Занятие 2. Квадратичные формы. Изменение матрицы при переходе к другому базису (1079427)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Занятие 2. Квадратичные формы. Изменение матрицы при переходе к другому базису. Приведение к каноническому виду методом Лагранжа. Критерий Сильвестра.

Линейные формы. Говорят, что в действительном линейном пространстве L задана линейная форма, если каждому вектору поставлено в соответствие число f(x), причем выполнены условия

f(х + y) = f(х) + f(y),

f(λх) = λf(х), , .

Билинейные формы. Числовая функция А(х, у): , заданная на действительном линейном пространстве L называется билинейной формой, если при фиксированном у она является линейной формой по x, а при фиксированном x − линейной формой по у. Билинейная форма называется симметрической, если А(x, у) = А(y, x), . Если в пространстве L_n фиксирован некоторый базис B = (e₁, ..., e_n), то матрица A = (a_ij), a_ij = А(e_i, e_j) называется матрицей билинейной формы А(х, у) в базисе B.

Квадратичные формы. Пусть А(х, у) − симметрическая билинейная форма. Форма А(х, х), которая получается из А(х, у), если положить у = х, называется квадратичной. При этом А(х, у) называется билинейной формой, полярной к квадратичной форме А(х, x).

Если в действительном линейном пространстве L_n фиксирован некоторый базис B = (e₁, ..., e_n), то квадратичная форма А(х, x) в этом базисе имеет вид

(1)

где A = (a_ij) − матрица квадратичной формы и x = x_ie_i + ... + x_ne_n.

Квадратичная форма А(х, x), определенная в действительном линейном пространстве L_n. называется положительно (отрицательно) определенной, если для всякого ( ) выполняется А(х, x) > 0 (А(х, x) < 0).

Пусть A = (a_ij) − матрица квадратичной формы А(х, x) и

, ,

− последовательность главных миноров матрицы A.

Критерием положительной определенности квадратичной формы является следующее утверждение (критерий Сильвестра): для того чтобы квадратичная форма А(х, x) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы А были положительны, т.е. D_k > 0, k = 1, 2, ..., n. Форма отрицательно определена, если и только если знаки D_k чередуются, начиная с отрицательного, причем D₁ < 0.

Метод собственных векторов. Будем рассматривать квадратичную форму (1) в евклидовом пространстве Rⁿ. Так как ее матрица А = (a_ij) симметрична, то она может быть представлена в виде A = UDU^T где D − диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы A, a U − ортогональная матрица. Столбцы матрицы U являются координатами некоторого ортонормированного базиса, в котором матрица А имеет диагональный вид D, и, следовательно, квадратичная форма − искомый канонический вид. Соответствующее преобразование координат определяется соотношением .

Задачи: ОЛ-1, гл. 4: 4.218–4.225 (четн.), 4.210,4.211 или ДЛ-3, гл. 6: 6.13, 6.15, 6.19, 6.21, 6.23(б), 6.43.

В сдачах 4.218−4.224 определить, какие квадратичные формы являются положительно либо отрицательно определенными, а какие нет:

4.218. .

4.220. .

4.222. .

4.224. .

Методом Лангранжа найти нормальный вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду, для следующих квадратичных форм:

4.210. .

4.211. х₁х₂ + x₂x₃ + х₃х₁.

Домашнее задание: ОЛ-6, гл. 4: 4.218–4.223 (неч.), 4.212 или ДЛ-3, гл. 6: 14, 6.16, 6.20, 6.22, 6.33(а), 6.44.

4.219. .

4.221. .

4.223. .

4.212.

Ответы

4.218. Положительно определенная. 4.219. Отрицательно определенная 4.220. Общего вида. 4.221. Отрицательно определенная 4.222. Положительно определенная. 4.223. Общего вида. 4.224. Положительно определенная.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов семинаров