1 - Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора (направленного отрезка). Нуль-вектор, единичный вектор (орт) (1080553), страница 2
Текст из файла (страница 2)
IÌÃÒÓÌÃÒÓ3◦ . Существует такой вектор 0, что для любого вектора a выполняется равенство a + 0 = a.Свойство 5◦ позволяет ввести операцию вычитания векторов.Определение 1.6. Разностью b − a двух векторов a и b называют такой вектор x,что a + x = b.С алгебраической точки зрения переход от a + x = b к x = b − a (в соответствии с определением 1.6) означает, что при переносе вектора в другую часть равенства перед ним надо менятьзнак.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Значит, вектор x определен однозначно. IÌÃÒÓb–aЗамечание 1.4. Если λ = 0, то, согласно этому определению, вектор 0a должен иметьдлину 0 |a| = 0, т.е. должен быть нулевым вектором. Поэтому, хотя остальные характеристикии не определены (коллинеарность, направленность), произведение вектора на число 0 заданооднозначно: 0a есть нулевой вектор.Пример 1.2.
Произведение вектора a на число −1 есть вектор, противоположный к a, т.е.(−1)a = (−a). #Операция умножения вектора на число обладает свойством ассоциативности, а совместно соперацией сложения она удовлетворяет двум свойствам дистрибутивности.6◦ . Умножение вектора на число ассоциативно: (λµ)a = λ(µa).7◦ . Умножение вектора на число дистрибутивно относительно векторов: λ(a + b) = λa + λb.8◦ . Умножение вектора на число дистрибутивно относительно чисел: (λ + µ)a = λa + µa.ÔÍ-12J В указанном равенстве — три коллинеарных вектора. Поэтому доказательство сводитсяк подсчету длин векторов, которым присвоены знаки, учитывающие направление. Если λ иµ имеют положительные знаки, то все три вектора в равенстве имеют одно направление, совпадающее с направлением вектора a.
При сложении этих векторов справа складываются ихдлины, а доказываемое равенство равносильно следующему: (λ + µ) |a| = λ |a| + µ |a|. Случай,когда λ и µ отрицательны, аналогичен.Пусть λ и µ имеют противоположные знаки. Для определенности будем считать, что λ > 0,µ < 0. Противоположный случай сводится к этому заменой обозначений и учетом коммутативности сложения чисел и векторов. Если λ > 0, µ < 0, то при сложении векторов λa иµa вычитаются их длины, так как складываются векторы противоположного направления.ÌÃÒÓJ При λ = 0 свойство очевидно, так как в этом случае слева будет нулевой вектор (произведениевектора на число 0), а справа — сумма двух нулевых векторов.
Если λ 6= 0, свойство вытекаетиз правила параллелограмма и свойств подобных параллелограммов. На рис. 1.7 представленыслучаи: а) λ > 0; б) λ < 0. IÔÍ-12J Действительно, обе части равенства представляют собой векторы, коллинеарные исходномувектору a. Поэтому равенство будет верным, если совпадут длины векторов и их направления.Равенство длин векторов очевидно. Если числа λ и µ имеют один и тот же знак, то векторыв обеих частях будут однонаправлены с вектором a. Если же λ и µ имеют противоположныезнаки, то оба вектора в равенстве являются противоположно направленными по отношению кa.
Итак, в любом случае в равенстве стоят векторы одного направления и одинаковой длины,т.е. равные векторы. IÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓОпределение 1.7. Произведением вектора a на число λ называют вектор λa, коллинеарный вектору a, с длиной |λ| |a|, однонаправленный с a при λ > 0 и противоположнонаправленный при λ < 0.ÔÍ-12ÔÍ-12Практически для вычисления разности векторов можно воспользоваться правилом треугольника. Совместим начала векторов a и b, тогда вектор с началом в конце вектора a и концом,совпадающим с концом b, равен разности b − a этих векторов (рис. 1.6).Операцию вычитания векторов также относят к линейным, так как она определяется операцией сложения и является обратной сложению.ÌÃÒÓÌÃÒÓРис.
1.6ÌÃÒÓÔÍ-12aÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ5ÌÃÒÓÔÍ-12bÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИÌÃÒÓ¸a+¸ba+b¸bÌÃÒÓba¸a¸aa¸bÌÃÒÓ¸a+¸bабРис. 1.7Получаемый при этом вектор будет однонаправленным с a при |λ| > |µ| и противоположнонаправленным при |λ| < |µ|. Его длина, согласно определению произведения вектора на число,равна |λ + µ||a|. Учитывая направление этого вектора, заключаем, что он равен (λ + µ)a, т.е.доказываемое равенство верно и при противоположных знаках коэффициентов λ и µ.Наконец, отметим тривиальный случай, когда один из коэффициентов λ и µ равен нулю.Например, если µ = 0, то равенство (λ + µ) |a| = λ |a| + µ |a| сводится к равенству (λ + 0)a == λa + 0a, вытекающему из свойства 3◦ и определения 1.7.
IÔÍ-12ÔÍ-12Пусть на плоскости заданы прямая L и точка A. Опустим из точки A на прямую L перпендикуляр (рис. 1.8, а). Тогда его основание (точку O) называют ортогональной проекциейточки A на прямую L. Если прямая L и точка A заданы в пространстве, то в этом случаеортогональной проекцией точки A на прямую L называют точку O пересечения прямой L сперпендикулярной ей плоскостью, проходящей через точку A (рис. 1.8, б). Если точка A лежитна прямой L, то она совпадает со своей ортогональной проекцией на L.AA90°LOÌÃÒÓ1.4. Ортогональная проекцияÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ6a+bbÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИабРис. 1.8−→Для вектора AB (на плоскости или в пространстве) можно построить ортогональные про−−−−→екции на прямую L его начала и конца (рис.
1.9). Вектор OA OB , соединяющий эти проекцииOA и OB и лежащий на прямой L, называют ортогональнойA−→Bпроекцией вектора AB на прямую L.Прямую, на которой задано одно из двух возможных направлений, называют осью. Выбранное направление на осиLOBизображают с помощью стрелки на соответствующем конце оси.OA−−−−→−→Ортогональную проекцию OA OB вектора AB на ось l можно−−−−→Рис.
1.9полностью описать длиной вектора OA OB , приписав ей знак,ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12LOÌÃÒÓÌÃÒÓ90°ÌÃÒÓBBaaÃClCLlLбРис. 1.10ÔÍ-12Если угол ϕ между векторами a и l острый (как это показано на рис. 1.10, а), то конец вектора l и точка C лежат по одну сторону от точки A. В этом случае проекция a на направлениевектора l равна длине |AC| = |AB| cos ϕ катета AC треугольника ABC.Если угол ϕ тупой (см.
рис. 1.10, б), то конец вектора l и точка C лежат по разные стороны−→от точки A. Это значит, что векторы AC и l имеют противоположные направления, а проекциявектора a равна − |AC|. В треугольнике ABC угол ψ, прилежащий к катету AC, равен π − ϕ,поэтому |AC| = |AB| cos(π − ϕ) = − |AB| cos ϕ.−→πЕсли же ϕ = или a = 0, то точка C совпадает с точкой A и вектор AC является нулевым2πвектором.
Однако cos = 0, следовательно, и в этом случае утверждение теоремы справед2ливо. IÌÃÒÓаAÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓJ Пусть вектор l лежит на прямой L, а его началом является точка A. Совместим началовектора a с точкой A, и пусть его концом будет точка B (рис. 1.10). Построим ортогональную−→проекцию C точки B на прямую L. Тогда вектор AC является ортогональной проекцией вектора−→a = AB на прямую L.ÔÍ-12ÔÍ-12cl) — угол между векторами a и l.где (a,ÌÃÒÓcl),прl a = |a| cos(a,ÔÍ-12Теорема 1.1. Ортогональная проекция вектора a на направление ненулевого вектора lравна длине |a|, умноженной на косинус угла ϕ между векторами a и l, т.е.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ7−−−−→указывающий направление вектора.
Если направление OA OB совпадает с заданным направлением оси, то берут знак плюс, а если направление вектора противоположно направлению оси, то−−−−→берут знак минус. Длину вектора OA OB со знаком, определяющим направление этого вектора,−→называют ортогональной проекцией вектора AB на ось l и обозначают прl a.Обратим внимание на то, что ортогональной проекцией вектора на ось является число,в то время как ортогональная проекция вектора на прямую — это вектор. Чтобы векторусоответствовало число как его проекция, на прямой нужно выбрать одно из двух возможныхнаправлений.Каждый ненулевой вектор l однозначно определяет ось: его можно рассматривать расположенным на некоторой прямой и задающим на ней направление.
Ортогональную проекциювектора на такую ось называют ортогональной проекцией этого вектора на направление вектора l.Угол между направлениями двух ненулевых векторов называют углом между этими векторами. Угол может изменяться в пределах от 0 до π. Крайние значения 0 и π отвечаютколлинеарным векторам, соответственно однонаправленным и противоположно направленным. Если хотя бы один из двух векторов является нулевым, то угол между такими векторамине определен. Удобно, однако, считать, что в этом случае угол имеет произвольное значение.Так, нулевой вектор коллинеарен любому другому, что формально соответствует углу 0 (илиπ).
Конкретное значение, приписываемое углу между нулевым вектором и каким-либо другим,выбирают исходя из ситуации.AÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИÌÃÒÓÌÃÒÓ8Теорема 1.2. Ортогональная проекция суммы векторов на направление ненулевого вектора равна сумме их ортогональных проекций на направление этого вектора, а при умножениивектора на число его ортогональная проекция на направление ненулевого вектора умножаетсяна то же число:прl (a + b) = прl a + прl b,прl (λa) = λ прl a.J Доказательство следует из рис.
1.11. В случае, изображенном на рис. 1.11, а, имеем прl a == |AB|, прl b = −|BC|, прl (a + b) = |AC| = |AB| − |BC|. В случае, изображенном на рис. 1.11, б,прl a = |AB| и, если λ > 0, прl (λa) = |AE| = λ|AB|. Остальные варианты (точка C непринадлежит отрезку AB в случае а, λ 6 0 в случае б) рассматриваются аналогично. IbÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1.
ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИa¸aACBlLAаEBlLбÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Рис. 1.11ÔÍ-12ÔÍ-12aÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕ..................... . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ........................... . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .11236ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Линейные операции над векторами . .Векторные и скалярные величины . . . . . .Типы векторов и их взаимное расположениеЛинейные операции и их свойства . .
. . . .Ортогональная проекция . . . . . . . . . . .ÔÍ-129ÌÃÒÓЛекция 1.1.1.1.2.1.3.1.4.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
