11 - Обратная матрица. Теорема о ее единственности. Критерий существования обратной матрицы. Присоединенная матрица (1080564), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Если матрица B совпадает с единичной, то в этом частном случае получается метод элементарных преобразованийвычисления обратной матрицы.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ108ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 11. ОБРАТНАЯМАТРИЦАÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ10911.5. Пример1 35тX =2 461 3 5 7∼2 4 6 8Чтобырешить матричное уравнение из примера 11.4, транспонируем его7. После элементарных преобразований строк блочной матрицы получаем8713 5∼ (2) → −0,5(2) ∼(2) → (2) − 2(1) ∼0 −2 −4 −61 0 −1 −21 3 5 7∼∼ (1) → (1) − 3(2) ∼.0 1 2 30 1 23−1 −2−1 2тИтак, X =, X =, что, конечно же, совпадает c решением этого23−2 3уравнения, найденным в примере 11.4.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 11. ОБРАТНАЯМАТРИЦАполучающегося, если в матрице A заменить 1-й столбец на столбец свободных членов. Аналогично находим, что∆j, j = 1, n,(11.1)xj =det Aгде ∆j — определитель матрицы, получающейся из матрицы A заменой j-го столбца на столбецсвободных членов.

Таким образом, установлено следующее правило Крамера.Теорема 11.5. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притомединственное, которое определяется по формулам Крамера (11.1).Следствие 11.2. Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.ÔÍ-12Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится использовать другие методы нахождения решений.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Числитель представляет собой разложение по 1-му столбцу определителяb1 a12 . .

. a1n b2 a22 . . . a2n ∆1 =  . . . . . . . . . . ,bn am2 . . . amnÌÃÒÓÌÃÒÓA11 b1 + A21 b2 + . . . + An1 bn.det AÔÍ-12ÔÍ-12x1 = α11 b1 + α12 b2 + . . . + α1n bn =ÌÃÒÓРассмотрим СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей A в матричной записи Ax = b.В такой форме СЛАУ представляет собой частный случай матричного уравнения AX = B приB = b и X = x (см. 11.3). Поэтому она имеет единственное решение x = A−1 b, где A−1 —матрица, обратная к A.Чтобы выразить это единственное решение через коэффициенты СЛАУ, запишем A−1 в виде: A−1 = (αij ), где αij = Aji / det A, а Aji — алгебраическое дополнение элемента aji матрицыA. Перейдем от матричного равенства x = A−1 b к его координатной записи. Тогда для первыхэлементов в столбцах левой и правой частей последнего равенства имеемÔÍ-12ÔÍ-1211.4. Формулы КрамераÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕ...............................

. . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ........................... . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .105105106107109ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Лекция 11. Обратная матрица . . . . . . . . .11.1. Обратная матрица и ее свойства . . . .11.2.

Вычисление обратной матрицы . . . . .11.3. Решение матричных уравнений . . . . .11.4. Формулы Крамера . . . . . . . . . . . . .ÌÃÒÓÔÍ-12110ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.

Характеристики

Список файлов лекций