3 - Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его механический и геометрический смысл (1080555), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Искомое множество векторов, ортогональных данным, совпадает смножеством векторов, перпендикулярных указанной плоскости, а это множество совпадает смножеством векторов, коллинеарных векторному произведениюi jkn1 ×n2 = 3 1 −2 = −i − 5j − 4k. 1 −1 1 Ответ: λ(−i − 5j − 4k), где λ ∈ R.3.2. Смешанное произведениеОбозначают смешанное произведение трех векторов a, b, c так: abc.Смешанное произведение имеет простой геометрический смысл.J Вектор a×b перпендикулярен грани указанного параллелепипеда, построенной на векторах aи b, и в силу свойства 2◦ векторного произведения имеет длину, равную площади S этой грани(рис.
3.6). Обозначив через e единичный вектор, ортогональный векторам a и b и однонаправленный с векторным произведением a×b, получимÔÍ-12Теорема 3.1. Смешанное произведение трех некомпланарных векторов abc равно объемупараллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах, выходящих из одной вершины,взятого со знаком плюс, если тройка векторов a, b, c — правая, и со знаком минус, если этатройка — левая.ÌÃÒÓОпределение 3.3. Смешанным произведением трех векторов a, b, c называют число,равное (a×b)c — скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов итретьего вектора.ÔÍ-12ÌÃÒÓПример 3.2. Найдем все векторы, ортогональные векторамÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ24ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ ВЕКТОРОВÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3. ВЕКТОРНОЕИ СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯÌÃÒÓÌÃÒÓa×b = Se.a´be' cbhSРис.
3.6Смешанное произведение abc равно скалярному произведению вектора Se на вектор c иравно S |c| cos ϕ, где ϕ — угол между векторами a×b и c. Отметим, что число |c| cos ϕ равнопроекции вектора c на направление вектора e, а его модуль, т.е. | |c| cos ϕ|, равен высоте hпараллелепипеда. Знак проекции определяется углом ϕ между c и e. Если ϕ < 90◦ , то векторыc и e находятся по одну сторону от плоскости векторов a, b. Значит, тройки векторов a, b, eÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12aÌÃÒÓи a, b, c имеют одну и ту же ориентацию — правую. В этом случае смешанное произведениеположительно и равно объему параллелепипеда со знаком плюс.
Если же ϕ > 90◦ , то ориентацияуказанных троек различная, т.е. тройка a, b, c является левой, и смешанное произведение будетравно объему параллелепипеда со знаком минус. Отметим, что равенство ϕ = 90◦ невозможно,так как оно означает, что вектор c находится в плоскости векторов a и b, а это противоречитусловию некомпланарности этих векторов. IЗамечание 3.2. Если векторы a, b, c компланарны, то параллелепипед, построенный наних, вырождается (лежит в плоскости).
Поэтому ему следует приписать нулевой объем. Непосредственно из определения заключаем, что для компланарных векторов a, b, c векторы a×bи c ортогональны, т.е. (a×b)c = 0. Значит, теорема верна и в случае, когда векторы компланарны. #Свойства смешанного произведения.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ25ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ ВЕКТОРОВÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3. ВЕКТОРНОЕИ СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯabc = bca = cab = −bac = −cba = −acb.J Действительно, все шесть указанных произведений по абсолютной величине дают объемодного и того же параллелепипеда, а знак произведений определяется ориентацией тройки сомножителей.
При циклической перестановке векторов в тройке ориентация не меняется, приперестановке местами двух векторов в тройке ориентация меняется на противоположную. IÔÍ-12ÔÍ-121◦ . Для смешанного произведения действует правило циклической перестановки:2◦ . Три вектора a, b, c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведениеравно нулю.J Это вытекает из теоремы 3.1 и замечания 3.2. I3◦ . Для смешанного произведения выполняется свойство ассоциативности относительноумножения векторов на число: (λa)bc = λ(abc).J Обозначив b×c = e и используя свойство 2◦ ассоциативности скалярного произведения относительно умножения на число, получим(λa)bc = (λa)(b×c) = (λa)e = λ(ae) = λ a(b×c) = λ(abc).IJ Обозначив b×c = e и используя свойство 3◦ дистрибутивности скалярного произведения,получимIЗамечание 3.4. Свойства 3◦ и 4◦ смешанного произведения сформулированы для первогосомножителя.
Однако при помощи циклической перестановки можно доказать аналогичныеутверждения и для второго и для третьего сомножителей, т.е. верны равенстваa(λb)c = λ(abc), ab(λc) = λ(abc),a(b1 + b2 )c = ab1 c + ab2 c, ab(c1 + c2 ) = abc1 + abc2 ,ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12(a1 + a2 )bc = (a1 + a2 )(b×c) = (a1 + a2 )e = a1 e + a2 e == a1 (b×c) + a2 (b×c) = a1 bc + a2 bc.ÌÃÒÓ4◦ . Для смешанного произведения выполняется свойство дистрибутивности (a1 + a2 )bc == a1 bc + a2 bc.ÌÃÒÓÔÍ-12т.е.
порядок двух операций, дающих смешанное произведение, не является существенным. Этообъясняет, почему в обозначении смешанного произведения знаки образующих операций опускаются.ÔÍ-12ÌÃÒÓabc = (a×b)c = a(b×c),ÌÃÒÓÌÃÒÓЗамечание 3.3. Из доказанного свойства получаем, чтоÌÃÒÓÌÃÒÓи в итоге имеем свойство линейности смешанного произведения по каждому сомножителю.Замечание 3.5. Отметим, что при доказательстве свойств смешанного произведения мыне использовали свойства векторного произведения. Наоборот, обоснование свойств векторного произведения можно строить на основе свойств смешанного произведения. Покажем этона примере свойства дистрибутивности векторного произведения, доказательство которого мыобещали привести.Сначала обратим внимание на следующее. Если векторы x1 и x2 таковы, что для любоговектора y выполняется равенствоx1 y = x2 y,(3.3)то x1 = x2 . Действительно, равенство (3.3) означает, что (x1 − x2 )y = 0.
Так как вектор yлюбой, мы можем положить y = x1 −x2 . Тогда получим (x1 −x2 )2 = 0, но это возможно толькопри x1 − x2 = 0, т.е. при x1 = x2 .Согласно доказанному, равенствоÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ26ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ ВЕКТОРОВÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3. ВЕКТОРНОЕИ СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ(a1 + a2 )×b = a1 ×b + a2 ×bбудет выполняться, если для любого вектора c(a1 + a2 )×b c = (a1 ×b)c + (a2 ×b)c,илиПример 3.3. Найдем объем треугольной пирамиды, построенной на векторахa = {−2; 1; −2},b = {1; 0; −1},c = {1; 1; 1}ÔÍ-12как на смежных ребрах.Трем векторам с общим началом можно сопоставить как треугольную пирамиду, так ипараллелепипед, причем объем пирамиды будет в 6 раз меньше объема параллелепипеда, равного модулю смешанного произведения abc данных векторов.
Итак, объем пирамиды равенV = |abc|/6 = 1, поскольку −2 1 −2 abc = 1 0 −1 = −6. 1 11ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Согласно полученной формуле, свойство 2◦ смешанного произведения можно сформулировать так: необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов, заданныхкоординатами в ортонормированном базисе, является равенство нулю определителя третьегопорядка, строками которого являются координаты этих векторов.ÌÃÒÓÌÃÒÓПусть векторы a, b, c заданы своими координатами в правом ортонормированном базисе:a = {xa ; ya ; za }, b = {xb ; yb ; zb }, c = {xc ; yc ; zc }. Чтобы найти их смешанное произведение,воспользуемся формулами для вычисления скалярного и векторного произведений: yb zb xb zb xb yb i − abc = a(b×c) = a xc zc j + xc yc k =yc zc xa ya za xa xb xc x y x z y z = xa b b − ya b b + za b b = xb yb zb = ya yb yc .xc zcxc ycyc zc xc yc zc za zb zc ÔÍ-12ÔÍ-12Но последнее равенство верно, так как выражает доказанное свойство 4◦ дистрибутивностидля смешанного произведения.
#ÌÃÒÓÌÃÒÓ(a1 + a2 )bc = a1 bc + a2 bc.ÌÃÒÓÌÃÒÓ273.3. Приложения произведений векторовРассмотрим различные приложения произведений векторов на следующих примерах.ÌÃÒÓÌÃÒÓПример 3.4. Работа A постоянной силы F при прямолинейном перемещении материальнойточки из положения M1 в положение M2 равна A = |F | |M1 M2 | cos ϕ (рис. 3.7, а). Поэтому спомощью скалярного произведения эта работа вычисляется по формуле−−−−→A = F s,s = M1 M 2 .L!FM2'POÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ ВЕКТОРОВÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3. ВЕКТОРНОЕИ СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯvабРис.
3.7Если к материальной точке приложено n постоянных сил f i , i = 1, n, то при том же ееперемещении сумма A их работ Ai равна работе равнодействующей силыi=1Ai =nXf is =nXi=1f i s = F s.i=1Из этого равенства следует, что система сил не совершает работу, если их равнодействующаяортогональна вектору перемещения s. Ясно, что равенство A = F s = 0 справедливо и вслучае, когда равнодействующая равна нулю или отсутствует перемещение, или верно и то идругое.Пример 3.5. Круговой диск вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг перпендикулярной ему оси вращения L, проходящей через его центр O (рис.
3.7, б). Пусть v —−→скорость точки P . Тогда v = ω×OP , где ω — вектор угловой скорости.mv 2 /R = q|v×B| = q|v||B| sin 90◦ .R=m|v|.q|B|ÔÍ-12ОтсюдаÔÍ-12Пример 3.6. На движущуюся со скоростью v частицу с электрическим зарядом q магнитное поле с магнитной индукцией B действует с силой Лоренца f = qv×B. Если векторы vи B коллинеарны, то v×B = 0 и при постоянном магнитном поле частица будет совершатьпрямолинейное равномерное движение. Если же векторы v и B неколлинеарны, то f 6= 0, номощность, развиваемая этой силой, равна нулю: W = f v = q(v×B)v = qvBv = 0, поскольку смешанное произведение компланарных векторов равно нулю. Следовательно, заряженнаячастица массой m в постоянном магнитном поле сохраняет свою кинетическую энергию mv 2 /2.Рассмотрим случай, когда векторы v и B ортогональны, т.е.
vB = 0. Поскольку и силаЛоренца f ортогональна B, то частица остается в плоскости, перпендикулярной вектору B, идвигается по окружности радиуса R, который определяется из условия равновесия возникающейпри этом центробежной силы и действующей силы Лоренца,ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12A=nXÌÃÒÓÌÃÒÓi=1посколькуÔÍ-12ÔÍ-12f i,ÌÃÒÓÌÃÒÓF =nXÔÍ-12ÔÍ-12M1ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕ. . .. . . .. . . .. . . ...................... . .
.. . . . .. . . . .. . . . .20202427ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Векторное и смешанное произведения векторовВекторное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . .Смешанное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . .Приложения произведений векторов . .
. . . . . . . . .ÔÍ-1228ÌÃÒÓЛекция 3.3.1.3.2.3.3.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
