Борисов Ю.А., Кривошеев А.Г., Мельников Г.И. - Кинематика (1079946), страница 5
Текст из файла (страница 5)
п. 5 нас. 34). Определим мгновенную угловую скорость ω диска понайденной величине скорости v A :ω = v A / AP = v A / r = 1.6 / 0.5 = 3.2 ( рад / c)и изображаем на рисунке ее дуговую стрелку (рис. 14).Для определения скорости точки В с использованиемМЦС находим расстояние ВР по теореме косинусов из треугольника АВР:BP = AB 2 + AP 2 − 2 AB AP cos135o == 0.52 + 0.52 − 2 ⋅ 0.52 ( − 2 / 2) ≈ 0.924 ( м).Скорость v B равна по модулюv B = ω ⋅ PB = 3.2 ⋅ 0.924 ≈ 2.956 ( м / c )и направлена перпендикулярно отрезку РВ в сторону дуговойстрелки ω .Тот же вектор v B может быть найден с использованиемполюса А по формуле (2.15): v B = v A + v BA .
Перенесем векторv A в точку В и построим вектор v BA , перпендикулярный отрезку АВ и направленный в сторону дуговой стрелки ω . Модульv BA = ω ⋅ AB = 3.2 ⋅ 0.5 = 1.6 ( м / c ). Здесь получилось равенствоv BA = v A поскольку расстояние AB = r. По рисунку определяем,что угол между векторами v A и v BA равен 45°. Тогда поформуле (2.16) находимКинематика твердого тела41v B = v A2 + v BA2 + 2 v A v BA cos 45o == 1.62 + 1.62 + 2 ⋅1.62 ( 2 / 2) ≈ 2.956 ( м / c ).На рисунке вектор v B должен совпадать с диагональю параллелограмма, сторонами которого являются векторы v A и v BA .Это достигается построением векторов v A , v B и v BA в выбранном масштабе (например, 1 см на рисунке соответствует0.5 м/с). Отметим, что приведенные в рассмотренном примеремасштабы можно изменять и назначать самостоятельно.2).
Определение ускорения точки В.Ускорение точки В определим по формуле (2.18) сиспользованием полюса А, ускорение которого складываетсявекторно из касательного и нормального ускорений:вцвц .a B = a A + a BA+ a BA= a τA + a An + a BA+ a BAПо заданному закону вращения кривошипа ОА найдемего угловое ускорение:ε OA = ω& OA = (6 − 4t &) = − 4 ( рад / с 2 ).Полученная величина ε OA является отрицательной, поэтомудуговую стрелку ε OA направляем по ходу часовой стрелки, тоесть в отрицательном направлении, а в дальнейшем расчетебудем брать эту величину по модулю.Модули касательного и нормального ускорений полюсаА в заданный момент времени t1 находим по формулам (2.11):aτA = ε OA ⋅ OA = 4 ⋅ 0.8 = 3.2 ( м / c 2 ) ;2a nA = ωOA⋅ OA = 2 2 ⋅ 0.8 = 3.2 ( м / c 2 ).42Кинематика твердого телаКасательное ускорение a τA направлено перпендикулярнокривошипу ОА в сторону дуговой стрелки ε OA , а нормальноеускорение a An - от тоски А к точке О при любом направленииугловой скорости кривошипа (рис.
15). Полное ускорение a Aопределять не требуется.Рис 15. Определение ускорения точки Bс использованием полюса А.Далее требуется найти угловое ускорение ε диска 2. Дляэтого запишем выражение для его угловой скорости, котороевыполняется в каждый момент времени:ω = v A / r = ωOA ⋅ (OA / r ) .Тогда по определениюOA/r = const) равноугловоеускорениедиска(приε = ω& = ω& OA⋅ (OA / r ) = ε OA ⋅ (OA / r ) = − 4 ⋅ (0.8 / 0.5) = − 6.4 ( рад / c 2 ).43Кинематика твердого телаПоскольку в момент времени t1 ω и ε имеют разные знаки, тоугловую стрелку ε направляем в противоположном направлении к дуговой стрелки ω .Вычислим модули вращательного и центростремительного ускорений точки В относительно полюса А по формулам(2.19):вa BA= ε ⋅ AB = 6.4 ⋅ 0.5 = 3.2 ( м / c 2 );цa BA= ω 2 ⋅ AB = 3.2 2 ⋅ 0.5 = 5.12 ( м / c 2 ).внаправлен перпендикулярно отрезку АВ в сторонуВектор a BAц- от точки В к полюсу Адуговой стрелки ε , а вектор a BA(рис.
15).Ускорение точки В найдем по его проекциям на оси координатной системы Axy:вцa Bx = ( a τA ) x + ( a An ) x + ( a BA) x + ( a BA)x =вц= 0 − a nA − a BAcos 45o + a BAcos 45o == − 3.2 − 3.2 ⋅ 2 / 2 + 5.12 ⋅ 2 / 2 ≈ − 1.84 ( м / c 2 );вцa By = ( a τA ) y + ( a An ) y + ( a BA) y + ( a BA)y =вц= − aτA + 0 − a BAcos 45o − a BAcos 45o == − 3.2 − 3.2 ⋅ 2 / 2 − 5.12 ⋅ 2 / 2 ≈ − 9.08 ( м / c 2 ).22Модуль a B = a Bx+ a By≈ 9.27 ( м / c 2 ).вц, a BAтребуетсяНа рисунке ускорения a τA , a An , a BAизобразить в выбранном масштабе и построить в этом жемасштабе вектор a B по найденным проекциям (рис. 15).Исходные данные для самостоятельного выполнениязадания 2.1 приведены в таблице на с.
44.44Кинематика твердого тела№ϕOA(t), радOA, мr, мAB, мα, градt1, c1t2 + 3t0.80.60.5120128t – 3t20.80.50.3-6013t2 - 4t0.80.60.390143t – 2t20.90.60.5-30152t2 - t0.90.50.445164t – t20.90.40.3-135172t2 - 6t10.60.4-1200.582t – 3t210.70.5150193t2 - 4t10.80.61351108t – 2t210.80.5-451114t2 - 6t10.60.3-1200.5123t – 4t210.70.4601134t2 - 2t1.20.90.6-1500.5146t – t21.20.90.8-1351152t2 - 4t1.20.80.5450.5164t – 3t21.20.80.6-301172t2 + t1.20.70.61200.5184t – 2t21.20.60.4-1500.5193t2 - 10t1.410.860120t – 2t21.40.90.71351213t2 + 2t1.40.90.6-450.5226t – 3t21.40.80.5300.5233t2 - 8t1.40.80.6-900.5242t – 4t21.40.70.51501Кинематика твердого тела45Задание 2.2Кривошипно-ползунный механизм (рис.
16), состоящийиз кривошипа ОА, шатуна АВ и ползуна В, совершает движение в плоскости рисунка. Прямая В1В2, по которой движетсяползун В, не проходит через ось вращения О кривошипа и вэтом случае кривошипно-ползунный механизм называютнецентральным.Кривошип ОА вращается равномерно с угловой скоростью ωOA = const (при ωOA > 0 вращение происходит противхода часовой стрелки; при ωOA < 0 - по ходу часовой стрелки).На шатуне задана точка С с известным расстоянием АС.
Внекоторый момент времени положение механизма определяется углом поворота ϕ кривошипа ОА и углом α , которыйобразуют между собой кривошип и шатун.Пусть вышеперечисленные параметры имеют следующиечисловые значения: ωOA = 10 (рад/с); ОА = 0.4 (м); АВ =1.2 (м); АС = 0.6 (м); ϕ = 30°; α = 120°.Рис 16. Параметры заданного положения и движенияКривошипно-ползунного механизма.46Кинематика твердого телаВ заданном положении механизма определить1) скорости точек B и С с использованием мгновенного центраскоростей (МЦС) шатуна АВ, а также скорость точки В с использованием полюса A;2) ускорения точек B и С.Решение.Определение скоростей точек B и С.Изобразим заданное положение механизма (рис.
17) сконкретными углами ϕ = 30°, α = 120° и в выбранном масштабепо длине (например, в 1 см рисунка – 0.2 м длины ОА и АВ).По заданной угловой скорости кривошипа ОА найдеммодуль скорости точки Аv A = ωOA ⋅ OA = 10 ⋅ 0.4 = 4 (м/с).Вектор v A направлен перпендикулярно кривошипу ОА в сторону дуговой стрелки ωOA .Положение МЦС (точка Р) шатуна найдем по известнойскорости v A и известному направлению скорости ползуна В(см. п.
2 на с. 32). Для этого проводим через точки А и В перпендикуляры к направлениям скоростей этих двух точек до ихпересечения в точке Р. По рисунку видно, что треугольникАРВ является равносторонним и, следовательно, АР = ВР == АВ = 1.2 (м). В других случаях стороны АР и ВР этого треугольника можно найти по теореме синусов, по теоремекосинусов или по теореме Пифагора.Угловую скорость ω (можно также использовать обозначение ω AB ) шатуна АВ определяем через известную скоростьточки А по формулеω = v A / AP = 4 / 1.2 ≈ 3.33 ( рад / c )и изображаем дуговой стрелкой вокруг МЦС в направлении,согласованном с направлением вектора v A .Кинематика твердого тела47Рис 17.
Определение скоростей точек В и С.Скорость v B ползуна В равна по модулюv B = ω ⋅ BP = 3.33⋅1.2 = 4 (м/с)и направлена вдоль направляющих ползуна в сторону дуговойстрелки ω . В данном случае получилось равенство v A = v Bвследствие равенства расстояний АР = ВР. Отметим также, чтополученные скорости v A и v B должны удовлетворять свойствуравенства проекций скоростей (см. с.
30).Для определения скорости точки С проведем отрезок РС(в данном примере РС является высотой треугольника АРВ) инайдем его длинуPC = AP 2 − AC 2 = 1.2 2 − 0.62 ≈ 1.04 (м).48Скорость vC равна по модулюКинематика твердого телаvC = ω ⋅ PC = 3.33⋅1.04 ≈ 3.46 (м/с)и направлена перпендикулярно отрезку РС в сторону дуговойстрелки ω . Скорость vC получилась направленной вдольшатуна АВ. Легко видеть, что для других точек этого стержня,расположенных между точками А и С, их скорости будут отклонены вверх (как у точки А), а для точек, расположенныхмежду точками С и В, - вниз (как у точки В).Тот же вектор v B может быть найден с использованиемполюса А по формуле (2.15): v B = v A + v BA .
Перенесем векторv A в точку В и построим вектор v BA , перпендикулярный отрезку АВ и направленный в сторону дуговой стрелки ω . Модульv BA = ω ⋅ AB = 3.33⋅1.2 = 4 ( м / c ). Здесь получилось равенствоv BA = v A поскольку равны расстояния AB и АР. По рисункуопределяем, что угол между векторами v A и v BA равен 120°.Тогда по формуле (2.16) находимv B = v A2 + v BA2 + 2 v A v BA cos120o == 4 2 + 4 2 + 2 ⋅ 4 2 ( −0.5) = 4 ( м / c ).На рисунке вектор v B должен совпадать с диагональю параллелограмма, сторонами которого являются векторы v A и v BA .Это достигается построением векторов v A , v B и v BA в выбранном масштабе (например, 1 см на рисунке соответствует 1 м/с).Отметим, что приведенные в рассмотренном примеремасштабы можно изменять и назначать самостоятельно.2). Определение ускорения точки В.Ускорение точки В с использованием полюса А определяется по формуле (2.18):вцвц .a B = a A + a BA+ a BA= a τA + a An + a BA+ a BA49Кинематика твердого телаТак как кривошип ОА вращается равномерно ( ωOA == const), то ε OA = ω& OA = 0 .
Следовательно, касательное ускорение точки А aτA = ε OA ⋅ OA = 0 и ее полное ускорение a A совпа-дает с нормальным ускорением a An , направлено от точки А кточки О (рис. 18) и равно по модулю2a A = a nA = ωOA⋅ OA = 102 ⋅ 0.4 = 40 ( м / c 2 ).В данной задаче зависимость угловой скорости ω шатуна от времени неизвестна, поэтому приходится определять егомгновенное угловое ускорение ε в заданном положении. Такиезадачи могут быть решены, если известно направление ускорения какой-либо точки рассматриваемого тела. Такой точкойшатуна является точка В, направление движения которой известно. Зададимся каким-либо направлением углового ускорения ε (например, против хода часовой стрелки; см. рис. 18) инаправлением ускорения a B (например, справа налево; рис.18).Изобразим на рисунке также вращательное и центростремивцтельное ускорения a BA, a BAточки В относительно полюса А.Рис.
18. Определение ускорения точки В.50Кинематика твердого телаВращательное ускорение точки В относительно полюса А помодулю равноцa BA= ω 2 ⋅ AB = 3.332 ⋅1.2 ≈ 13.30 ( м / c 2 ).Введем систему координат Axy и спроецируем векторноевыражение для ускорения a B на оси Ax и Ay:ц − a B cos 30o = − a A cos 60o − a BA;в − a B sin 30o = − a A sin 60o + a BA.Полученная система двух алгебраических уравнений содержитв= ε ⋅ AB . Из первогодве скалярных неизвестных: a B и a BAуравнения находимцa B = ( a A cos 60o + a BA) / cos 30o == ( 40 ⋅ 0.5 + 13.30) ⋅ 2 / 3 ≈ 38.45 ( м / c 2 ).Величина a B оказалась положительной и в этом случае направление вектора a B показано на рис.
18 верно. В другом случае,когда величина a B является отрицательной, верным направление вектора a B будет противоположное тому, котороеизображено на рисунке. Во втором случае перерисовыватьвектор a B в верном направлении не требуется.Далее из второго уравнения алгебраической системывопределяем величину ускорения a BA, а затем – угловое ускорение шатуна:вa BA= a A sin 60o − a B sin 30o == 40 ⋅ 3 / 2 − 38.45 ⋅ 0.5 ≈ 15.42 ( м / c 2 ) ;вε = a BA/ AB = 15.42 / 1.2 ≈ 12.85 ( рад / c 2 ) .51Кинематика твердого телаВеличина углового ускорения ε оказалась положительной и вэтом случае направление дуговой стрелки ε показано нарис. 18 верно. В другом случае, когда величина ε являетсяотрицательной, верным направлением дуговой стрелки будетпротивоположное тому, которое изображено на рисунке.
Вовтором случае рекомендуется перерисовать дуговую стрелку вверном направлении, а первую стрелку изобразить пунктирнойлинией.При известных значениях угловой скорости ω и углового ускорения ε шатуна ускорение точки С легко определитьс использованием полюса А по формуле (2.18):вцaC = a A + aCA+ aCA.При этом следует воспользоваться верным направлением углового ускорения ε и способом, изложенным на с. 36.Исходные данные для самостоятельного выполнениязадания 2.2 приведены в таблице на с. 52.Задание 2.3В качестве этого задания предлагается выполнитьзадание К.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
