Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Может возникнуть вопрос, зачем нужно столь подробно излагать методы, для большинства из которых уже давно существует хорошо зарекомендовавшая себя программная реализация? Дело в том, что сознательное использование существующих программ и тем более создание новых улучшенных версий вряд ли возможно без изучения самих методов и связанных с ними теоретических представлений. В части 111 рассматриваются разностные методы решения задач математической физики. Здесь большое внимание уделяется принципам построения разностных схем для различных задач, исследованию их устойчивости и сходимости, методам решения сеточных уравнений. Для чтения части 11 требуется знание алгебры, анализа и обыкновенных дифференциальных уравнений в объеме одного-двух курсов вузовского обучения.
Часть 1П предполагает знакомство с постановкой типичных задач математической физики. Каких-.тибо специальных предварительных сведений из области вычислительной математики не требуется, хотя могут оказаться полезными отдельные главы из книг Тихонов А. Н.„Костомаров Д. П Вводные лекции по прикладной математике.— М: Наука, !984. С а ма р с к и й А.
А. Введение в численные методы.— 2-е пзд.— Мл Наука, 1987. Предполагается, что одновременно с изучением данного курса читатель овладевает навыками решения задач с помощью ЭВМ, а также участвует в работе студенческого семинара по численным методам. Более подробное изложение отдельных разделов курса можно найти в книгах: Сама рс к ий А. А.
Теория разностных схем.— 2-е изд.— Мл Наука, ! 983. Самарский А. А., Н икол аев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. — Мл Наука, 1978. Са м ар ски й А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики.— 2-е изд.— Мл Наука, 1980, Авторы приносят глубокую благодарность декану факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ академику А. Н. Тихонову, при активном участии которого обсуждались вопросы преподавания численных методов. Считаем также своим приятным долгом выразить благодар.
ность нашим товарищам и сотрудникам но работе В. Б. Андрееву, Т. Н. Галишниковой, Л. М. Дегтяреву, Н. И. Ионкину, Н. Н. Калиткину, Д. П. Костомарову, Е. С. Николаеву, Ю. П. Попову, А. П. Фаворскому, И, В. Фрязинову за полезное обсуждение и сделанные замечания по содержанию книги, А. А. Самарский, А. В. Гулин ЧЛСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 5 !. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент !. Схема вычислительного эксперимента. Эффективное решение крупных естестненно-научных и народнохозяйственных задач сейчас невозможно без применения быстродействующих электронно- вычислительных машин (ЭВМ), В настоящее время выработалась технология исследования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта, Такой метод исследования называют вычислительным экспериментом. Пусть, например, требуется исследовать какой-то физический объект, явление, процесс.
Тогда схема вычислительного эксперимента выглядит так, как показано на рис. 1. Формулируются основные законы, управляющие данным объектом исследования (1) и строится соответствующая математическая модель (П), представляющая обычно запись этих законов в форме системы уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных н т.
д.). Рис. 1. Сиена иычиелительиога экеиеримеити При выборе физической и, следовательно, математической модели мы пренебрегаем факторами, не оказывающими существенного влияния на ход изучаемого процесса. Типичные математические модели, соответствующие физическим явлениям, формулируются в виде уравнений математической физики, Большинство реальных процессов описывается нелинейными уравнениями и лишь в первом приближении (при малых значениях параметров, малых отклонениях от равновесия н др.) эти уравнения можно заменить линейными.
После тога как задача сформулирована в математической форме, необходимо найти ее решение. Но что значит решить математическую задачуу Только в исключительных случаях удается найти решение в явном виде, например в виде ряда. Иногда утверждение «задача решена» означает, что доказано существование и единственность решения, Ясно, что этого недостаточно для практических приложений. Необходимо еще изучить качественное поведение решения н найти те или иные количественные характеристики. Именно на этом этапе требуется привлечение ЭВМ и, как следствие, развитие численных методов (см.
1П на рис. 1), Под численным методом здесь понимается такая интерпретация математической модели («дискретная модель»), которая доступна для реали. зации иа ЭВМ. Например, если математическая модель представ. ляет собой дифференциальное уравнение, то численным методом может быть аппроксимирующее его разностное уравнение совместно с алгоритмом, позволяющим отыскать решение этого разностного уравнения. Результатом реализации численного метода на ЭВМ является число или таблица чисел, Отметим, что в настоящее время помимо собственно численных методов имеются также методы, которые позволяют проводить на ЭВМ аналитические выкладки. Однако аналитические методы для ЭВМ не получили пока достаточно широко~а распространения.
Чтобы реализовать численный метод, необходимо составить программу для ЭВМ (см. 1Ч на рис. 1) или воспользоваться готовой программой. После отладки программы наступает этап проведения вычислений и анализа результатов (Ъ). Полученные ре зультаты изучаются с точки зрения их соответствия исследуемому явлению и при необходимости вносятся исправления в численный метод и уточняется математическая модель.
Такова в общих чертах схема вычислитсльнога эксперимента. Его основу составляет триада: модель — метод (алгоритм) — программа. Опыт решения крупных задач показывает, что метод математического моделирования и вычислительный эксперимент соединяют в себе преимущества традиционных теоретических и экспериментальных методов исследования, Можно указать такие крупные области применения вычислительного эксперимента, как энергетика, аэрокосмическая техника, обработка данных натурного эксперимента, совершенствование технологических процессов. 2.
Вычислительный алгоритм. Предметом данной книги является изложение вопросов, отражающих лишь один из этапов вычислительного эксперимента, а именно этап построения и исследования численного метода. Таким образом, здесь не обсуждаются исходные задачи и их матемзтическая постановка, не рассматриваются вопросы программирования и организации вычислений, интерпретации результатов. Предварительные понятия о проблематике математического моделирования и вычислительного эксперимента читатель может получить из книг 136, 401. Необходимо подчеркнуть, что процесс исследования исходного объекта методом математического моделирования и вычислительного эксперимента неизбежно носит приближенный характер, потому что на каждом этапе вносятся те или иные погрешности.
Так, построение математической модели связано с упрощением исходного явления, недостаточно точным заданием коэффициентов уравнения и других входных данных. По отношению к численному методу, реализующему данную математическую модель, указанные погрешности являются неустранимыми, поскольку они неизбежны в рамках данной модели. Прн переходе от математической модели к численному методу возникают погрешности, называемые погрешностями метода. Они связаны с тем, что всякий численный метод воспроизводит исходную математическую модель приближенно. Наиболее типичными погрешностями метода являются погрешность дискретизации и погрешность округления. Поясним причины возникновения таких погрешностей. Обычно построение численного метода для заданной математической модели разбивается па два этапа: а) формулировка дискретной задачи, б) разработка вычислительного алгоритма, позволяющего отыскать решение дискретной задачи.
Например, если исходная математическая задача сформулирована в виде системы дифференциальных уравнений, то для численного решения необходимо заменить ее системой конечного, может быть, очень большого числа линейных или разностных алгебраических уравнений, В этом случае говорят, что проведена дискретизация исходной математической задачи. Простейшим примером дискретизации является построение разностной схемьс путем замены дифференциальных выражений конечно-разностнымн отношениями.
В общем случае дискретную модель можно рассматривать как конечномерный аналог исходной математической задачи. Ясно, что решение днскретизнрованной задачи отличается от решения исходной задачи. Разность соответствующих решений и называется погрешностью дискретизации. Обычно дискретная модель зависит от некоторого параметра (нли множества параметров) дискретизации, при стремлении которого к нулю должна стремиться к нулю и погрешность дискретизации.
При этом число алгебраических уравнений, составляющих дискретную модель, неограниченно возрастает. В случае разностных методов таким параметром является шаг сетки. Как уже отмечалось, дискретная модель представляет собой систему большого числа алгебраических уравнений. Невозможно найти решение такой системы точно и в явном виде. Поэтому приходится использовать тот илн аной численный алгоритм решения системы алгебраических уравнений. Входные данные этой системы, а именно коэффициенты н правые части, задаются в ЭВМ не точно, а с округлением.
В процессе работы алгоритма погрешности округления обычно накапливаются. и в результате решение, полученное на ЭВМ, будет отличаться от точного решения дискрети- 1з зированной задачи. Результирующая погрешность называется аагрешнастью округления (иногда ее называют вычислительной погрешностью). Величина этой погрешности определяется двумя факторами: точностью представления вещественных чисел в ЭВМ и чувствительностью данного алгоритма к погрешностям округления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
