Борисов Ю.А., Кривошеев А.Г., Мельников Г.И. - Кинематика (1079946), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Касательное ускорение характеризуетизменение скорости по величине, а нормальное – понаправлению.Модули скорости и ускорения точки определяются поформуламv = vτ ;a = aτ2 + an2 .(1.12)Если известны касательное ускорение точки aτ (t ) иначальные значения скорости v0 и криволинейной координатыs0 в момент времени t0 = 0, то в последующие моментывремени скорость и положение точки на траектории могутбыть найдены по следующим формулам:11Кинематика точкиttvτ (t ) = v0 + ∫ aτ (t ) dt ; s (t ) = s0 + ∫ vτ (t ) dt .0(1.13)0В частном случае равнопеременного криволинейного движения,когда aτ = a0 = const формулы (1.13) принимают видvτ (t ) = v0 + a0t ;s (t ) = s0 + v0t + a0t 2 / 2 .(1.14)Если vτ и a0 имеют одинаковые знаки (произведениеvτ ⋅a0 > 0 ), движение будет равноускоренным, а если разныезнаки ( vτ ⋅a0 < 0 ) - равнозамедленным.
При a0 = 0 точкасовершает равномерное движение с постоянной скоростьюvτ = v0 = const , причем ускорение точки равно только нормальному ускорению: a = an = v 2 / ρ .1.4 Касательное и нормальное ускоренияДля определения касательного ускорения точки при еедвижении, заданном координатным способом с помощьюфункций (1.4), вводится орт касательной τ = v / v ,сонаправленный с вектором скорости.
Проецируя векторускорения a на этот орт, получаем формулуaτ = a ⋅ τ =v ⋅ a vx ax + v y a y=.vv(1.15)Величины, входящие в правую часть этой формулы,вычисляются согласно (1.5), (1.6), (1.7). При aτ > 0 векторы v иaτ имеют одинаковые направления вдоль касательной, а приaτ < 0 – противоположные.
Если в данный момент точкаостановилась ( v = 0 ), то an = 0 и ускорение точки a = aτопределяется проекциями a x , a y .12Кинематика точкиНормальное ускорение точкиan =a 2 − aτ2 =vx a y − v y axv.(1.16)Далее приведем пример выполнения задания 1 по даннойтеме и исходные данные для самостоятельной работы.1.5 Задание 1.Определение скорости и ускорения точкипо заданным уравнениям ее движенияПо заданным уравнениям движения точки M:x = 3 t (см) ;y = 2 t 2 (см)установить вид ее траектории и для момента времени t = t1 (c)найти положение точки на траектории, ее скорость, полное,касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизнытраектории.Решение.
Для определения вида траектории найдем уравнениетраектории, показывающее зависимость между координатамиx и y движущейся точки. Выразив из первого, более простого,уравнения время t = x / 3 и подставив во второе, получим2уравнение траектории в виде y = x 2 . Следовательно, траекто9рией точки является ветвь параболы с вершиной в началекоординат (рис.3). При графическом изображении траекториимасштабы по осям Ox и Oy следует выбрать одинаковыми.Положение точки M на траектории в заданный моментвремени t1 = 1 (c) находим путем вычисления ее координат:x(t1 ) = 3 ⋅1 = 3 (см) ;y (t1 ) = 2 ⋅ 12 = 2 (см).13Кинематика точкиСкорость и ускорение точки определяем по их проекциям на координатные оси:vx = x& = ( 3 t &) = 3 ;v y = y& = ( 2 t 2 &) = 4 t ;v = v x2 + v y2 ;v y (t1 ) = 4 ;v (t1 ) = 32 + 4 2 = 5 (см / с).a x = v&x = ( 3 )& = 0 ;a y = v& y = ( 4 t &) = 4 ;a = a x2 + a 2y ;a (t1 ) = 4 (см / с 2 ).Касательное и нормальное ускорения точки находим поформулам (1.15), (1.16):aτ =an =vx ax + v y a yvvx a y − v y axvaτ (t1 ) =;;3⋅0 + 4⋅ 4= 3.2 (см / с 2 ).5an (t1 ) =3⋅ 4 − 4⋅0= 2.4 (cм / c 2 ).5Радиус кривизны траектории в рассматриваемом положенииточки определяется из формулы (1.11):ρ = v 2 / an ;ρ (t1 ) = 5 2 / 2.4 ≈ 10.4 (cм).Полученные результаты отобразим на рисунке (рис.
3).Векторы v и a строим по их проекциям vx , v y и a x , a y ввыбранных масштабах. Масштабы по координатам, скорости иускорению не обязательно должны быть одинаковыми. Ихследует выбирать так, чтобы обеспечить приемлемые размеры14Кинематика точкии наглядность рисунка. Вектор скорости v должен совпадатьпо направлению с касательной к траектории, а векторускорения a направлен в сторону вогнутости траектории.Построенный вектор a разложим на составляющие покасательной (касательное ускорение aτ ) и по нормали(нормальное ускорение an ). В качестве контроля правильностирешения рекомендуется убедиться в совпадении величин aτ иan , полученных измерением по рисунку длин векторов aτ и an ,с их значениями, полученными аналитически.Рис 3.
Графическое изображение результатоввыполнения задания 1.Далее приводятся три варианта исходных данных длясамостоятельного выполнения данного задания.15Кинематика точкиЗадание 1.1.№x = x(t), смy = y(t), смt1, с13t3t2 - 212( 2t - 3 )24t0.53- 3t6t2 + 30.54- 2t 2 + 33t153t- 5t2 + 2162t2 – 4- 2t0.57- 3t- 6t2 + 10.58- 4t2 + 1- 3t192t6t2 – 4110( 6t - 2 )23t0.511- 2t4t2 - 10.512- 6t2 + 42t1132t- 3t2 - 31146t2 + 2- 3t0.515- 2t- 5t2 + 4116- 2t2 + 3- 5t1174t5t2 - 1118( 4t - 1 )22t0.519- 4t3t2 - 2120- 4t2 + 24t0.5214t- 6t2 + 30.5224t2 – 3- 4t123- 4t- 3t2 + 4124- 6t2 – 1- 2t0.516Кинематика точкиЗадание 1.2.В этом задании при построении уравнения траекторииследует выразить синусы и косинусы одинакового аргументаk t ( k = const ) из заданных уравнений движения точки ивоспользоваться тождеством sin 2 (k t ) + cos 2 (k t ) = 1.
В результате получается уравнение траектории в следующем виде:( x − x0 ) 2 ( y − y0 ) 2+=1a2b2( a > 0; b > 0 ).Следовательно, траекторией точки является эллипс сполуосями, равными a и b, и с центром в точке ( x0 , y0 ) . Вчастном случае, когда a = b, траекторией точки являетсяокружность с радиусом R = a = b.№x = x(t), смy = y(t), смt1, с1sin(2t) + 3cos(2t) + 4π/623sin(πt/3)-2cos(πt/3) + 2134cos(πt2/3) + 2-4sin(πt2/3) -314-4sin(πt2/6) + 34cos(πt2/6) + 2156sin(πt/2)8cos(πt/2) - 1563cos(t)-5sin(t) + 3π/47-2cos(2t)sin(2t) + 3π/48-3sin(πt/3) - 1-3cos(πt/3)193cos(πt2/3) - 12sin(πt2/3) + 21104sin(πt2/6)-2cos(πt2/6) - 3111-sin(πt/2) + 1cos(πt/2) +21/3125sin(t) + 13cos(t) - 3π/4132cos(2t) + 3-3sin(2t) + 2π/317Кинематика точки№x = x(t), смy = y(t), смt1, с142cos(πt/3)3sin(πt/3) + 1115cos(πt2/3)2sin(πt2/3) + 4116cos(πt) + 12sin(πt)2/3172sin(2t) - 3cos(2t) - 4π/3182cos(πt/3) + 1-2sin(πt/3) - 41192cos(2t) + 1sin(2t) - 3π/620-2sin(πt/3)4cos(πt/3) + 11212sin(2t) - 33cos(2t) - 2π/322-4cos(πt/3)-2sin(πt/3) - 31234cos(2t) - 13sin(2t) - 3π/624-cos(2t) - 2sin(2t) + 1π/3Задание 1.3.В данном варианте задания содержатся более сложныезависимости координат точки от времени, а такжедополнительно требуется определить момент времени t1 какрешение алгебраического или трансцендентного уравнениясогласно условию, заданному в третьем столбце таблицы.При построении траектории необходимо выделить награфике функции y = f(x) дугу, которая является траекториейточки.
Для уточнения вида кривой целесообразно подсчитатьнесколькопромежуточныхзначенийфункции.Дляопределения момента времени t1 необходимо провести анализсоответствующих заданных функций по условию задания.Отметим, что момент времени t1 определяется фактически привыполнении заданного условия во второй раз после началадвижения.18Кинематика точкиt1 – момент времени,когда впервые посленачала движениявыполняется условие№x = x(t), смy = y(t), см11 + 2sin(πt/2)2 + 3cos(πt/2)y = ymin22sin(πt/3)4cos2(πt/3)Траекторияпересекает ось Oy32t2cos2(4t)y = ymax4sin(t)/21 – sin2(t) +2sin(t)x = xmax/253sin(2t) + 24cos(2t) - 1x = xmin64cos(6t)1 + 2sin(3t)Траекторияпересекает ось Oy74t23sin2(πt)y = ymax84sin(πt/2)1 – sin2(πt/2)Траекторияпересекает ось Oy9t( exp(t) +exp(-t))/2 - 8y( t1 ) = 1102sin2(πt/2)t2/9x = xmin111 – sin(πt/4)2 + cos(πt/4)x = xmax125cos(2t) - 38sin(2t) + 4Траекторияпересекает ось Ox13( exp(t-1) +exp(-t+1) ) )/24tx = xmin148cos2(πt/2)2sin(πt/2) - 1x = xmax15exp(-(2t - 1))2t - 1Траекторияпересекает ось Ox19Кинематика точкиt1 – момент времени,когда впервые посленачала движениявыполняется условие№x = x(t), смy = y(t), см162sin(πt/2)2cos(πt)y = ymax17t2/42ln( t+ 1 ) – t2/2vy = 0182sin2(πt/2)t2 - 1vx = 019( exp(t/2) +exp(-t/2) )/2( exp(t/2) exp(-t/2) )/220sin(πt/3)2(sin(πt/3) –1/4 )3Расстояние точки доначала координатравно 1 см21cos(πt/2)3 + 2sin(πt/2)x = xmax22t2 - te xp(-2(t2 – t))Траекторияпересекает ось Oy231 + exp( - t2/2 )2exp( - t2/2 )vx = vx min24cos(2πt)(cos(2πt) – 1/3)2y = ymin252sin(2t)×( sin(2t) – 2 )sin(2t)Траекторияпересекает ось Oy262sin(πt/2) - 34cos(πt/2) + 4vy = 027t2/3 + 2ln( t2 + 1) - 3Траекторияпересекает ось Ox28t2/2 - 4exp( - t2 )29- 3cos(πt) + 53sin(πt)302t2 - 13cos(πt)Траекторияпересекает ось OyРасстояние точки отначала координат –минимальноеvx = vx maxay = ay min20Кинематика твердого телаГЛАВА 2.
КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛАВ данной главе рассматриваются способы задания движения твердого тела и методы определения кинематическиххарактеристик движения как всего тела в целом, так иотдельных его точек.Различные виды движения твердого тела классифицируются следующим образом:• поступательное движение;• вращательное движение(вращение тела вокруг неподвижной оси);• плоское (плоскопараллельное) движение;• сферическое движение(вращение тела вокруг неподвижной точки);• общий случай движения твердого тела.Далее рассматриваются первые три вида движения.2.1 Поступательное движение твердого телаПоступательным движением твердого тела называетсятакое движение, при котором любая прямая, жесткоскрепленная с телом, остается во все время движенияпараллельной своему первоначальному положению (на рис. 4прямая AB || A1 B1 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
