3 - Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его механический и геометрический смысл (1080555)
Текст из файла
ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÃÅÎÌÅÒÐÈßÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÌÃÒÓÊîíñïåêò ëåêöèéÔÍ-12ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÀßÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Москва2009ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 3ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВÌÃÒÓОриентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов,его механический и геометрический смысл. Свойства векторного произведения.
Вычислениевекторного произведения в координатной форме в ортонормированном базисе. Смешанноепроизведение трех векторов и его геометрический смысл. Объем тетраэдра. Свойства смешанного произведения. Вычисление смешанного произведения в ортонормированном базисе.Условие компланарности трех векторов.3.1. Векторное произведениеВекторное произведение вводится для двух векторов из V3 . Оно опирается на следующеепонятие.ÌÃÒÓОпределение 3.1. Упорядоченную тройку некомпланарных векторов a, b, c называютправой, если направление вектора a совмещается с направлением вектора b при помощикратчайшего поворота вектора a в плоскости этих векторов, который со стороны вектора cсовершается против хода часовой стрелки (рис. 3.1).
В противном случае (поворот по ходучасовой стрелки) эту тройку называют левой.ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓcРис. 3.1Так как упорядоченная тройка некомпланарных векторов образует базис в V3 , то такжеговорят о правых и левых базисах.
Каждый базис является либо правым, либо левым, т.е.все базисы в V3 разделяются на два класса: класс правых базисов и класс левых базисов. Класс,к которому относится фиксированный базис, называют его ориентацией.ÔÍ-12cbaРис. 3.2ÔÍ-1220ÌÃÒÓÔÍ-12Определение 3.2. Векторным произведением неколлинеарных векторов a и b называют такой вектор c, который удовлетворяет следующим трем условиям:1) вектор c ортогонален векторам a и b;2) длина вектора c равна |c| = |a| |b| sin ϕ, где ϕ — угол между векторами a и b;3) упорядоченная тройка векторов a, b, c является правой (рис.
3.2).ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓaÔÍ-12ÔÍ-12bÔÍ-12ÌÃÒÓЕсли векторы a и b коллинеарны, то |a| |b| sin ϕ = 0. Поэтому дополним определение 3.2,полагая, в соответствии с условием 2, что векторное произведение двух коллинеарных векторовесть нуль-вектор.Векторное произведение векторов a и b далее будем обозначать a×b, хотя в литературевстречается и обозначение [a, b].Векторное произведение используют, например, в механике.
Так, момент силы F , прило−−→женной к точке M , относительно некоторой точки O равен OM ×F (рис. 3.3). Рассмотримсвойства векторного произведения.OM´FFOMÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ21ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ ВЕКТОРОВÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3. ВЕКТОРНОЕИ СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯJ Необходимость. Если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нульвектору согласно определению. Докажем достаточность.
Если a×b = 0, то |a×b| = 0, т.е.|a| |b| sin ϕ = 0, где ϕ — угол между векторами a и b. Но тогда выполнено, по крайней мере, одно из трех равенств: |a| = 0, |b| = 0 или sin ϕ = 0. Каждое из этих равенств влечетколлинеарность векторов a и b. IСледующее свойство выражает геометрический смысл модуля векторного произведения.2◦ . Если векторы a и b неколлинеарны, то модуль |a×b| их векторного произведения равенплощади параллелограмма, построенного на этих векторах как на смежных сторонах (рис. 3.4).ÌÃÒÓÌÃÒÓ1◦ .
Для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы ихвекторное произведение равнялось нуль-вектору.ÔÍ-12ÔÍ-12Рис. 3.3J Свойство объясняется тем, что модуль векторного произведения и площадь параллелограммапо двум смежным сторонам и углу между ними вычисляют по одной и той же формуле какпроизведение длин векторов (сторон параллелограмма) на синус угла между ними. I3◦ .
Важнейшими свойствами векторного произведения являются следующие три:– свойство антикоммутативности a×b = −b×a;– свойство ассоциативности совместно с умножением на число (λa)×b = λ(a×b);– свойство дистрибутивности относительно сложения (a + b)×c = a×c + b×c.ÔÍ-12J Доказывая свойство антикоммутативности, заметим, что если векторы a и b коллинеарны,то в обеих частях равенства a×b = −b×a в соответствии со свойством 1◦ стоит нулевой вектор.Если же векторы a и b неколлинеарны, то существует плоскость, которой они параллельны.В силу первого условия определения 3.2 векторного произведения векторы a×b и b×a перпендикулярны этой плоскости и, следовательно, коллинеарны.
Ясно, что и длины векторов a×b иb×a равны, поскольку совпадают с площадью одного и того же параллелограмма (свойство 2◦ ).Остается доказать, что векторы a×b и b×a имеют противоположное направление. Это следуетиз того, что если тройка векторов a, b, a×b правая, то тройка b, a, a×b — левая. Поэтому, заменив в последней тройке третий вектор на противоположный, получим правую тройку векторовb, a, −a×b, причем вектор −a×b коллинеарен вектору b×a и имеет ту же длину. СогласноÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓРис.
3.4ÌÃÒÓÔÍ-12aÔÍ-12ÔÍ-12bÌÃÒÓопределению 3.2, это означает, что вектор −a×b равен векторному произведению векторов b иa, т.е. a×b = −b×a.Свойство ассоциативности доказывается аналогично. В случае коллинеарных векторов a иb, а также при λ = 0 векторы (λa)×b и λ(a×b) равны нуль-вектору, поскольку каждый из нихявляется или векторным произведением коллинеарных векторов, или произведением вектора начисло, равное нулю.
Следовательно, в рассматриваемых случаях равенство (λa)×b = λ(a×b)выполнено.Предположим теперь, что векторы a и b неколлинеарны, а λ 6= 0. Покажем сначала, что влевой и правой частях доказываемого равенства стоят коллинеарные векторы, равные по длине.Действительно, если считать, что векторы a, b и λa имеют общее начало, то пары a, b и λa,b неколлинеарных векторов порождают одну и ту же плоскость, которой перпендикулярныих векторные произведения a×b и (λa)×b. Поэтому векторы λ(a×b) и (λa)×b коллинеарны.Вычисляя их длины, убеждаемся, что эти длины равны, так какÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ22ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ ВЕКТОРОВÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3.
ВЕКТОРНОЕИ СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯЗамечание 3.1. Доказанные свойства ассоциативности и дистрибутивности векторногопроизведения объединяют, аналогично случаю скалярного произведения, в свойство линейности векторного произведения относительно первого сомножителя.
В силу свойстваантикоммутативности векторного произведения векторное произведение линейно и относительно второго сомножителя:Пример 3.1. Найдем площадь S треугольника, построенного на векторах a = 3c − 2d иb = c + d при условии, что |c| = 1, |d| = 4, а угол ϕ между векторами c и d равен 30◦ .Для решения задачи воспользуемся формулойИспользуя алгебраические свойства векторного произведения, находим, чтоa×b = (3c − 2d)×(c + d) = 3c×c + 3c×d − 2d×c − 2d×d = 3c×d + 2c×d = 5c×d.ПоэтомуS = 0,5 |a×b| = 0,5 |5c×d| = 2,5 |c| |d| sin ϕ = 5. #ÔÍ-12S = 0,5 |a×b| .ÌÃÒÓa×(λb) = −(λb)×a = −λ(b×a) = λ(a×b),a×(b + c) = −(b + c)×a = −(b×a + c×a) = a×b + a×c.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12где ψ — угол между векторами λa и b и использовано равенство sin ψ = sin ϕ, выполненное привсех λ 6= 0.Два коллинеарных вектора, равные по длине, либо совпадают, либо являются противоположными друг другу.
Нам достаточно исключить последнюю возможность, доказав, чтовекторы (λa)×b и λ(a×b) являются однонаправленными.Если λ > 0, то векторы a и λa однонаправлены. Следовательно, векторы (λa)×b и a×bтоже являются однонаправленными. А поскольку векторы a×b, λ(a×b) тоже однонаправлены,то однонаправлены и векторы (λa)×b и λ(a×b).Если λ < 0, то векторы a и λa являются противоположно направленными. Следовательно,векторы (λa)×b и a×b тоже являются противоположно направленными.
Умножение вектораa×b на отрицательное число λ меняет его направление на противоположное. Поэтому векторы(λa)×b и λ(a×b) имеют одинаковое направление.Доказательство свойства дистрибутивности будет дано позже (см. 3.2).ÔÍ-12ÌÃÒÓ|(λa)×b| = |λa| |b| sin ψ = |λ| |a| |b| sin ψ = |λ| |a| |b| sin ϕ,ÌÃÒÓÔÍ-12где ϕ — угол между векторами a и b, аÔÍ-12ÔÍ-12|λ(a×b)| = |λ| |a×b| = |λ| |a| |b| sin ϕ,ÌÃÒÓÌÃÒÓАлгебраические свойства позволяют вычислить векторное произведение через координатывекторов и векторные произведения векторов, образующих базис. Наиболее просто соответствующие формулы выглядят в ортонормированном базисе.Рассмотрим правый ортонормированный базис i, j, k. Векторные произведения всевозможных пар векторов базиса (всего 9 пар) выглядят следующим образом:i×j = k,j×i = −k,j×k = i,k×j = −i,k×i = j,i×k = −j.(3.1)jÔÍ-12Векторные произведения базисных векторов на себя не приведены, так как все они равны нульвектору.Таблицу произведений (3.1) удобно трактовать как правило циклической перестановки: произведение двух базисных векторов равно третьему, причем знак плюс выбирается, если тройкавекторов (первый сомножитель, второй сомножитель, произведение) получается из исходногобазиса i, j, k циклической перестановкой.
На рис. 3.5 этот порядок соответствует движениюпротив хода часовой стрелки. При движении на рис. 3.5 от первого сомножителя ко второму походу часовой стрелки в правых частях соответствующих равенств (3.1) появляется знак минус.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ23ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ ВЕКТОРОВÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3. ВЕКТОРНОЕИ СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯkРис. 3.5Рассмотрим два вектора a и b, заданных своими координатами в правом ортонормированномбазисе i, j, k: a = {xa ; ya ; za }, b = {xb ; yb ; zb }. Тогда имеют место разложения этих векторовa×b = (xa i + ya j + za k)×(xb i + yb j + zb k) == xa xb i×i + xa yb i×j + xa zb i×k ++ ya xb j×i + ya yb j×j + ya zb j×k ++ za xb k×i + za yb k×j + za zb k×k == (ya zb − yb za )i + (za xb − zb xa )j + (xa yb − xb ya )k = ya za xa za xa ya k.=i−j+yb zb xb zb xb yb ÔÍ-12Чтобы упростить полученную формулу, заметим, что она похожа на формулу разложенияопределителя третьего порядка по 1-й строке, только вместо числовых коэффициентов стоят векторы.
Поэтому можно записать эту формулу как определитель, который вычисляетсяпо обычным правилам. Две строки этого определителя будут состоять из чисел, а одна — извекторов. При вычислении определителя, умножение векторов на числа и сложение вектороввыполняются по обычным правилам, введенным для этих линейных операций в гл. 1. Итак,формулу вычисления векторного произведения в правом ортонормированном базисе i, j, k можно записать в виде i j k a×b = xa ya za .(3.2) xb yb zb ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓИсходя из этих представлений и алгебраических свойств векторного умножения, получаемÌÃÒÓÔÍ-12b = xb i + yb j + zb k.ÔÍ-12ÔÍ-12a = xa i + ya j + za k,ÌÃÒÓÌÃÒÓiÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12n1 = {3; 1; −2} и n2 = {1; −1; 1}.Отметим, что векторы n1 и n2 неколлинеарны, так как их координаты непропорциональны,например:316=.1−1Совместим начала этих векторов в некоторой точке. Тогда существует единственная плоскость,содержащая эти векторы.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
