Борисов Ю.А., Кривошеев А.Г., Мельников Г.И. - Кинематика (1079946), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Траектории всех точек тела при этомдвижении представляют собой одинаковые кривые, которыемогут быть совмещены друг с другом путем параллельногопереноса (на рис. 4 показаны траектории точек A и B).Траекториями точек могут быть кривые любой формы.При поступательном движении векторы скорости иускорения всех точек тела в каждый момент времениодинаковы (на рис. 4 v A = v B и a A = a B ).
Одинаковую для всехточек тела скорость v называют скоростью поступательногодвижения тела, а одинаковое ускорение a - ускорениемпоступательного движения. Эти понятия скорости иускорения тела имеют смысл только при поступательномдвижении, а при других видах движения теряют свой смысл,21Кинематика твердого телапоскольку скорости и ускорения различных точек тела будутразными.Рис 4. Поступательное движение твердого тела.Таким образом, поступательное движение твердого телаполностью определяется движением любой его точки.
Длязадания этого движения достаточно знать координаты какойлибо точки тела (например, точки A) как функции времени:x A = x A (t ) ;y A = y A (t ) ; z A = z A (t ) .(2.1)Уравнения вида (2.1) являются уравнениями поступательногодвижения твердого тела. Для изучения поступательногодвижения тела достаточно использовать методы кинематикиточки.Движение твердого тела, для которого векторыскоростей всех точек равны только в один момент времени, ане все время, называется мгновенным поступательнымдвижением (см. с. 34). При мгновенном поступательном движении ускорения точек в общем случае не являютсяодинаковыми.22Кинематика твердого тела2.2 Вращательное движение твердого телаВращательным движением тела (вращением тела вокругнеподвижной оси) называется такое движение, при которомдве точки тела остаются неподвижными в течение всеговремени движения (точки A и B на рис.5).
При этом такжеостаются неподвижными все точки тела, расположенные напрямой, проходящей через эти точки. Эта прямая называетсяосью вращения тела (ось Oz). Точки, не лежащие на осивращения, описывают окружности, плоскости которыхперпендикулярны оси вращения и центры которых лежат наэтой оси.Рис 5. Вращательное движение твердого тела.Положение вращающегося тела в любой момент времениоднозначно определяется взятым с соответствующим знакомуглом ϕ , называемым углом поворота тела. Положительнымнаправлением отсчета угла ϕ принимается направлениепротив хода часовой стрелки, видимое с положительного23Кинематика твердого телаконца оси Oz (как показано на рис. 5).
Зависимость угла ϕ отвремениϕ = ϕ (t )(2.2)выражает закон вращательного движения твердого телавокруг неподвижной оси. Угол ϕ измеряется в радианах.Основными кинематическими характеристиками вращательного движения тела являются его угловая скорость иугловое ускорение.Угловой скоростью ω тела в данный момент времениназывается первая производная по времени от угла поворота:ω = ϕ&(рад/с).(2.3)Она является величиной положительной при вращении телапротив часовой стрелки (см.
рис. 5), когда угол поворота телавозрастает с течением времени, и отрицательной – при вращении тела по часовой стрелки.В технике угловую скорость называют также частотойвращения и часто выражают в других единицах измерения,например, в оборотах в минуту. Связь между этимивеличинами выражается формулой:ω (рад/c) =2ππnn (об/мин) или ω =.3060(2.4)Угловым ускорением ε тела в данный момент времениназывается первая производная по времени от угловойскорости ω или вторая производная от угла поворота ϕ :ε = ω& = ϕ&&(рад/c2).(2.5)Угловую скорость и угловое ускорение тела на рисункахизображают дуговыми стрелками вокруг оси вращения (рис.5).Угловую скорость и угловое ускорение тела можнорассматривать как векторные величины. Если k - орт оси24Кинематика твердого телавращения Oz, то вектор угловой скорости ω и вектор угловогоускорения ε определяются выражениямиω =ω k ;ε = ε k.(2.6)Эти векторы направлены вдоль оси вращения и могут бытьприложены к любым точкам этой оси, то есть они являютсяскользящими векторами.Рис.6.
Векторы угловой скорости и углового ускорениявращающегося тела и их взаимное расположение.При ω = ϕ& > 0 и ε = ϕ&& > 0 оба вектора направлены в положительную сторону оси вращения Oz (рис.6; случай 1). Вотличие от векторов ω и ε скалярные величины ω и ε ,определяемые формулами (2.3) и (2.4), называют алгебраической угловой скоростью и алгебраическим угловымускорением.Если известно угловое ускорение тела ε = ε (t ), t ≥ 0 иначальные значения угловой скорости ω 0 и угла поворота ϕ 0(обычно принимают ϕ 0 = 0) в момент времени t = 0, то угловаяскорость и угол поворота в последующие моменты времениt > 0 определяются по формуламttω (t ) = ω 0 + ∫o ε (t ) dt ; ϕ (t ) = ϕ 0 + ∫0 ω (t ) dt.(2.7)Кинематика твердого телаВ частном случае равнопеременногоε = ε 0 = const формулы (2.6) принимают видвращенияω = ω 0 + ε 0 t ; ϕ = ϕ 0 + ω 0 t + ε 0 t 2 / 2.25при(2.8)Если величины ω и ε 0 имеют одинаковые знаки (произведениеω ε 0 > 0 ), вращение будет равноускоренным (рис 6; случаи 1 и3), а если разные ( ω ε 0 < 0 ) – равнозамедленным (рис 6; случаи2 и 4).
При ε 0 = 0 угловая скорость тела остается постояннойво все время движения тела ( ω = ω 0 = const ) и такое вращениеназывается равномерным.Рассмотрим движение какой-либо точки M вращающегося тела (рис.5), находящейся на расстоянии R от осивращения. Расстояние s точки M, отсчитываемое от точки M0(при ϕ = 0 ) по дуге окружности (рис.7), выражается через уголповорота ϕ (рад.) зависимостьюs = R ϕ.Рис 5.
Векторы скорости и ускорения точкивращающегося тела.(2.9)26Кинематика твердого телаЧисловое значение скорости согласно формуле (1.10) будетравноvτ = s& = R ϕ&илиv = R ω.(2.10)Таким образом, модуль скорости точки вращающегосятела равен произведению модуля угловой скорости тела нарасстояние от этой точки до оси вращения. Вектор скоростинаправлен по касательной к описываемой точкой окружности всторону дуговой стрелки ω (рис.
7).Ускорение точки определяется по касательной инормальной составляющим согласно формулам (1.11):aτ = v&τ = R ω& = R ε ; an =vτ2ρ= Rω 2( ρ = R).(2.11)Касательная составляющая ускорения aτ (вращательное ускорение) направлена по касательной к траектории в сторонудуговой стрелки ε , а нормальная составляющая an(центростремительное ускорение) всегда направлена порадиусу MO1 к оси вращения (рис. 7).Модуль полного ускорения точкиa = aτ2 + an2 = R ε 2 + ω 4 .(2.12)Векторы скорости v и ускорения a могут бытьопределены по следующим векторным формулам:v = ω × r ; a = aτ + an = ε × r + ω × v ;(2.13)где r - радиус-вектор, проведенный из точки O в точку M.Формулы (2.9)-(2.12) позволяют определять скорость иускорение любой точки тела, если известен закон вращениятела (2.2) и расстояние данной точки от оси вращения.
По этимже формулам можно, зная движение одной точкивращающегося тела, найти характеристики движения всеготела в целом (угловую скорость ω и угловое ускорение ε ).Кинематика твердого тела272.3 Плоское движение твердого телаПлоским движением называется такое движениетвердого тела, при котором все его точки перемещаются внеподвижных параллельных между собой плоскостях.Частным случаем плоского движения является вращениетвердого тела вокруг неподвижной оси. Для изучения плоскогодвижения тела достаточно изучить движение плоской фигуры вплоскости, которую можно считать сечением тела даннойплоскостью.2.3.1Уравнения движенияплоской фигуры в плоскостиПоложение фигуры S в плоскости Oxy (рис.
8) можнозадать координатами x A , y A какой-либо точки A и углом ϕ , накоторый повернулась фигура вокруг точки A относительнонекоторого начального ее положения (в этом положениипринимается ϕ = 0 ). Точку A, используемую для определенияположения фигуры, называют полюсом.Рис 8. Движение плоской фигуры в плоскости.28Кинематика твердого телаДля задания положения движущейся фигуры надо задатьзависимости координат x A , y A и угла ϕ от времени t:x A = x A (t ) ;y A = y A (t ) ; ϕ = ϕ (t ) .(2.14)Уравнения (2.14) называются уравнениями движения плоскойфигуры в плоскости.Первые два из уравнений (2.14) определяют движение,которое совершала бы фигура при ϕ = const .
При этом всеточки фигуры будут двигаться так же как полюс A, то естьтакое движение будет поступательным. Третье из уравнений(2.14) определяет движение, которое совершала бы фигура принеподвижном полюсе A ( x A = const ; y A = const ), то есть вращение фигуры вокруг полюса A.Следовательно, произвольное плоское движение плоскойфигуры складывается из поступательного и вращательногодвижений.Кинематическими характеристиками поступательногодвижения являются скорость и ускорение полюса A:v A = r&A ; a A = v& A = &r&A ; а вращательного движения – угловаяскорость и угловое ускорение фигуры: ω = ϕ& ; ε = ω& = ϕ&& .Характеристики поступательного движения зависят от выбораполюса, а вращательного движения – не зависят.Далее рассмотрим определение скоростей и ускоренийотдельных точек плоской фигуры.2.3.2Определение скоростей точек плоской фигурыс использованием полюсаПоскольку движение плоской фигуры складывается изпоступательного движения, при котором все точки фигурыдвижутся со скоростью v A полюса A, и из вращательногодвижения вокруг этого полюса, то скорость любой точки Bскладывается векторно из скоростей, которые имеются у точкиB в каждом из этих движений (рис.
9):vB = v A + vBA , ( vBA ⊥ AB ).(2.15)29Кинематика твердого телаЗдесь v A - скорость полюса A; vBA - скорость точки B привращении фигуры вокруг полюса A (если считать егонеподвижным), равная по модулю vBA = ω ⋅ AB и направленнаяперпендикулярно к AB в сторону дуговой стрелки угловойскорости ω .Рис 9.
Определение скорости точки Bc использованием полюса A .Модуль скорости точки B может быть найден с использованием теоремы косинусов по формуле2vB = v A2 + vBA+ 2v AvBAcos γ ,(2.16)где γ ∈ [0, π ] - угол между векторами v A и vBA .Если спроецировать векторное равенство (2.15) на осьAu, проведенную через точки A и B (рис. 9), то с учетомусловия перпендикулярности vBA ⊥ AB , получаем свойствопроекций скоростей точек плоской фигуры: проекциискоростей двух точек плоской фигуры на ось, проходящуючерез эти точки, равны.30Кинематика твердого телаЭто свойство проекций скоростей выражается следующим соотношением между модулями скоростей точек A и B(рис. 10):vu = v Acos α = vB cos β .(2.17)При помощи равенства (2.17) могут решаться многие задачиопределения скоростей точек плоской фигуры.Рис 10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
