Борисов Ю.А., Кривошеев А.Г., Мельников Г.И. - Кинематика (1079946), страница 6
Текст из файла (страница 6)
«Кинематический анализ плоского механизма» изсборника [7].52Кинематика твердого тела№ωOA, рад/сОA, мAВ, мAС, мϕ, град α, град150.620.5451202-120.51.80.36090380.52.10.430604-60.620.212030590.52.20.4301356-100.420.2150457120.41.60.330908-50.51.50.3451359100.61.80.31356010-90.520.4120451180.62.20.2609012-100.41.80.1301501360.420.34512014-120.41.20.2601351550.51.60.41206016-80.61.80.21504517100.520.33013518-60.61.60.3451351990.51.80.36012020-50.62.10.41203021120.620.21506022-100.42.20.3451202380.620.43015024-90.51.80.46090Сложное движение точки53ГЛАВА 3.
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИПредположим, что движение точки M в пространстверассматривается в двух движущихся относительно друг другасистемах координат: O1x1y1z1 и Oxyz.Одну из этих систем координат (O1x1y1z1) примем заосновную и назовем абсолютной системой координат, адвижение по отношению к ней и все кинематические параметры – абсолютными.
Параметры абсолютного движения будемобозначать подстрочным индексом “a”. Например, va и aa будут обозначать абсолютные скорость и ускорение.Другую систему координат (Oxyz) назовем относительной системой координат и, соответственно, движение поотношению к этой системе, а также его кинематические параметры – относительными. Параметры относительного движения будем обозначать подстрочным индексом “r”.
Например,vr и ar - относительные скорость и ускорение соответсвенно.Введем понятие переносного движения, параметрыкоторого будем обозначать подстрочным индексом “e” (например, ve и ae ). Переносным движением точки будем называтьдвижение (по отношению к абсолютной системе) той точкиотносительной системы, в которой в рассматриваемый моментвремени находится движущаяся точка М. Скорость, ускорениеи другие кинематические параметры переносного движениябудем называть переносной скоростью, переносным ускорением и т. д.3.1 Теоремы о сложении скоростей и ускоренийЗависимости между относительными, переносными иабсолютными скоростями и ускорениями устанавливаются следующими теоремами.Теорема о сложении скоростей: при сложном движенииабсолютная скорость va равна векторной сумме относительнойи переносной скоростей:54Сложное движение точкиv a = v r + ve .(3.1)Здесь vr - относительная скорость; ve - переносная скоростьточки М, то есть скорость той неизменно связанной с подвижной системой координат Oxyz точки, с которой совпадает вданный момент точка М.
Если угол между векторами vr и veравен α, то модуль абсолютной скорости равенva = vr2 + ve2 + 2 vr ve cosα .(3.2)Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса):при сложном движении абсолютное ускорение aa равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисоваускорения:a a = a r + ae + ac .(3.3)Здесь ar - относительное ускорение; ae - переносное ускорение; ac - кориолисово ускорение (ускорение Кориолиса), равное удвоенному векторному произведению вектора угловойскорости ω e (вектора угловой скорости подвижной системыкоординат) на относительную скорость vr :ac = 2 ω e × vr .(3.4)Модуль кориолисова ускоренияac = 2 ω e vr sin β ,(3.5)где β - угол между векторами ω e и vr .
Если переносное движение является поступательным ( ω e = 0), то ac = 0 .Если точка совершает плоское относительное движение,то ее относительное ускорение складывается из касательного инормального ускорений:Сложное движение точкиar = arτ + arn .55(3.6)Если переносным движением является вращение вокругнеподвижной оси, то переносное ускорение складывается извращательного и центростремительного ускорений:ae = aeв + aeц .(3.7)3.2 Задание 3.
Определение абсолютной скорости иабсолютного ускорения точкиПо радиусу или ободу диска, вращающегося вокруг неподвижной оси (рис.19; схемы 1-4), движется точка М. Уравнение вращения диска ϕ e = ϕ e (t ) , уравнение относительного движения sr = sr (t ) , радиус диска R и угол α приведены в таблицена с. 63. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t1, который определяетсяусловием, заданным в столбце 5 таблицы.Пример выполнения задания 3.Диск вращается вокруг горизонтальной неподвижной оси(рис.19; схема1) согласно уравнению ϕ e = 2 π cos 2 (t / 2) / 3 (рад).По радиусу диска с углом наклона α = 30° движется точка Мсогласно уравнению sr (t ) = 4 sin 2 (10t ) (м).
Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в моментвремени t1 > 0, когда впервые после начала движения (t = 0)угловое ускорение ε e = − π / 6 (рад/с2).Решение.Определим момент времени t1 из заданного условия:ε e = ϕ&&e = (2 π cos 2 (t / 2) / 3&)& = (−π sin(t ) / 3)& = − π cos(t ) / 3 ; в моментвремени t1: − π cos(t1 ) = − π / 6; cos(t1 ) = 1 / 2 ; t1 = π/3 (c).56Сложное движение точкиРис. 19. Схемы задания относительного и переносногодвижений точки М.Движение точки М рассматриваем как сложное движение: относительным движением точки является движение порадиусу диска, а переносным движением – вращательноедвижение диска вокруг неподвижной оси.1).
Определение абсолютной скорости точки М.Абсолютную скорость точки М определим по формуле(3.1): va = vr + ve (рис. 20). Найдем величину относительнойскорости в момент времени t1:vr = s&r = (4 sin 2 (10t ))& = 40 sin( 20t );57Сложное движение точкиvr (t1 ) = 40 sin( 20π / 3) = 40 ⋅ 3 / 2 ≈ 34.64 (м/с).Модуль переносной скорости ve = ω e h , где ω e -угловаяскорость диска; h = sr sin α - расстояние от точки М до оси вращения диска. Найдем эти параметры в момент времени t1:πω e = − sin(t );3π 3ω e (t1 ) = − ⋅≈ − 0.91 (рад/с);3 2h(t1 ) = 4 sin (10π / 3) ⋅ sin 30o = 4 ⋅ (− 3 / 2) 2 ⋅ 0.5 = 1.5 ( м);ve (t1 ) = − 0.91 ⋅1.5 ≈ 1.36 ( м / c).Знак минус у числового значения угловой скорости диска указывает на то, что дуговую стрелку ω e следует показать в противоположном направлении к направлению дуговой стрелки ϕ e .Вектор переносной угловой скорости ω e направлен вправо (см.с.
24).Введем систему координат Mxyz: ось My направим параллельно оси вращения диска; плоскость Myz совместим с плоскостью рисунка; ось Mx направлена перпендикулярно плоскости рисунка. Относительно этой системы координат изобразимвекторы vr и ve . Так как vr (t1 ) > 0 , то вектор vr направляем порадиусу в сторону положительного отсчета координаты sr . Онрасположен в плоскости Myz. Вектор ve направлен по оси Mx всторону дуговой стрелки ω e .
Векторы vr и ve взаимно перпендикулярны, поэтому модуль абсолютной скорости точки Мva (t1 ) = vr2 + ve2 = 34.64 2 + 1.36 2 ≈ 34.67 ( м / c).При другом угле между векторами vr и ve следует воспользоваться формулой (3.2).58Сложное движение точкиРис. 20. Определение абсолютной скорости точки М.2). Определение абсолютного ускорения точки М.Абсолютное ускорение точки М определяем (рис. 21) поформуле (3.3), которая с учетом формул (3.6),(3.7) записывается в следующем виде:aa = arτ + arn + aeв + aeц + ac .(3.8)Определим по величине и по направлению ускорения в правойчасти равенства (3.8) в момент времени t1 = π / 3 (c).Относительное касательное ускорение:arτ = v&r = (40 sin( 20t ))& = 800 cos(20t ) ;arτ (t1 ) = 800 cos(20π / 3) = − 400 ( м / c 2 ) ;Сложное движение точки59Рис. 21.
Определение абсолютного ускорения точки М.при отрицательном значении arτ (t1 ) вектор arτ направляем отточки М к точке О, то есть в отрицательном направленииотсчета координаты sr .Относительное нормальное ускорение arn = vr2 / ρ = 0 , таккак относительное движение является прямолинейным ( ρ = ∞).Переносное вращательное ускорение:aeв (t1 ) = ε e h = − π / 6 ⋅1.5 ≈ 0.78 ( м / c 2 ) ;вектор aeв направлен по оси Mx в сторону дуговой стрелки ε e .Переносное центростремительное ускорение:aeц (t1 ) = ω e2 h = (−0.91) 2 ⋅1.5 ≈ 1.24 ( м / c 2 ) ;60Сложное движение точкивектор aeц направлен от точки М к оси вращения диска, то естьв отрицательном направлении оси Mz.Кориолисово ускорение:a с (t1 ) = 2 ω e v r sin 30 o = 2 ⋅ 0.91⋅ 34.64 ⋅ 0.5 ≈ 31.52 ( м / c 2 ) ;вектор ac направлен перпендикулярно плоскости, в которойлежат векторы ω e и vr , так, что с конца вектора ac поворотвектора ω e к вектору vr на кратчайший угол в 30° виден происходящим против хода часовой стрелки.Проецируя векторное равенство (3.8) на оси Mx, My, Mzнаходим проекции, а затем и модуль ускорения точки М в момент времени t1:aax (t1 ) = aeв + ac = 0.78 + 31.52 = 32.30 ;aay (t1 ) = − arτ cos 30o = − 400 ⋅ 3 / 2 ≈ − 346.41;aaz (t1 ) = − arτ sin 30o − aeц = − 400 ⋅ 0.5 − 1.24 = − 201.24 ;aa (t1 ) = aax2 + aay2 + aaz2 = 32.30 2 + 346.412 + 201.24 2 ≈ 401.9 ( м / c 2 ).Далее в таблице приведены исходные данные для самостоятельного выполнения задания 3, гдеs r (t ) - уравнение относительного движения точки М;ϕ e (t ) - уравнение вращения диска;t1 - момент времени, в который впервые после началадвижения точки выполняется указанное условие;α - угол наклона радиуса, по которому движется точка М;R - радиус диска.61Сложное движение точки№Схемаϕe(t), радSr(t), мt1, cα, градR, м1125t – 2t3/30.1(1 – sin(πt/4))vr = 0.025π (м/c)30-21t3 – 2t20.1(1 + sin(πt/6))s = smax45-3120t + 40cos(πt/2)/ π0.5t2 – 0.15t3ar = 0.1 (м/c2)30-415t2/2 – 10t3/30.06(1 – sin(0.3πt))εe = 090-514t2 – t30.5t – 0.1t2vr =0.3 (м/c)150-615t3/3 – 5t20.1cos2(πt/4)ωe = ωe min150-725t2 – 5t3/30.125πtac = 0-0.3829t2 – t30.1π cos2(πt/3)aτ r = 0-0.192t2 – 2t3π (0.4t – 0.1t2)/8anr = 0-0.2102t3/3 – 2t20.2π (1 – e-t)ωe = ωe min-0.41125t20.2π sin2(t)anr = anr max-0.312210t3/30.04t + 0.02t3| aτr| = 0.12 (м/c2)-0.262Сложное движение точки№Схемаϕe(t), радSr(t), мt1, cα, градR, м13310t – 20sin(πt/2)/ π0.05(1 – cos(πt/2))aцe = aцe max--14320sin(t)0.1e-2tar =0.2 (м/c2)--153-3cos(πt/2-3)/ π - t3/30.01t+0.06t2 – 0.01t3vr = vr max--163-10e-t0.1(2 – cos(πt))vr = 0.05π 2 (м/c)--173t4/2 – t30.05sin2(πt/2)εe = εe min--183t3 – 5t2/20.1sin2(πt/2)ar = 0--1944t2 – t30.2 t – 0.05t2anr = 0-0.32044t4 – 4t3/30.3(πt - cos(πt))vr = vr max-0.421410(t + e-t)0.3π (sinπt –cos2πt)ac = 0-0.22242t2 – t30.4t2 – 0.1t3| aτr| = 0.2 (м/c2)-0.323410t - t30.6t + 0.15t2|εe |= 6 (рад/c2)-0.22446t – 2t20.4t - 0.1t2anr = anr min0.163ЛИТЕРАТУРА1.
Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическаямеханика в примерах и задачах. Т. 1. – М.: Высш. школа,2001. – 484 с.2. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретическоймеханики. – М.: Высш. школа, 2002. – 736 с.3. Никитин Н.Н. Курс теоретической механки. – М.: Высш.школа, 1990. – 607 с.4. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики.
– М.:Высш. школа, 1995. – 416 с.5. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретическоймеханики. – М.: Высш. школа, 2001. – 768 с.6. Мещерский И.В. Задачи по теоретической механики. – М.:Наука, 2001. – 448 с.7. Сборник заданий для курсовых работ по теоретическоймеханике. Под ред.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
