Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Для такого построения применяется метод вариации постоянньгх. Напомним метод вариации постоянных ив примере диффереицивльипгп уравцеции у" (х) = — Г(х). (40) Пусть п(х), п(х) — линейно иезввггпимые решения соответствующего однородного уравнения, т. е. и" (х) =О, и" (х) О.
(41) 31 Булем искать решение неоднородного уравнения (40) в виде у(х) =а (х) и(х) + р (х) о(х), (42) где а(х), р(х) — функции, подлежащие определению. для нахождения функций а(х), Р(х) необхолимо получить два уравнении. Первое из ник получается из требования, чтобы производная у'(х) вмсла вид у'(х) =а(х) и'(х) + у(х) и'(х), (43) которое, очевидно, эквивалентно требованию а'(х)и(х)+Р'(х) п(х) =О.
(44) Второе уравнение, связывающее а(х) и р(х), получается в результате подстановки (42) в исходное уравнение (40). Учитывая (43), (4!), получим у" (х) =ан" (х)+ргч(х) ча'(х)и'(х)+()'(х)и'(х) =а'(х)и'(х)+1)'(х)п'(х). Следовательно, уравнение (40) булет выполнено, если а'(х) й(х) +0'(х) о'(х) = — 1(х), (46) Из системы уравнений (44), (46) найдем 7(х) и(х) а' (х) = и (х) о'(х) — и' (х) о [х) — / (х) н (х) Р' (х) = , , (46) и (х) и' (х) — и' (х) о (х) Знаменатель и полученных выражениях отличен от нули, так как он является опрелелитслем Вронского длн линейно независимых решений однородного уравнения. Из выражений (46) коэффициенты а(х), р(х) находятся в квадратурах.
Обращаясь к разностному уравнению (37), будем искать его решение в виде (47) у, = а,и,+1),он где из, о,— линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения (38) н а„Рз — искомые функции. Потребуем по аналогии с (43), чтобы разность у,,— у; представлялась в виде у~ — у,=аг(и„,— и,)+фДо,э,— о,).
(48) Такое требование эквивалентно выполнению условия (49) (а,,— а,) из „+ (ры,— ()~) о,„,, =О. Далее, из (48) получим у,— у;, = а,, (и;.-и,,) +)),, (о,— о,,) или у,— уз, =аз(из — и,,) + р,(о,— о,,) — ~рл (50) где гр,= (аз — а,,) (и,— и,,)+(рз — )эз,) (о,— о,,). Для дальнейшего удобно представить уравнение (37) в виде (а,— с,+Ь;) у,+Ь,(уз..— у,) — а,(уз — уз,) = — 7г (51) Подставляя в (51) выражения (47), (48), (50) и собирая коэффициенты при а„()ь получим аД(а) — с; + Ь,) и) + 6; (игмз — и;) — а; (и) — и, ) ) + + Ща; — с)+ 6!) о, + 6) (о;ы — о)) — а)(о; — оеыН+а)гр) = — УЬ 32 Выражения, стоящие в квадратных скобках, равны нулю, потому что и, и о, являются решениями однородного уравнения (38).
Следовательно, уравнение (37) будет выполнено, если потребовать а,/о/= — 1н т. е. (а; — а;,) (и; — и;,) + (~); — 'р/,) (о; — о;,) = — — . 1; а; (52) Поскольку индекс 1 произволен, уравнение (49) можно переписать в виде (а,— а/-,)и/+(К вЂ” 8/ — ) о,=0. Решая систему уравнений (52), (53), получим о; а — а / /' — с= о и; , — и/оу с а; (53) (54) и 1/ й — Ь- =— ои — ио а; а/=а,+ ~к', А=с ойи/, с — иао/,, аа — иа о„и„, — ихой и Подставляя найденные выражения для аь ~)/ в формулу (47), получаем общее решение неоднородного уравнения (37) в виде и; о,, иа ой В = ааи + )) о + Х й-к и-с' а и о ~ а ий о (55) где а„р,— произвольные постоянные и и„о,— линейно независимые решения однородного уравнения (38).
Отметим, что сумма г,=аии/+~)ао/ является общим решением однородного уравнения (38), а сумма и; Г; = '~~ а=с (55) оа и /с-с л А. А. Самарский, А. В. Гули/с ЗЗ 3//аме//атель полученных выражений совпадает с определителем и/,,(и, о] (см. (28) ) и согласно лемме 2 не обращается в нуль ни в одной точке 1. В результате суммирования каждого из уравнений (54) получим — частным решением неоднородного уравнения (37), соответствующим значениям а,=й,=О. Следовательно, функция (55) является общим решением неоднородного уравнения (37). В закщочение параграфа отметим, что многие понятия н результаты, относящиеся к разностным уравнениям второго порядка, можно обобщить и па разностные уравнения произвольного порядка (см., например, ]35]). й 4.
Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений 1. Сетки и сеточные функции. Для численного решения дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, часто применяется метод сеток или разностный метод. В настоящем параграфе поясняются основные идеи разностного метода на самых простых примерах. Систематическое изложение теории разностных методов содержится в ч. 1!! (см.
также ]32]). Сеткой на отрезке (а, Ь] называется любое конечное множество точек этого отрезка. Функция, определенная в точках сетки, называется сеточной функцией, Будем обозначать через сн сетку, удовлетворяющую условиям а=хо(х1(х2("'(хк-~(хе= Ь, и чеРез ),— значение сеточной фУнкЦии ](х) в точке хдЯык, т. е. ],=](х,). Точки х,еды, называются узлами сетки ык Равномерной сеткой на ]а, Ь] называется множество точек ые=(х,=а+!Ь, 1'=О, 1, ..., Ь!), (2) где Л = (Ь вЂ” а)/Л1 — шаг сетки.
!'ассмотрим задачу о приближенном вычислении производных функции и(х), определенной и непрерывной на отрезке ]а, Ь]. Будем считать, что и(х) обладает необходимой по ходу изложения гладкостью. Введем согласно (2) сетку ы, и обозначим и; = и (х;), и; ! = (и, — и;,)/Ь, и,л=(ик 1 — иг)/Ь, и. =(иы1 — и;,)1(2!!). хл Выписанные здесь разностные отношения называются, соответственно, левой, правой и центральной разностными производными ьрункции и(х) в точке х=хь Если точка х, фиксирована, а шаг Ь стремится к нулю (при этом ! — оо), то каждое нз упомянутых разностных отношений стремится к значению производной функции и(х) в точке х,. Поэтому в качестве приближенного значения и'(х) можно взять любое из этих разностных отношений.
Нетрудно получить выражение для погрешности, возникающей при замене дифференциальяого выражения разностпым. Рассмотрим, например„левую разностную производную в точке х=х; и запишем ее в виде и !х) — и (х — Й) и-.= кл Ь 34 По формуле Тейлора получим и(х — гг) =и(х) — йи'(х)+ — и" (с), 1=-(х — й,х), 2 следовательно, и„- г = и' (х!) — — и" («г). (3) Погрешность и„-г — и'(х,), возникающая при замене дифференциального выражения и'(х) разпостным выражением и-, „называется погрешностью аппроксимации.
Из разложения (3) видно, что погрешность аппроксимации является величиной 0(й) при й-«0. В этом случае говорят, что имеет место аппроксимация первого порядки. Приведем разложения, аналогичные (3), для других разностных отношении: и,л = и' (х;) + — и („), Й т!г! 2 и. =и'(х;)+ — и (ьгм), кз в гп г.г .= (хп хо,), гкг 1, ен (хг „хг,г). (4) (5) Из разложения (5) видно, что центральная разпостная производная аппраксимирует и'(х) со вторым порядком и, следовательно, является более точным приближением к и'(х), чем левая или правая разнастные производные. В дальнейшем наряду с (3)— (5) будем использовать менее детальную запись тех же разложений, а именно и;,=и,'+ 0(й), и„„=и'+ 0(Ь), и. =и,'. + 0(ггг).
Вторую производпуго ии(х) можно приближенно заменить в точке х,е=ьм второй ризностной производной ! иг, — 2иг+ иг, и- .= — (и,; — и-.) = (6) ккг й к кг йк Разложение по формуле Тейлора приводит к следующему выражению для погрешности: и;, г — и" (х,) = — иг~ (Ьг), (7) т. е, имеет место аппроксимация второго порядка. Мы привели простейшие примеры аппроксимации дифференциальных выражений разностпыми на равномерной сетке. В общем случае погрешность, возникающая в результате замены дифференциального выражения разпостным, зависит как от распределения узлов сетки, так и от гладкости функции. 2.
Разностная краевая задача. Первая краевая задача для уравнения ии(х) = — г(х) (8) состоит в отыскании функции и(х), дважды непрерывно диффе- 2» зв ренцируемой на интервале (а, Ь), непрерывной на отрезке (а, Ь), удовлетворяющей уравнению (8) при хин(а, Ь) и дополнительным условиям и(а) =!г,, и(Ь) =р„ (9) где )гь !и — заданные числа. Нетрудно построить решение задачи (8), (9) в виде квадратур. Представим а(х) в виде суммы двух функции: и(х) =о(х)+ш(х), где (10) (11) о" (х) =О, хен(а, Ь), о(а) =рь о(Ь) =рь ш"(х) = †)(х), х»ы (а, Ь), ш (а) = га(Ь) =О, Решением задачи (10) является линейная функция 6 — х х — а о (х) = рг+ рз Ь вЂ” а Ь вЂ” а Далее, интегрируя уравнение (1!), получим ш (!) = ш (а) — ) 1 (5) с(5.
а м=ь — ~ '(» — 1(1»~»»)»н а Г,а Из условия ш(Ь) =О получаем, что ь ! и = — 1((»и Ь вЂ” а,~ а а и, следовательцо, ь х ы - * )» !»с и».) — )" )" с и» ) «. а а а а (13) Решение краевой задачи (8), (9) есть сумма функций (12) и (13). Для численного решения задачи (8), (9) введем на отрезке (а, Ь) равномерную сетку с шагом Ь согласно (2) и заменим и" (хг) второй разностной производной и-„„г Тогда вместо дифференциального уравнения (8) получим разностное уравнение второго по- рядка Ои+ а!с» с с» ° Ь' (14) Это уравнение можно записать для с=1, 2, ..., й! — 1, т.
е. во всех внутренних точках сетки шь. В граничных точках в соответствии с (9) следует положить и»=!ам ил=)г». (15) 36 Интегрируя еше раз предыдушее соотношение и учитывая условие ш(а)=О, получим (16) УО=Р~ Ьн=рь В связи с этой разностной схемой возникают следующие про. блемы, которые типичны для разностных методов вообще.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
