преобразование строк, т.е. домножить эторавенство слева на некоторую матрицу специального вида, то в результате получится новое матричное уравнение A1 X = B1 .
Оба эти матричные уравнения имеют одно и то же решение, таккак любое элементарное преобразование строк имеет обратное элементарное преобразованиестрок. Последовательность элементарных преобразований строк надо подобрать так, чтобы наs-м шаге матрица А превратилась в единичную матрицу. В результате этих s шагов получается уравнение As X = Bs , где As = E, т.е.
X = Bs . Итак, поскольку A−1 является решениемуравнения AX = E, которое эквивалентно X = Bs , то A−1 = Bs .Чтобы синхронно выполнять преобразования над матрицами в левой и правой частях матричного уравнения AX = E, записывают блочную матрицу (A | E) и выполняют такие элементарные преобразования строк этой матрицы, чтобы вместо A получить единичную матрицу E.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓОтметим, что для квадратной матрицы A второго порядка присоединенная матрица A∗ получается перестановкой в A диагональных элементов и изменением знака двух других.Проверка ответа выполняется в соответствии с определением 11.1 обратной матрицы: 1 2−211 0−211 21 0−1−1AA ==, A A==.
#3 41,5 −0,50 11,5 −0,53 40 1ÔÍ-12ÔÍ-121 2Пример 11.1. Выясним, имеет ли матрица А =обратную и если имеет найдем ее.3 4Поскольку det A = −2, матрица A является невырожденной и, согласно теореме 11.2, имеетобратную. Для ее вычисления последовательно находим 14 −34 −24 −2−21∗−1∗т, A =, A =−A ==.−21−3111,5 −0,52 −3ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ107ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 11. ОБРАТНАЯМАТРИЦАÌÃÒÓВоспользуемся методом элементарных преобразований.
Для этого запишем матрицу (A|B) ивыполним те же элементарные преобразования ее строк, что и в примере 11.2 (так как матрицыA и цели преобразований совпадают): 12 510 −3 −41 0 −3 −461 2 5 6∼∼∼.53 4 7 80 −2 −8 −100 −2 −8 −100 1 4Матричное уравнение XA = B также можно решить двумя способами. Если известнаматрица A−1 , то умножаем справа на A−1 матричное уравнение XA = B и после очевидныхпреобразований (XA)A−1 = BA−1 , Х (AA−1 ) = BA−1 , XE = BA−1 получаем ответ в видепроизведения двух матриц X = BA−1 .ÌÃÒÓПример 11.4. Найдем решение матричного уравнения XA = B, имеющего вид 1 25 6X=.3 47 8ÔÍ-12−3 −4Итак, X =.45Проверка ответа выполняется подстановкой найденного решения в исходное уравнение: 1 2−3 −45 6=. #3 4457 8Другой метод решения матричного уравнения XA = B состоит в транспонировании еготтт ттлевой и правой частей (XA) = B , A X = B . После введения новой неизвестной матритттцы Y = X получаем уравнение вида A Y = B , которое решается методом элементарныхпреобразований.ÔÍ-12Поскольку обратная матрица A−1 известна (см.
пример 11.2), то 5 6−21−1 2X==. #7 81,5 −0,5−2 3ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Пример 11.3. Найдем решение матричного уравнения AX = B, имеющего вид5 61 2X=.3 47 8ÌÃÒÓÌÃÒÓНачнем с уравнения AX = B и изложим два метода его решения.Первый метод предполагает вычисление обратной матрицы A−1 (например, при помощиприсоединенной матрицы) и дает запись решения матричного уравнения в виде X = A−1 B.Действительно, подставляя X = A−1 B в уравнение AX = B, получаем A(A−1 B) = B, т.е.B = B, и X = A−1 B является решением матричного уравнения AX = B.
Более того, эторешение единственно, так как для любого другого решения X 0 выполнено тождество AX 0 = B,после умножения которого слева на A−1 оказывается, что A−1 (AX 0 ) = A−1 B, т.е. (A−1 A)X 0 = Xи, следовательно, X 0 = X.Второй метод основан на элементарных преобразованиях строк блочной матрицы (A | B)и имеет своей целью преобразование ее к виду (E | B1 ), в котором вместо матрицы A стоитединичная матрица E. Тогда матрица B1 и будет решением уравнения.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
